2023年高考第一次模擬卷數(shù)學(新高考Ⅱ卷B卷)(全解全析)

2023年高考第一次模擬考試卷（新高考n卷B卷）

數(shù)學全解全折

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.設集合A={x|-l<x<2},集合8={x[l<x<3},則（）

A.{x|-l<x<3}B.{x|-l<x<l}

C.{x|l<x<2}D.{x\2<x<3}

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)軸表示兩個集合即可求得集合的并集.

【詳解】解析在數(shù)軸上表示兩個集合，如圖：

-1123

易知AuB={x|-l<x<3}.

A

2.設復數(shù)z滿足z+i=4-i,貝IJ3=（

4+21

C3+不r3-4i

A.4-2iB.4+2iD.----

-55

【答案】D

【分析】先求得z,然后結(jié)合復數(shù)的除法運算求得正確答案.

【詳解】依題意z=4-2i,

z_4-2i_（4-2i?_12-16i_3-4i

4+2i—4+2i—（4+2i）（4-2i）205-'

故選：D

3.幻方，是中國古代一種填數(shù)游戲.“5€%*,〃43）階幻方是指將連續(xù)〃2個正整數(shù)排成的正方形數(shù)陣，使

之同一行、同一列和同一對角線上的"個數(shù)的和都相等.中國古籍《周易本義》中的《洛書》記載了一個

三階幻方（如圖）.若某3階幻方正中間的數(shù)是2022,則該幻方中的最小數(shù)為（）

oeoeooa&o^

O492

中2

X

X357

X

586

?1

。?圖2

@1

A.2017B.2018C.2019D.2020

【答案】B

【分析】根據(jù)3階幻方對應關系可得結(jié)果.

【詳解】由題意，3階幻方正中間的數(shù)是5時，

幻方中的最小數(shù)為1;

因此3階幻方正中間的數(shù)是2()22時，

幻方中的最小數(shù)為2022-5+1=2018,

故選：B

4.已知向量工，方夾角為60。，且2=(1,3),慟=2則43=()

A.0B.10C.曬D.-加

【答案】C

【分析】根據(jù)模長公式求模長，然后根據(jù)數(shù)量積的公式即可求解.

【詳解】由，=(1,3)可得口=布，故】〃=即際60=710x2x1=710,

故選：C

5.為提高新農(nóng)村的教育水平，某地選派4名優(yōu)秀的教師到甲、乙、丙三地進行為期一年的支教活動，每人

只能去一個地方，每地至少派一人，則不同的選派方案共有()

A.18種B.12種C.72種D.36種

【答案】D

【分析】先將4名教師分為3組，然后再分別派到甲、乙、丙三地，即可得解.

【詳解】解：4名教師分為3組，有U種方法，然后再分別派到甲、乙、丙三地,

4

共有CX3種方案，所以共有36種選派方案.

43

故選：D.

6.若sin(]+a

Hr則cos2a+cosa=().

3131-47

A.—B.——C.—D.一

323298

【答案】C

【分析】利用誘導公式及:倍角公式化簡求值.

【詳解】由已知sin(g+a)=cosa="

8.已知函數(shù)〃q=(1+4功所1+6TT/則在同一個坐標系下函數(shù)/(x-a)與/(x)的圖像不可能是

【分析】設g(x)=l，由奇偶性的定義及性質(zhì)可得g(x)是R卜.的奇函數(shù)，且是R上的增函數(shù),

然后分a=0、a>0^a<0三種情況討論即可求解.

【詳解】解：設g(x)=ln(+J^TT),

因為g(x)+g(-x)=ln

所以g(x)是R上的奇函數(shù)，

又x>0時，g(x)在(0,M)|二單調(diào)遞增,

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，且有唯一零點0,

所以的圖像一定經(jīng)過原點(。,0),

當a=0時，/(尤一◎與f(x)的圖像相同，不符合題意.

(+Jx+1)是R上的奇函數(shù),且在(0,a)上單調(diào)遞增，所以/(x-a)與

當a>0時，，f(x)=(\+a\x\)-\n

的圖像可能為選項C；

當a<0時，^x^+co,l+alxl<0,/(x)->-oo,所以/。一。與/(x)的圖像可能為選項A或B.

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知函數(shù)/(x)=4sin(3x+(p)(4>0,3>0,-'<(p<T］的部分圖象如圖所示，則()

A.函數(shù)/G)的最小正周期為兀

B.點仔,0)是曲線y=/Q)的對稱中心

C.函數(shù)/(X)在區(qū)間「手,小內(nèi)單調(diào)遞增

D.函數(shù)/(x)在區(qū)間0弓內(nèi)有兩個最值點

【答案】AC

A=2母

Asin(p=2,可得函數(shù)/(x)=2&＞sin(2x+：),然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐

【分析】由題可得，

Asin(gx+(p)=2^2

項分析即得.

