2023-2024學年福建廈門雙十中學高三上數(shù)學期末達標檢測試題含解析

2023-2024學年福建廈門雙十中學高三上數(shù)學期末達標檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過拋物線（）的焦點且傾斜角為的直線交拋物線于兩點.，且在第一象限，則（）A． B． C． D．2．已知實數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．若平面向量，滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．4．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．5．函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．6．已知、是雙曲線的左右焦點，過點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點，若點在以線段為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．7．若，則的值為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．9．在復平面內(nèi)，復數(shù)（，）對應向量（O為坐標原點），設，以射線Ox為始邊，OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理可以導出復數(shù)乘方公式：，已知，則（）A． B．4 C． D．1610．復數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，則的虛部為（）A． B． C． D．11．已知是的共軛復數(shù),則（）A． B． C． D．12．已知復數(shù)，滿足，則（）A．1 B． C． D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則_________.14．在平面直角坐標系中，若函數(shù)在處的切線與圓存在公共點，則實數(shù)的取值范圍為_____．15．在三棱錐中，三條側棱兩兩垂直，，則三棱錐外接球的表面積的最小值為________.16．在等差數(shù)列（）中，若，，則的值是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求的值；（2）當，且時，求的面積.18．（12分）設橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，點D在橢圓C上，的周長為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過圓上任意一點P作圓E的切線l，若l與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，求證：為定值.19．（12分）在中，角所對的邊分別是，且.（1）求；（2）若，求.20．（12分）設為實數(shù),在極坐標系中,已知圓（）與直線相切,求的值．21．（12分）高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行,更帶動了我國經(jīng)濟的巨大發(fā)展.據(jù)統(tǒng)計,在2018年這一年內(nèi)從市到市乘坐高鐵或飛機出行的成年人約為萬人次.為了解乘客出行的滿意度,現(xiàn)從中隨機抽取人次作為樣本,得到下表(單位:人次):滿意度老年人中年人青年人乘坐高鐵乘坐飛機乘坐高鐵乘坐飛機乘坐高鐵乘坐飛機10分(滿意)1212022015分(一般)2362490分(不滿意)106344（1）在樣本中任取個,求這個出行人恰好不是青年人的概率;（2）在2018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機選取人次,記其中老年人出行的人次為.以頻率作為概率,求的分布列和數(shù)學期望;（3）如果甲將要從市出發(fā)到市,那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),你建議甲是乘坐高鐵還是飛機?并說明理由.22．（10分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線與曲線交于兩點.(1)求的長；(2)在以為極點，軸的正半軸為極軸建立的極坐標系中，設點的極坐標為，求點到線段中點的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

作，；，由題意，由二倍角公式即得解.【詳解】由題意，，準線：，作，；，設，故，，.故選：C【點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.2、B【解析】

畫出可行域，根據(jù)可行域上的點到原點距離，求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由，，三點所圍成的三角形及其內(nèi)部，如圖中陰影部分，而可理解為可行域內(nèi)的點到原點距離的平方，顯然原點到所在的直線的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最小值，此時，點到原點的距離是可行域內(nèi)的點到原點距離的最大值，此時.所以的取值范圍是.故選：B【點睛】本小題考查線性規(guī)劃，兩點間距離公式等基礎知識；考查運算求解能力，數(shù)形結合思想，應用意識.3、C【解析】

可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)，化簡為三角函數(shù)最值.【詳解】由題意可得：，，，故選：C【點睛】本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達是本題的關鍵點.本題屬中檔題.4、C【解析】

結合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結合各選項進行判斷即可.【詳解】A：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；B：在上不單調(diào)，不符合題意；C：為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，符合題意；D：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.故選：C.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎題.5、A【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號，結合排除法可得出正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，，該函數(shù)為偶函數(shù)，排除B、D選項；當時，，排除C選項.故選：A.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式辨別函數(shù)的圖象，一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號，結合排除法得出結果，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.6、A【解析】雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x，不妨設過點F1與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=（x﹣c），與y=﹣x聯(lián)立，可得交點M（，﹣），∵點M在以線段F1F1為直徑的圓外，∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，∴＞3，即b1＞3a1，∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．則e=＞1．∴雙曲線離心率的取值范圍是（1，+∞）．故選：A．點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式，建立關于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.7、C【解析】

根據(jù)，再根據(jù)二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】因為，所以二項式的展開式的通項公式為：，令，所以，因此有.故選：C【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了二項式展開式通項公式的應用，考查了數(shù)學運算能力8、B【解析】

求出導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，根據(jù)零點存在定理可確定參數(shù)范圍．【詳解】，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，∴在上只有一個極大值也是最大值，顯然時，，時，，因此要使函數(shù)有兩個零點，則，∴．故選：B．【點睛】本題考查函數(shù)的零點，考查用導數(shù)研究函數(shù)的最值，根據(jù)零點存在定理確定參數(shù)范圍．9、D【解析】

根據(jù)復數(shù)乘方公式：，直接求解即可.【詳解】，.故選：D【點睛】本題考查了復數(shù)的新定義題目、同時考查了復數(shù)模的求法，解題的關鍵是理解棣莫弗定理，將復數(shù)化為棣莫弗定理形式，屬于基礎題.10、C【解析】

