2023河南版數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)題

2023河南版數(shù)學(xué)中考

§4.3直角三角形

五年中考

考點(diǎn)直角三角形（10年4考）

1.（2016河南,6,3分）如圖，在AABC中,NAC3=9（）o,AC=8,45=10.OE垂直平分AC交A3于點(diǎn)E,則

。七的長(zhǎng)為（D）

A.6B.5C.4D.3

解析在△ABC中,,.,NAC8=9（TQE垂直平分AC,：.AD=DC,DE//BC,：.E為AB的中點(diǎn),，

DE=^BC,'：BC=y/AB2-AC2=6,：.?！?川=3.故選D.

2.（2022河南,15,3分）如圖，在RtAABC中,/4。8=90。,4。=3。=2a,點(diǎn)D為A3的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC

上，且CP=1,將CP繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，連接AQ,OQ.當(dāng)乙4。。=90。時(shí),AQ

的長(zhǎng)為一遍或g_.

解析：乙4。8=90。/。=8。=2近，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)且400=90。,Z.DQ是AB的垂直平分線

且經(jīng)過點(diǎn)C,CD=AD=DB=2,VCQ=CP=1,：.Q在RtA/lBC內(nèi)部時(shí)，記為Qi,00=2-1=1,由

勾股定理得AQ^22+I2=花；當(dāng)點(diǎn)Q在Rt”BC外部時(shí)，記為Q,QQ=2+1=3,由勾股定理得

A。2f/32+22=V13..-./Q的長(zhǎng)為遙或VII

3.（2018河南,15,3分）如圖,NMAN=90。,點(diǎn)C在邊AM上,AC=4,點(diǎn)B為邊AN上一動(dòng)點(diǎn)，連接

BCQA'BC與AABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱.點(diǎn)D,E分別為AC,BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交AB

所在直線于點(diǎn)七連接AE當(dāng)為直角三角形時(shí),A3的長(zhǎng)為4或4g.

解析⑴當(dāng)點(diǎn)A在直線DE下方時(shí)，如圖1,

,/ZCA'F=9Qo,NEAQNCAF

AArEF為鈍角三角形，不符合；

圖1

⑵①當(dāng)點(diǎn)A在直線DE上方且NA戶E=90°fl寸,

如圖2.,JDE//AB,

，NEDA=90。,

：.A'B//AC.

由對(duì)稱知四邊形ABA'C為正方形，

：.AB=AC=4；

②當(dāng)點(diǎn)A在直線DE上方且/4￡7三90。時(shí)，

如圖3.A'E//AC,

：.ZA'EC=ZACE=NACE,

：.A'C=A'E.

"：A'E=EC,

.?.△4CE為等邊三角形，

，ZACB=ZA'CB=60°,

.,.在RtAACS中,A8=AC?tan60°=4V3；

③當(dāng)點(diǎn)A在直線DE上方時(shí),NEA戶＜NCAB,

...NE4r不可能為90°.

綜上所述，當(dāng)“叱為直角三角形時(shí),A3的長(zhǎng)為4或4V3.

圖3

方法總結(jié)解對(duì)稱（折疊）型問題，當(dāng)對(duì)稱軸過定點(diǎn)時(shí)，一般要找出對(duì)稱中的定長(zhǎng)線段，以定點(diǎn)為圓

心，定長(zhǎng)為半徑作輔助圓來確定對(duì)稱點(diǎn)的軌跡是較為有效的方法.再根據(jù)題目中所要求的條件,

結(jié)合全等、相似或勾股定理等計(jì)算得出結(jié)果.

4.（2017河南,15,3分）如圖，在RthABC中,乙4=90。,43=人。乃。=&+1,點(diǎn)MN分別是邊BC.AB上

的動(dòng)點(diǎn)，沿所在的直線折疊使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)方始終落在邊AC上.若△MB'C為直角三角

形，則BM的長(zhǎng)為”或1.

解析在Rt^ABC中,/A=90°/B=AG,ZB=ZC=45°.

⑴當(dāng)NMBC=90°fl寸,/B7WC=NC=45。.設(shè)則在RtAMB'C中,由勾股定理得

MC=^2x,：.缶+%=魚+1,解得E,，BM=1.