A=242

【詳解】由圖可知4sin(p=2

Asin[gx+(pJ=2>/2

「兀兀

所以sincp=,又一5＜甲＜2，

所以吟,

|1CD71兀?！?一

所以sm［三+w;=1,——+—=—+2E,keZ,

842

得3=2+16k,keZ,

,7t271/DC

又不<一，得0<co<4,

84a)

所以3=2,所以/(x)=2①sin(2x+：

所以函數(shù)/Q)的周期為兀，A正確；

%7T7T71

由2%+3=攵兀，k￡Z得,x=---—,keZ,取k=0得，x=-—,對稱中心為(-10)'

4288

?。?1得，x=y,對稱中心為傳,0),所以點(刊不是曲線y=/G)的對稱中心，B錯誤;

由2E-三42x+三42而+巴，kez得，kn--<x<kit+-,keZ,當％=1時，—<x<—,函數(shù)f(x)

2428888

在區(qū)間—內(nèi)單調(diào)遞增，CiE確;

OO

由2x+?=E+?？傻脁="+「keZ,取人=0得，x=J為函數(shù)/(x)的最值點，所以區(qū)間卜，鼻內(nèi)

42288L2_

有一個最值點，D錯誤.

故選：AC.

10.已知。M：x2+)，2-2x-2y-2=0,直線/：2x+y+2=0,P為/上的動點，過點尸作。加的切線P4PB,

切點為A，B,當|「加卜卜卻最小時，則()

A.直線AB的方程為2x-y-l=0B.\MP\=^5

C.直線AB的方程為2x+y+l=0D.『看=1

【答案】BCD

【分析】由題意可知直線,與圓相離，且四點4P,B,"四點共圓，RAB1MP,即可得出

\PM\-\AB\=4\PA\,而網(wǎng)=府|2-4,當直線MPL時，|心|=有，陷=1,此時產(chǎn)加卜口口最小,

Yminmin

即可得出答案.

【詳解】圓的方程可化為G-l1+(y-l>=4,

點M到直線/的距離為d==6>2,

722+12

所以直線/與圓相離，

依圓的知識可知，四點A，P，B,M四點共圓，且A8_LMP,

所以|PM|.|A8|=4S”“=4x^x\PA\x\AM\=4\PA\,

而|PA|=抨-4,

當直線MPL時，\MP\=45,\PA\=1,此時最小，

minmin

/.MP:y-1=-G-l)E|]y=—X+-,

222

y=__1x4—1.Irx—_1

由y22,解得八，

[2x+y+2=0l>=°

所以以MP為直徑的圓的方程為(x-DG+l)+y(y-l)=0,即x2+y2-y-l=0,

兩圓的方程相減可得：2x+y+l=0,即為直線A3的方程.

故選：BCD.

11.如圖，正方體A88-A8C。的棱長為1,E,F,G分別為線段8C,CC,88上的動點(不含

1111I1

端點)，則()

TT

A.異面直線。。與A尸成角可以為:

14

B.當G為中點時，存在點E,F使直線AG與平面AEF平行

I

9

C.當E,尸為中點時，平面AE尸截正方體所得的截面面積為6

O

D.存在點G,使點C與點G到平面AEF的距離相等

【答案】BCD

【分析】根據(jù)異面直線夾角的求解方法，線面平行的判定，以及正方體的截面面積的計算，結(jié)合幾何體的

結(jié)構特點，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】對A：因為故巳。與A尸的夾角即為與AF的夾角NA/尸，

兀

又當尸與C重合時，取得最大值，為耳；

/ACL"*TC

當尸與點C|重合時，/々AF取得最小值，設其為a,則tana=高=",故a>1；

又點尸不能與C，q重合，故乙4小尸€（。,］）以>彳，故A錯誤；

對B：當G為38中點時，存在E,尸分別為BC,CC的中點，滿足AG〃面AEF,證明如下:

1I1

取的中點為M,連接,如卜所示：

顯然AMHAE,又AEu面AEF,AM<z而AEF,故AM//面AEF；

又易彳導MG〃EF,所匚面4￡尸,知6<2面4￡'尸，故MG〃面AEF；

又4"門"6=屈,4加,知6<=面4何6,故面AMG〃面AEF,

1I1I

又4Gu面4"G,故4G〃面AEF,故B正確;

111

對C：連接AO/RRAE,如下所示：

因為EF"BC〃AD,故而AEFC即為平面AM截正方體所得截面；

111

又DF=AE=B,故該截面為等腰梯形，又EF=g,AD=72,

'22i

故截面面積S[(E…咽際-("產(chǎn)凈可呼I'故C正確;

要使得點G到平面AEF的距離等于點C到平面AEF的距離，只需EF經(jīng)過GC的中點，

顯然存在這樣的點G滿足要求，故D正確.

