人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修一)同步培優(yōu)講義專題1.1 空間向量及其線性運(yùn)算-重難點(diǎn)題型精講（原卷版）

專題1.1空間向量及其線性運(yùn)算-重難點(diǎn)題型精講1．空間向量的概念(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量2．空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時，λa＝0運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.3．共線向量(1)空間兩個向量共線的充要條件對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．4．共面向量(1)共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要條件如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.【題型1空間向量概念的理解】【方法點(diǎn)撥】在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關(guān)概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反．【例1】（2021秋?城關(guān)區(qū)校級期末）下列命題中正確的是（）A．若a→∥b→，b→∥B．向量a→、b→、cC．空間任意兩個向量共面 D．若a→∥b→【變式1-1】（2021秋?西夏區(qū)校級月考）下列命題正確的是（）A．若a→與b→共線，b→與c→共線，則aB．向量a→，C．零向量沒有確定的方向 D．若a→∥b→【變式1-2】下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（）A．若向量a→，b→B．若|a→|=|bC．若向量AB→，CD→滿足D．相等向量其方向必相同【變式1-3】（2021秋?福建期中）給出下列命題：①若空間向量a②空間任意兩個單位向量必相等③若空間向量a④在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，必有BD⑤向量a→=（1，1，0）的模為其中假命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【題型2空間向量的加減運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】①巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接．②巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果．【例2】（2021秋?東莞市期末）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→A．AC1→ B．A1C→ C【變式2-1】（2021秋?西城區(qū)校級期末）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BC→A．BD→ B．DB→ C．AD→ 【變式2-2】（2021秋?潞州區(qū)校級期末）如圖，在空間四邊形P﹣ABC中，PA→A．PC→ B．PA→ C．AB→ 【變式2-3】（2021秋?大興區(qū)期末）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→A．AC→ B．A1C→ C．【題型3空間向量的線性運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】①數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量．②明確目標(biāo)：在化簡過程中要有目標(biāo)意識，巧妙利用線段的中點(diǎn)進(jìn)行解題．【例3】（2021秋?金華期末）在四棱錐A﹣BCD中，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則（）A．MN→=12ADC．MN→=?12【變式3-1】（2021秋?湖北期末）如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC延長線上一點(diǎn)，BC→=3CEA．AB→+13ADC．AB→+13【變式3-2】（2021秋?光明區(qū)期末）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點(diǎn)，AG→=2GEA．13AB→?2C．?23AB→【變式3-3】（2022春?海陵區(qū)校級期中）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CM→=MDA．AM→=12ABC．AQ→=14【題型4空間向量的線性運(yùn)算（求參數(shù)）】【例4】（2022春?蕭縣校級月考）已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，M，N分別為PC，PD上的點(diǎn)，且NM→=xAB→+yAD→+zAP→，PM→=2MCA．?23 B．23 C．1 【變式4-1】（2021秋?重慶期中）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在棱BB1和DD1上，且BE=13BB1，DF=12DDA．﹣1 B．0 C．13 D．【變式4-2】（2021秋?溫州期末）如圖的平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)M在BB1上，點(diǎn)N在DD1上，且BM=12BB1，D1N=13D1D，若MN→=xABA．17 B．16 C．23 【變式4-3】（2021秋?香坊區(qū)校級期中）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是面BB1C1C的中心，若AM→=aAB→+b①a+b+c＝2；②13＜b③a＝1；④a＝2c；⑤a＝b．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【題型5向量共線的判定及應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】①判斷或證明兩向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0≠SKIPIF1<0)共線，就是尋找實(shí)數(shù)λ，使SKIPIF1<0＝λSKIPIF1<0成立，為此常結(jié)合題目圖形，運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡或用同一組向量表達(dá)．②判斷或證明空間中的三點(diǎn)(如P，A，B)共線的方法：是否存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))；【例5】（2022春?灣里區(qū)期中）已知非零向量a→=3m→?2n→?4p→，b→=(x+1)mA．﹣13 B．﹣5 C．8 D．13【變式5-1】（2021秋?鏡湖區(qū)校級期末）在四面體O﹣ABC中，點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N為BC的中點(diǎn)，若OG→=13OA→+x4A．1 B．2 C．23 D．【變式5-2】（2022春?市中區(qū)校級月考）已知空間的一組基底{a→，b→，c→}A．2 B．﹣2 C．1 D．0【變式5-3】（2021秋?鄒城市期中）如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E→=23A1D【題型6向量共面的判定及應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】①若已知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則有eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．②證明三個向量共面(或四點(diǎn)共面)，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示．【例6】（2022春?成都期中）已知M，A，B，C為空間中四點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，且OM→=?2OA→+xOB→+yOC→，若M，A，BA．0 B．1 C．2 D．3【變式6-1】（2022春?楊浦區(qū)校級期中）下列條件中，一定使空間四點(diǎn)P、A、B、C共面的