⑵如圖，當(dāng)NB7WC=9O用寸，點(diǎn)9與點(diǎn)A重合,

此時(shí)BM=B/M^BC=

綜上所述的長(zhǎng)為”或1.

三年模擬

53基礎(chǔ)練

一、選擇題（每題3分，共15分）

1.（2021許昌一模，播）如圖，在5x5的網(wǎng)格中，每個(gè)格點(diǎn)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,母鉆。的三個(gè)頂點(diǎn)

A,B,C都在網(wǎng)格點(diǎn)的位置上，則△ABC的邊AB上的高為C)

解析由勾股定理得ABi環(huán)溟=恒設(shè)AB邊上的高為〃，則-@x2x2,.?./片華.故選C.

2.（2021山東臨沂，幽如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B都在格點(diǎn)上，若8C=宇，則AC的長(zhǎng)

為(B)

A.V13B.等C.2V13D.3V13

解析構(gòu)造如圖所示的直角三角形則BD=6,AD=4,

由勾股定理得AB=y/BD2+AD2=<62+42=2713,

：.AC=AB-BC=2\[13一?=空故選B.

3.（2021駐馬店一模，播）如圖，從筆直的公路/旁一點(diǎn)尸出發(fā)，向西走6km到達(dá)/；從尸出發(fā)向北走

6km也到達(dá)/.下列說法錯(cuò)誤的是(A)

A.從點(diǎn)P向北偏西45。走3km到達(dá)I

B.公路/的走向是南偏西45°

C.公路/的走向是北偏東45。

D.從點(diǎn)P向北走3km后，再向西走3km到達(dá)I

解析由題意可得△應(yīng)/?是腰長(zhǎng)為6km的等腰直角三角形，則AB=6&km,如圖所示，過P點(diǎn)作

AB的垂線PC交AB于點(diǎn)C,則尸。=3&km,則從點(diǎn)P向北偏西45。走32km到達(dá)/,選項(xiàng)A說法

錯(cuò)誤;公路/的走向是南偏西45喊北偏東45。,選項(xiàng)B,C說法正確;從點(diǎn)P向北走3km后到達(dá)BP

的中點(diǎn)。此時(shí)CD為aAB的中位線，故C0=/p=3km,故再向西走3km到達(dá)/,選項(xiàng)D說法正確.

故選A.

4.（2022焦作沁陽二模，淄）如圖,在等腰R3ABC中,AB=AC=6,NA=90。,矩形EFGH的頂點(diǎn)E,F

分別在AB,AC上，點(diǎn)G,H在BC上設(shè)AE=x,矩形EFGH的面積為％則y與x的函數(shù)圖象的最高

點(diǎn)坐標(biāo)為(A)

A.(3,9)B.(3,3V2)

C.(3,6)D.(3,6>/2)

解析.??四邊形MG"是矩形,

：.EF//BC,EHVBC,

,：等腰Rt^ABC中,AB=AC=6,NA=90。,；.AAEFABEH均為等腰直角三角形,

'：AE=x,

：.EF=\[2AE=y/2x,BE=6-x,

：.EH=^-BE=^-x),

：.y=EF-EH=42x-y(6-A)=-x2+6A-=-(x-3)2+9(0<i<6),

V^-KO,

，當(dāng)x=3時(shí),y有最大值9,

故y與x的函數(shù)圖象的最高點(diǎn)坐標(biāo)為(3,9).故選A.

5.(2022信陽模擬，姨)如圖l,RtAABC^,ZACB=90°,CD是中線，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿D—C—B

的方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),△川□「的面積Men?)隨時(shí)間x(s)變化的

圖象，則。的值為D)

A.2B.jC-VD.而

解析由點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)可知,C￡>=acm,8c=a+2-a=2cm,且當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),AAOC的面積為

2cm2,過點(diǎn)D作DELAC于點(diǎn)E,

：.^AC-OE=2,即AC?D￡=4,

,:CD是中線即點(diǎn)。是AB的中點(diǎn),；.DE是dBC的中位線，

1

/.DE=-BC=1cm,.\AC=4cm,

在Rt^ABC中，由勾股定理可知,AB=2V^cm,CD=^AB=V5cm.a=遮.故選D.