故選：BCD.

12.已知3?=5，=15，則”，人滿足的關系有()

A.—+-=1B.ab>4C.02+b^<4D.(“+1"+S+1”>16

ab

【答案】ABD

【分析】先把指數(shù)式化為對數(shù)式，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)可判斷A正確，根據(jù)1+：=1,結(jié)合基本不等式

ab

可判斷BCD的正誤.

【詳解】由30=5〃=15,則。=1。815>0,b=log15>0,

35

1111

A：—I—------F----=-^3+10^5=^15=1,正確;

ablog15log15

B：由A知：—F7=1>0,匕>0,。。匕，所以1='+2.>2J」-,即出?>4,故正確，

abab\ab

C：由A、B知：a+b=ab,a2+h^=(a+b)2-2ab=(ab)2-2ah=(ab-1)2-1>8,故錯誤，

D：由上，(。+1)2+(/?+l)2=a2+/;2+2(a+/?)+2=(ab)2+2>18>16,故正確.

故選：ABD.

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設a：l<x<4,P：X</H,若a是P的充分條件，則實數(shù)〃?的取值范圍是.

【答案】14,內(nèi))

【分析】根據(jù)題目條件得到lVx<4nxV”,，從而求出實數(shù)機的取值范圍.

【詳解】a是p的充分條件，故i=x<4=xM,”，所以加24,

實數(shù)〃?的取值范圍為14,4-00).

故答案為：14,”)

14.重慶八中某次數(shù)學考試中，學生成績X服從正態(tài)分布Go5,b2).若P(904X4120)=；,則從參加這次

考試的學生中任意選取3名學生，至少有2名學生的成績高于120的概率是.

【答案】三

32

【分析】結(jié)合正態(tài)分布特點先求事尸(X>120),再由獨立重復試驗的概率公式即可求解.

【詳解】因?qū)W生成績符合正態(tài)分布N(105,§2),故P(X>120)=匕必竺上電=1,故任意選取3名學

24

生，至少有2名學生的成績高于120的概率為尸=+

3(4j4⑷32

故答案為:

32

15.已知一3cx<0,則/G)=xj9—x2的最小值為.

【答案】T

【分析】因為/G)=X>/^7=-jQ-X2).X2,再利用均值不等式即可得出答案.

【詳解】因為-3<x<0,

所以/G)=X也-X2--jQ-X2).X2>_9-尤2+X2=_2,

當且僅當9-X2=X2,即x=-3叵時取等，

2

所以/G)=八6二77的最小值為號.

故答案為:

2

16.已知拋物線C：X2=4y的焦點為F,點尸的坐標為(2,1),動點A,8在拋物線C上，且見，P8,則

FA+FB的最小值是.

【答案】11

【分析】由刑，尸8得西.麗=0,從而推得4而=-2(a+b)-5,再由拋物線的定義推得

FA+FB=4(a+匕”+4(a+b)+12,從而利用換元法及配方法即可求得E4+尸8的最小值.

【詳解】依題意，設A(4a,4a2),8(4"4灰)，

由于A,8與P不重合，則4aw2,4bw2,即2"1,3x1,

因為以，依，所以

PA=(4a-2,402-l).(4Z?-2,4/?2-l)=4(2a-l)(2Z>-l)+(2<z+l)(2?-l)(2Z>+1)(26-1)

=(2a-l)(2/j-l)[4+(2a+l)(2/?+l)]=(2a-l)(2&-l)[4aZj+2(a+/>)+5]=0,

則4ab=-2(a+b)-5,

由拋物線的定義可得

FA+FB=4?2+1+4/>2+1=4a2+4/?2+2=4Q+4)+2=4(a+b”-Sab+2

=4(“+b)2—2[-2(〃+b)-5]+2=4(〃+b)2+4(〃+h)+12,

設r=a+b,則E4+FB=4r2+4f+12=41+gj+llNll,

當且僅當a+b=f=-g時，等號成立，

所以用+月3的最小值為11.

