2023年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷(附答案)

2023年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷

3月25日下午2：30—4:30或3月26日上午9：00-11：30

學(xué)校___________考生姓名___________

題號一二三四五合計(jì)

得分

評卷人

復(fù)核人

一、選擇題(每小題7分，共計(jì)42分)

1、若a、b為實(shí)數(shù)，則下列命題中正確的是()

(A)a>b=a2>b?(B)a:#:b=>a2：/:b2(C)|a|>b=5>a2>b2(D)a>|b|=>a2>b2

2、己知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3廁a2°23+b2023+c2O23的值是()

(A)0(B)3(C)22°23(D)3?22023

3、有一種足球是由若干塊黑白相間的牛皮縫制而成，黑皮為正五邊形，白皮為正六

邊形，(如圖)，假如縫制好的這種足球黑皮有12塊，則白皮有()塊。

(A)16(B)18(C)20(D)22

2

4、在RtAABC中，斜邊AB=5,而直角邊BC、AC之長是一元二次方程x一(2m-l)x+4(m—l)=0

的兩根，則m的值是()

(A)4(B)-1(C)4或一1(D)—4或1

5、在直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，設(shè)k為整數(shù)，當(dāng)直線y=x—3與y=kx+k的交點(diǎn)

為整數(shù)時(shí)，k的值可以取()

(A)2個(gè)(B)4個(gè)(C)6個(gè)(D)8個(gè)

6、如圖，直線x=l是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像的對稱軸，則有()

(A)a+b+c=0(B)b>a+c(C)c>2b(D)abc<0

二、填空題(每小題7分，共計(jì)28分)

2

1-1v+1

1、已知：x為非零實(shí)數(shù)，且x?+x2=a,則-----=。

X

2、已知a為實(shí)數(shù)，且使關(guān)于x的二次方程x2+a2x+a=0有實(shí)根，則該方程的根x所能取到的最大值

是.

3、p是。O的直徑AB的延長線上一點(diǎn)，PC與。O相切于點(diǎn)C,/APC的角平分線交AC于Q,則

則NPQC=.

4、對于一個(gè)自然數(shù)n,假如能找到自然數(shù)a和b,使n=a+b+ab,則稱n為一個(gè)“好數(shù)”,例如:

3=1+1+1X1,則3是一個(gè)“好數(shù)”，在1~20這20個(gè)自然數(shù)中，“好數(shù)”共有個(gè)。

三、(本題滿分20分)設(shè)A、B是拋物線y=2x?+4x—2上的點(diǎn)，原點(diǎn)位于線段AB的中點(diǎn)處。

試求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

四、（本題滿分25分）如圖，AB是。O的直徑，AB二d,過A作。O的切線并在其上取一點(diǎn)C,使AC二AB,

連結(jié)0C叫。O于點(diǎn)D,BD的延長線交AC于E,求AE的長。

五、（本題滿分25分）設(shè)x=a+b—c,y=a+c—b,z=b+c—a，其中a、b^c是待定的質(zhì)數(shù)，假如

x2=y,Vz-^/y=2,試求積abc的全部可能的值。

2023年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試題參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題（每小題7分，共計(jì)42分）

1,D2、B3、C4、A5、C6、C

二、填空題（每小題7分，共計(jì)28分）

2V2

1、a-22、一3、45°4、12

2

三、解：???原點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)=點(diǎn)人和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a,b）,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-a,—b）...............................5分

又A、B是拋物線上的點(diǎn)，分別將它們的坐標(biāo)代入拋物線解析式，得：

-b=2a2+4a-2

1............................................................................................................10分

L-b=2a2-4a-2

解之得：a=l,b=4或者a=—1,b=—4....................................................................................15分

故A為（1,4）,B為（一1,-4）或者A（-1,-4）,B（1,4）.......................................20分

四、解：如圖連結(jié)AD,則/1=N2=N3=N4

ACDEsACAD

T-lT+lCDCA八

：.---?-------=—①

22DEAD

XVAADE^ABDA

10分

由①、②及AB=AC,可得AE=CD15分

又由ACDEsACAD可得—=—，即AE2=CD2=CE?CA20分

CACD

設(shè)AE=x,則CE=d—x,于是x2=d(d—x)

J5-1

即有AE=x=---------d(負(fù)值已舍去)25分

2

五、解：va+b—c=x,a+c—b=y,b+c—a=z,

a=/(x+y),b=—(x+z),C=—(y+z)5分

又...丫=*2,故a=；(x+x?)---(1);

b=g(x+z)——(2)

C---(x-+z)—(3)

.——1iJl+8a

??x--------------------------(4)

2

?/X是整數(shù)，得l+8a=T2,其中T是正奇數(shù)。10分

工目cT—1T+1甘Be?,T-1cT+1

于是，2a=-----?-----,其中ae是質(zhì)數(shù)，故有----=2,-----=a

2222

，T=5,a=3..................15分

將a=3代入（4）得x=