二、填空題（每題3分，共9分）

6.（2022信陽模擬，幽如圖所示，以數(shù)軸的單位長(zhǎng)線段為邊作一個(gè)正方形，以數(shù)軸上實(shí)數(shù)1所對(duì)的

點(diǎn)為圓心，正方形對(duì)角線長(zhǎng)為半徑畫圓弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)A,則點(diǎn)A表示的數(shù)是加+1.

，門V」

012345

解析數(shù)軸上正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為口i/=V2,

由題圖可知數(shù)軸上實(shí)數(shù)1所對(duì)的點(diǎn)和點(diǎn)A之間的距離為企.???點(diǎn)a表示的數(shù)是1+V2.

7.（2022四川成都，鎮(zhèn)）如圖，在“BC中，按以下步驟作圖:①分別以點(diǎn)B和C為圓心，以大于

的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)M和N；②作直線MN交邊AB于點(diǎn)E.若AC=5,3E=4,NB=45。,

則AB的長(zhǎng)為7.

解析連接CE由題意可知MN是線段BC的垂直平分線,二BE=CE=4,:.NEBC=NECB.?:/

EBC=45°,ZBEC=ZCEA=90°.在ACE中，根據(jù)勾股定理得AE=y/AC2-CE2=3,，

A8=AE+8E=3+4=7.

8.（2022開封蘭考一模，播）一種圓角正方形桌面如圖所示.每段圓弧所對(duì)的圓心角是90。,用一把

直尺測(cè)得輪廓（直邊）上兩點(diǎn)之間距離的最大值是100cm,平行的兩直邊之間的距離為80cm,則

該圓角正方形的周長(zhǎng)是是40+207r）cm

解析如圖,由題意00cm,EF=80cni,

在Rt"OE中,NAEO=9O°,OE=4Ocm,04=5Ocm,

：.AE=y/OA2-OE2=45()2一402=30(cm),.?.四個(gè)角上的圓弧的半徑為10cm,

該圓角正方形的周長(zhǎng)=8x30+2無?10=（240+20兀）cm.

三、解答題（共11分）

9.（2021福建，幽如圖，在RtAABC中，乙4cB=90。.線段EF是由線段AB平移得到的，點(diǎn)F在邊

BC±AEFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)。恰好在AC的延長(zhǎng)線上.

（1）求證:NADE=N。尸C；

(2)求證:C￡>=8斤

證明⑴在等腰直角三角形EDF中,NEDF=9Q°,

：.ZADE+ZADF=9O°.

■:ZACfi=90°,

ZDFC+ZADF=ZACB=90°,

/.ZADE=ZDFC.

⑵連接A￡

由平移的性質(zhì)得AE//BF,AE=BF.

：.ZEAD=ZACB=90°.

又ZDCF=180°-ZACB=90°,

：.NEAD=NDCF.

???△EOF是等腰直角三角形，

：.DE=DF.

由（1）得NAOE=NQFC,

二△AED^ACDF,

：.AE=CD,：.CD=BF.

53提分練

一、選擇題（共3分）

1.（2022安陽林州一模，峭）如圖LRtAABC中,NC=90。,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿

AC^CB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)比設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x,LAPD的面積為》與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則

AB的長(zhǎng)為(A)

圖1

A.10B.12C.14D.16

解析由題圖2可知，當(dāng).r=14時(shí),AC+8C=14,，8C=14-AC

△APD的面積最大時(shí)，

y=S^ACD-^S△ABC=^ACxBC=12,

，Ucx（14-AC）=12,

4

解得AC=6或AC=8,

由題圖1可知ACBC,故AC=8,BC=6,

在RtA/lBC中,由勾股定理得AB=NAC?+BC2=V82+62=10.

故選A.

二、填空題（每題3分，共18分）

2.（2022安陽林州一模，播）如圖，在△ABC中,AB=AC=6,NBAC=120。,點(diǎn)E是A8邊上不與端點(diǎn)重

合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作EDVBC交BC于點(diǎn)。將沿DE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F,當(dāng)MCF為直

角三角形時(shí)乃E的長(zhǎng)為2或3.