故答案為：11.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.在AABC中，角4,8,C所對的邊分別為a,4c,滿足展JCOSC=缶-c.

⑴求角B;

37

(2)若cosC=g,BD=4DC>△A3。的面積為求c的值.

71

【答案】(1)3=7

4

⑵c=2

【分析】(D利用正弦定理、正弦和角公式，以及sinA=sin(B+C),即可求出角B；

(2)利用三角形面積公式可得好=逑，再利用正弦定理可得a=4巨c,即可求出c的值.

28

【詳解】(1)解：利用正弦定理得：虎sin8cosc=JIsinA-sinC,

即5/2sinBcosC=V2sin（B+C）-sinC=A/2sinBcosC+5/2cosBsinC-sinC,

化簡得sinC=>/2sinCcosB，

由C為△ABC的內(nèi)角，得sinCwO,

可得cosB=,

2

71

又B為WC的內(nèi)角,所以B="

44

（2）解：已知BZ5=4OC）則=

SA=—|/4B||5D|sinB=-a,即ac=7夜①,

111

ABD2'25252

3/--------4

由cosC=j,可得sinC=V1-COS2C=-,

,sinA=sin（C+3）=sinCeos上+cosCsin三Jx立+上史=這

44525210

a_ca_c廣

利用正弦定理可得，而=菽=7方=3，即〃=及_。②

而58

聯(lián)立①②可得c=2.

18.己知數(shù)列｛4｝的前”項和為S=3,(n-l)s=nS+n2-n(n>2).

nnIn〃-1

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

n

（2）令b=%,求數(shù)列｛b｝的前”項和r.

"2Mnn

【答案】（1）。=2n-l

n

c2〃+3

⑵T=3--—

n2"

qqq

【分析】(1)變型可得二-J=l,從而可得｛%｝為等差數(shù)列，進而求得S=ni,根據(jù)。的關系可

nn-\nnn

得。=2n-l；

n

(2)根據(jù)錯位相減法即可求解.

【詳解】(1)因為(〃—1)S=nS+〃2-n(n>2),

nM-1

則有(〃一1)S-nS=〃2-〃，

nn-1

兩邊同時除以〃(〃—1)得：乙一二+=1,S=a=l,

nn-\11

q

所以數(shù)列｛%｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，

n

S

故—》r=1+(〃-1)X1=〃，則S=〃2,

nn

當〃22時，a=S-S=?2-(n-1)2=2/z-l,符合a=1,

nnn-l1

故a=2n-l.

n

a

/_、？2n-\

(2)h=—rr=-----

n2“2”

7①

H2223242”T2“

—工+…+2+2②

2"222?2J2s2“2”+i

尸X?日1Tl22222n-\

(T)—：-T——?---1----1----F???H-------------

2〃22223242n2〃+1

即為=-+2。-2〃-1)2〃-1_2〃+3

2”21--2"+|22"+i

2

得r=3-2

n2"

19.某校為了了解學生每天完成數(shù)學作業(yè)所需的時間收集了相關數(shù)據(jù)（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制

成頻率分布直方圖（如圖），其中，學生完成數(shù)學作業(yè)的時間的范圍是（0,10（）］.其統(tǒng)計數(shù)據(jù)分組區(qū)間為

（2）以直方圖中的頻率作為概率，從該校學生中任選4人，這4名學生中完成數(shù)學作業(yè)所需時間少于20分

鐘的人數(shù)記為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

【答案】⑴x=0.0125

（2）分布列見解析，數(shù)學期望為1.

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求解;

（2）山題意可知，隨機變量X服從二項分布.

【詳解】（1）由直方圖小矩形面積之和為1，

可得:20x+0.025x20+0.0065x20+0.003x2x20=l,

解得x=0.0125；

(2)X的可能取值為0,1,2,3,4.

由直方圖可知，每位學生完成數(shù)學作業(yè)所需時間少于20分鐘的概率為!，

4

則尸（x=o）#T=色,P（x=D=c/邛訃二，

【刈25644人刈64

尸（x=2）="』號丫=三,p（x=3）=c./iym=2,

44；12864

Pl?一.

⑷256

所以X的分布列為：

X01234

81272731

P2566412864256

因為X~8（4,；）

4

所以E（X）==4x—=1.

4

20.如圖，在多面體ABC。砂中，四邊形C。所是邊長為2的正方形,

ABHCD,AD1CD,BE=3AB=3,AO=2.

￡_______________仁

/*r/，、

〃）工人…/…Jr

（1）求證：平面4）尸_L平面BCE；

（2）求平面ADF與平面BCF所成銳角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；

⑵回.