，分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)即可.【詳解】由已知，，故的虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，考查學生的基本運算能力，是一道基礎題.11、A【解析】

先利用復數(shù)的除法運算法則求出的值，再利用共軛復數(shù)的定義求出a+bi，從而確定a，b的值，求出a+b．【詳解】i，∴a+bi＝﹣i，∴a＝0，b＝﹣1，∴a+b＝﹣1，故選：A．【點睛】本題主要考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了共軛復數(shù)的概念，是基礎題．12、A【解析】

首先根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算求出，求出的模即可．【詳解】解：，，故選：A【點睛】本題考查了復數(shù)求模問題，考查復數(shù)的除法運算，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

因為，所以.因為，所以，又，所以，所以..14、【解析】

利用導數(shù)的幾何意義可求得函數(shù)在處的切線,再根據(jù)切線與圓存在公共點,利用圓心到直線的距離滿足的條件列式求解即可.【詳解】解：由條件得到又所以函數(shù)在處的切線為,即圓方程整理可得：即有圓心且所以圓心到直線的距離,即.解得或,故答案為：．【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義求解切線方程的問題,同時也考查了根據(jù)直線與圓的位置關系求解參數(shù)范圍的問題,屬于基礎題.15、【解析】

設，可表示出，由三棱錐性質(zhì)得這三條棱長的平方和等于外接球直徑的平方，從而半徑的最小值，得外接球表面積．【詳解】設則，由兩兩垂直知三棱錐的三條棱的棱長的平方和等于其外接球的直徑的平方．記外接球半徑為，∴當時，．故答案為：．【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積，解題關鍵是掌握三棱錐的性質(zhì)：三條側棱兩兩垂直的三棱錐的外接球的直徑的平方等于這三條側棱的平方和．16、-15【解析】

是等差數(shù)列，則有，可得的值，再由可得，計算即得.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，，又，，，故.故答案為：【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，也可以由已知條件求出和公差，再計算.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）利用二倍角公式求解即可，注意隱含條件.（2）利用（1）中的結論，結合正弦定理和同角三角函數(shù)的關系易得的值，又由求出的值，最后由正弦定理求出的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計算得出.【詳解】（1）由已知可得，所以，因為在銳角中，，所以（2）因為，所以，因為是銳角三角形，所以，所以.由正弦定理可得：，所以，所以【點睛】此類問題是高考的?？碱}型，主要考查了正弦定理、三角函數(shù)以及三角恒等變換等知識，同時考查了學生的基本運算能力和利用三角公式進行恒等變換的技能，屬于中檔題.18、（1）（2）見解析【解析】

(1)由，周長,解得,即可求得標準方程.(2)通過特殊情況的斜率不存在時,求得,再證明的斜率存在時,即可證得為定值.通過設直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立,借助韋達定理求得,利用直線與圓相切,即,求得的關系代入,化簡即可證得即可證得結論.【詳解】（1）由題意得，周長，且.聯(lián)立解得，，所以橢圓C的標準方程為.（2）①當直線l的斜率不存在時，不妨設其方程為，則，所以，即.②當直線l的斜率存在時，設其方程為，并設，由，，，由直線l與圓E相切，得.所以.從而，即.綜合上述，得為定值.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程,直線與橢圓的位置關系中定值問題,考查了學生計算求解能力,難度較難.19、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)正弦定理到，得到答案.（2）計算，再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】（1）由，可得,因為，所以，所以.（2），又因為，所以.因為，所以，即.【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學生的計算能力.20、【解析】

將圓和直線化成普通方程.再根據(jù)相切,圓心到直線的距離等于半徑,列等式方程,解方程即可.【詳解】解:將圓化成普通方程為,整理得．將直線化成普通方程為．因為相切,所以圓心到直線的距離等于半徑,即解得．【點睛】本題考查極坐標方程與普通方程的互化,考查直線與圓的位置關系,是基礎題.21、（1）（2）分布列見解析，數(shù)學期望（3）建議甲乘坐高鐵從市到市.見解析【解析】

（1）根據(jù)分層抽樣的特征可以得知，樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為，，，即可按照古典概型的概率計算公式計算得出；（2）依題意可知服從二項分布，先計算出隨機選取人次，此人為老年人概率是，所以，即，即可求出的分布列和數(shù)學期望；（3）可以計算滿意度均值來比較乘坐高鐵還是飛機．【詳解】（1）設事件：“在樣本中任取個，這個出行人恰好不是青年人”為，由表可得：樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為，，，所以在樣本中任取個，這個出行人恰好不是青年人的概率．（2）由題意，的所有可能取值為：因為在2018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中，隨機選取人次，此人為老年人概率是，所以，，，所以隨機變量的分布列為：故．（3）答案不唯一，言之有理即可．如可以從滿意度的均值來分析問題，

參考答案如下：由表可知，乘坐高鐵的人滿意度均值為：乘坐飛機的人滿意度均值為：因為，所以建議甲乘坐高鐵從市到市．【點睛】本題主要考查了分層抽樣的應用、古典概型的概率計算、以及離散型隨機變量的分布列和期望的計算，解題關鍵是對題意的理解，概率類型的判斷，屬于中檔題．22、（1）;（2）.【解析】

（1）將直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程，由點到直線距離公式可求得圓心到直線距離