解析①當(dāng)N。尸=90%寸,

,?AB=AC=6,ZBAC=\20°,

：.ZB=ZC=30°=ZBAF,

：.BF=AF=^AC=2>/3,

由翻折可知乃。=。尸=百，

在RSBDE中,/8=30。,8。=8,BE=-^-=2；

COS30

②當(dāng)/4口。=90用寸，

由翻折可知NE。尸=9()o=NAFCDE//AF,

BE=AE=-AB=3.

2

綜上所述乃E的長(zhǎng)為2或3.

3.(2022信陽息縣模擬,#)如圖,在矩形ABCD中/8=10M。=12,點(diǎn)N是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)M是

BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接MN,將△BMN沿MN折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為因連接BC,當(dāng)&BMC為直角

三角形時(shí)的長(zhǎng)為5或1.

解析當(dāng)為直角三角形時(shí)，分3種情況討論.

①當(dāng)/夕CM=90°fl寸，

??次為"的中點(diǎn)必8=10,

:,AN=BN=B'N=±1AB=5,

'：NB'<AD,^5<12,

???點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)8不能落在CD所在直線上，

NBCM<90。,故該情況不存在；

②如圖,

當(dāng)NCA?=90時(shí)NBMB'=90。,

由折疊的性質(zhì)得ZBMN=ZB'MN=45°,

'：ZB=90°,：.BN//MB',

：.NBNM=NB'MN=45°,

:.BM=BN上AB=5；

③如圖，

RM

當(dāng)NCBW=90。時(shí)，

/NB，M=/CBM=90。故N,B',C三點(diǎn)共線，

設(shè)貝!JCM=l2-x,

在RSNBC中，

NC=y/NB2+BC2=V52+122=13,

則B'C=NC-B'N=S,

在RQ87WC中，

由勾股定理可得8加2+夕02=加02,即/+82=(]2-力2,

解得x號(hào),即BM號(hào).

綜上所述，滿足條件的BM的值為5

4.(2022鄭州模擬，中既如圖，在AABC4],ZC=90O,AC=12,BC=5,D是邊45的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上,

將△4￡)￡沿DE翻折,使得點(diǎn)A落在點(diǎn)4處,當(dāng)直線A'E±AB時(shí)/樂3舊或2舊_.

B

解析分兩種情況:

①點(diǎn)A在AC下方，延長(zhǎng)AE交A3于￡如圖,

"A'ELAB,：.ZA'FD=90°,

*ZC=90°,AC=12,BC=5,

.AB=y/AC2+BC2=13,

..BC5AC12

.sinA=—=—cosA4=—=-j

AB13AB13

?。是邊AB的中點(diǎn),

13

.AD=BDf,

?將AADE沿DE翻折,使得點(diǎn)A落在點(diǎn)A處,

13

.A'D=AD=^-,ZDA'F=NA,

在RtAA'DF中，。尸=4。?sinZZ)A(F=yxsinA=yx^=|,

1313I?

A，F(xiàn)=A，D

?cosNDA'Q萬xcosA=yx-=6,

135

：.BF=BD+DF^+^

在RtZ^l'8'中,A'B=VBF2+/，尸2=>/92+62=3713；

②點(diǎn)A在AC上方,AE與AB交于F,如圖,

A'

由題意知ZA'FD=ZA'FB=90°,

???將”QE沿DE翻折,使得點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，

13

Z.A'D=AD=^,ZDA'F=ZA,

在Rt"DF中,DF=AD?sinZ￡>AzF=yxsinA=葭義卷=*

131312

AfF=AfD?cosZDAfF=—xcosA=—x—=6

2213'f

135

：.BF=BD-DF=---=4

22I

在RtaA'BF中,A'B=7BF2+A'F2=V42+62=2m.

綜上所述M'B的長(zhǎng)度為3舊或2V13.

5.（2022河南多校聯(lián)考,#）如圖，點(diǎn)E是Rt^ABC斜邊AC上一點(diǎn),AB=4,BC=2,將沿BE翻

折，得到"BE,再在AC邊上取點(diǎn)匕使點(diǎn)C關(guān)于BF的對(duì)稱點(diǎn)C"恰好落在BA上，連接EC,當(dāng)

△AEC是直角三角形時(shí),AE的長(zhǎng)是頭或花.

解析根據(jù)題意可知，當(dāng)"EC是直角三角形時(shí)，分ZA'EC'=90專口ZEC'A'=90。兩種情況.