5

【分析】（1）作出輔助線，求出8。=逐，由勾股定理逆定理得到30,OE,進而得到線面垂直，得到

DE^-AD,從而得到AD1平面。EF,得到AD1CE,最終證明出CEL平面4。尸，得到面面垂直；

（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求解面面角的余弦值.

【詳解】（1）證明：連接8。，

因為BE=3AB=3,4O=2,

所以Afi=l,

因為AB//CD,4。_LCD,

所以，

由勾股定理得：BD=ylAD2+AB2=J5，

因為BE=3,DE=2,

故BE?=DE2+BD2,所以BA-LZJE,

又CDA.DE,CDCBD=D,

所以￡>EJ■平面ABCD,

又ADu平面ABCD,

所以。EJ_A￡）,

又A￡>_LCZ）,EQnC￡>=。，

所以AD1平面CDEF,

又CEu平面CQE尸，所以AD_LCE,

又d.CE,ADn。尸=。，所以CEL平面AO尸，

又CEu平面5CE,所以平面ADF，平面8CE.

（2）由（1）知￡M,DC,OE兩兩垂直，以。為原點，。4。。,?！甑姆较驗椋?,Z軸的正方向建立如圖所

示的空間直角坐標系.

C(0,2,0),E(0,0,2),尸(0,2,2),8(2,1,0),CE=(0,-2,2),CB=(2,-l,0),CF=(0,0,2),

|1]CE_L平面ADF知CE=（0,-2,2）是平面ADF的一個法向量.

設平面BCF的法向量為〃=（X,y,z），

CBn=O2x-y=0

由，—得:

CFn=O2z=0

解得：Z=o,令X=l,貝Ijy=2,故〃=(1,2,0),

設平面AZ）尸與平面3c尸所成銳角為。,

\CE-n\1-41_V10

即cosO

ICEMnl2j2xy/5^~

所以平面ADF與平面BCF所成銳角的余弦值為姐.

5

21.設F,F分別是雙曲線「:上-匕=1（。＞0力＞0）的左、右兩焦點，過點F的直線/:x-殂T=0（〃?/WR）

12a2b2

與「的右支交于M，N兩點，「過點（-2,3）,且它的虛軸的端點與焦點的距離為

⑴求雙曲線「的方程；

⑵當阿々|=|尸,＜|時，求實數(shù)〃?的值；

---1

（3）設點M關于坐標原點。的對稱點為P,當M時，求△0〃汽面積S的值.

2

22

【答案】(1)X2-二=1

3

(2)"Z=土-

15

⑶旭

【分析】（1）根據(jù)點在雙曲線上及兩點距離列方程組求雙曲線參數(shù)，即可得方程；

（2）山點在直線上求得f=2,根據(jù)5到直線/：x-叼，-2=0的距離與等腰三角形尸M尸底邊MF上的高相

1I22

等，列方程求參數(shù)加；

（3）設加（.，力）,%（%。2），聯(lián)立雙曲線與直線方程，應用韋達定理得丁+'==1r2m—，y+y=—-Q-，

/“'/II21-3m2?21-3m2

由向量的數(shù)量關系可得“=上，根據(jù)對稱點，三角形面積公式S=2S,=2\y-yI，可求△PMN面積.

354OMN1121

【詳解】（D因為雙曲線「過點（-2,3）,且它的虛軸的端點與焦點的距離為近，

[49_

—~r=1az=1

可得：G夕2解得：

拉+。2+拉）=7出=3

所以雙曲線「的方程為心-21=1.

3

（2）因為直線/：x-nzy-f=O,且過點尸2（2,0）,

則2—mxO—f=0,解得：f=2,

山|吃|=叱打得：三角形為等腰三角形，

所以等腰三角形FMF2底邊Mq上的高的大小為出二（匕/j=厲，

又因為點與到直線/：x-my-2=0的距離等于等腰三角形尸Mf底邊上的高,

112

則1=空=!=行，

化簡得：m2=-,即帆=±姮.

1515

（3）設M％）,N（x2>y2）i

G上=1

由直線與雙曲線聯(lián)立得：3,

x-my-2=0

化簡得：（362-l）y2+12my+9=0,

12/7?9

由韋達定理得Y+yrE，*

1-3A?2

—1—12m_9

又MF=-FN,叫=倒，則？------，2y2=

2221-3/722I1-3/772

12m1291

即2，則必=77，

1-3/H21-37H235

又點M關于坐標原點0的對稱點為P,則:

12m9124W2+19735

S=2S.N=2|y「4=2g+?-4*=2,f-4-