在RSABC中，

AB=4,BC=2,：.AC=y/AB2+BC2=2病cosA嘿=唱

由翻折可知,AE=A'E,A'B=AB=4,BC'=BC=2,NA'=NA,

：.A'C'=A'B-BC'=2,

①當(dāng)N4EC=90。時(shí)，點(diǎn)。在AC上,如圖,

4,

mil,AfEA>E2-75

貝UC0S>A1=^；=V=—

：

.A,E=-5-,'

②當(dāng)NEC4=90。時(shí),如圖,

貝11cosA衛(wèi)=衛(wèi)=獨(dú)，

AfEAfE5'

：.A'E=V5.

綜上所述,AE的長(zhǎng)是竽或門.

6.（2022信陽模擬，然）如圖，在Rt"BC中,/。=90。,/8=30。/。=3,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊

AB上一動(dòng)點(diǎn)，沿DE所在直線把△BDE翻折到ABDE的位置乃7）交AB于點(diǎn)F,若AABF為直角

三角形，則AE的長(zhǎng)為3或羨

解析AAB'F為直角三角形分兩種情況討論.①如圖，當(dāng)NAFQ=90時(shí)

在RtAAfiC中,N3=3(r,AC=3,

：.AB=2AC=6,BC=3V3,

.,.BD=CD=—,

2，

:.BF/BD=

24

,?ZBFD=9Q°,：.ZBDF=6Q°,

：.NEDB=/EDF=3。。,

：.NB=/EDB=30。,

：.EB=ED設(shè)BE=DE=x,

在RtAEDF中,DE=2EF,

"2?一%),“I，

：.AE=6--=

22

②如圖，當(dāng)乙48戶=90。時(shí)，作EHLAB交AB的延長(zhǎng)線于H,連接AD設(shè)AE=x.

'：AD=AD,CD=DB',

：.R"OC<RSAO*(HL),

：.AC=AB'=3,

,/ZAB'E=ZAB'F+ZEB尸=90°+30°=120°,

NEB舊=60。,

在RtAEHB中,B'gB，E=^6-x),EH=y/3B'H=1(6-x),

在Rt^AEH^,EH2+AH2=AE2,

（6—+［3+之（6—久）］=『,解得x=￡.

綜上所述，滿足條件的AE的值為［或高

7.（2022湖北武漢，於）如圖，在RMABC中,分別以的三邊為邊向外作

三個(gè)正方形ABHL,ACDE,BCFG,連接OE過點(diǎn)C作AB的垂線C/,垂足為J,分別交DF,LH于點(diǎn)

IK若C7=5,C/=4,則四邊形AJKL的面積是80.

解析過點(diǎn)D作OM,C1,交CI的延長(zhǎng)線于M過點(diǎn)F作FNLC7,垂足為N.

'：四邊形ACDE為正方形,AC=C。乙48=90。,

,ZDCI+ZACJ=90°.

又ZAJC=90°,：.ZACJ+ZCAB=90°,：.ZDCI=ZCAB.

又,/ZAJC=ZDMC=90°,AC=CD,

：.AAJC^ACMD,；.C/=QM=4,同理可得FN=CJ=4.

:&CD產(chǎn)SbCDi+SbCFF^p?DM+^CI?FN3x5x4+1x5x4=20.

'：AC=CD,BC=CF,ZACB=ZDCF=90°,

：.△ACB-△OCR,I.SAABC=5ACDF=20.

：.^AB-CJ=20,

???四邊形為正方形

：.AL=AB=\O.

,：ZCAB+ZACJ=90°,ZBCJ+ZACJ=90°l/./CAB=/BCJ,又?:ZAJC=ZCJB=90°,

.?.△A7CS△加嗎=沙.鋁彘,

：.AJ=S或2,\"AC>BC,：.AJ=8.

AS四邂A/KL=A八AL=8x10=80.

三、解答題（共19分）

8.（2022駐馬店二模，小）在RtAABC中,/48。=90。d3=灰；點(diǎn)￡在射線CB上運(yùn)動(dòng).連接AE,將線

段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到EF,連接CF.

⑴如圖1,點(diǎn)E在點(diǎn)B的左側(cè)運(yùn)動(dòng).

①當(dāng)BE=l,BC=V3^,ZEAB=

②猜想線段C4,b與CE之間的數(shù)量關(guān)系為.

⑵如圖2,點(diǎn)E在線段C8上運(yùn)動(dòng)時(shí)，第⑴問中線段。與CE之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?

如果成立,請(qǐng)說明理由;如果不成立，請(qǐng)求出它們之間新的數(shù)量關(guān)系.

⑶點(diǎn)E在射線CB上運(yùn)動(dòng),BC=目，設(shè)BE=x,以A,E,C,F為頂點(diǎn)的四邊形面積為y,請(qǐng)直接寫出y與

x之間的函數(shù)關(guān)系式（不用寫出x的取值范圍）.

RK

圖2

備用圖

解析(1)030.AB=BC=V3,BE=1,ZABC=90°,

：.AE=2,

：.ZE4B=30°.

@CA+CF=y12CE.

如圖1,過點(diǎn)E作ME工EC交CA的延長(zhǎng)線于M,

圖】

,/ZABC=90°,AB=BC,

：.ZACB=45°,/.NM=45°,

/.ZM=ZECM,：.ME=EC,

???將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90狷到EF,

：.AE=EFIZAEF=9Q°,

：./AEM=NCEF,

：.△尸EC絲AAEM(SAS),

二CF=AM,

/.CA+CF=CA+AM=CM,

???叢CME為等腰直角三角形，

CM=yf2CE,

:.CA+CF=y[2CE.

⑵不成立.

理由如下:如圖2,過點(diǎn)F作FHLBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

圖2

由題意得ZA￡F=90°,AE=EF,

'：ZBAE+ZAEB=ZAEB+ZFEH=90°,

，NFEH=NBAE,

：.△ABEg△EUF(AAS),

:.FH=BE,EH=AB=BC,

：.CH=BE=FH,

.?.△/77C為等腰直角三角形，

CH=BE=—FC.

2

又,：EC=BC-BE*AC--FC,

即CA-CF=^2CE.

⑶①如圖L當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí),

y=^x2+V3x+|.

VAFEC^AA￡M,

??S^,FEC=S^AEMi

?**S四邊形A￡/；C=Sz\A￡C+S△/芭。=Sz^A后C+SAAEM=SACM￡=5C￡~,

\*B￡=x,BC=V3z

.*.y=|（.r+V3）2=1x2+V3x+1.

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)苧x+1.

由⑵可知MM為等腰直角三角形,/77=BE=x,

:.S四邊形AEC產(chǎn)SAAEF+SAECF=；/E2+^ECxFH=33+/）+：（國(guó)㈤*-^=|+4乂:y="%+（.

綜上,），與X之間的函數(shù)關(guān)系式為.y《x2+8％+1或y=f％+|.

9.（2022信陽模擬,耕）提出問題:在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“兩個(gè)大小不等的等腰直角

三角板的直角頂點(diǎn)重合,并讓一個(gè)三角板固定，另一個(gè)繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)'’為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

如圖1,三角板ABC和三角板DEF都是等腰直角三角形,NC=N￡點(diǎn)M,N分別為DE.AB的中點(diǎn).

如圖2,將點(diǎn)尸、點(diǎn)C重疊合并在一起，記作點(diǎn)C,點(diǎn)D,E分別落在邊BC.AC上，連接A。記AD的

中點(diǎn)為點(diǎn)P,試判斷線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

圖2

A

CR

圖3

探究交流:“感恩”小組發(fā)現(xiàn),PM=PN,PM，PN,并展示了如下的證明方法：

,/點(diǎn)P,N分別是AD.AB的中點(diǎn)，

1

：.PN//BD,PN=-BD.

點(diǎn)P.M分別是AD.DE的中點(diǎn)，

：.PM//AE,PM=^AE.(^1)

"：CA=CB,CE=CD,：.AE=BD,：.PM=PN.

"PN//BD,：.ZDPN=ZADC.

"PM//AE,：.ZDPM=ZDAC.

"ZBC4=90°,

NAA)C+NCAO=90°,(依據(jù)2)

二NMPN=NDPM+NDPN=ZCAD+NADC=90°,：.PM±PN.

反思拓展：

⑴①上述證明過程中的“依據(jù)1