高考概率問題的衍生與馬爾可夫鏈專題講義-2024屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高考概率問題的衍生與馬爾可夫鏈馬爾可夫鏈?zhǔn)嵌韲鴶?shù)學(xué)家AndreyAndreyevichMarkov(18561922)研究并提出的一種數(shù)學(xué)方法，是用來解釋自然變化的一般規(guī)律模型，該數(shù)學(xué)方法可以說是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測、語音識別方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.在高中，馬爾可夫鏈實(shí)際上就是一類特殊的數(shù)列遞推問題，最大的難點(diǎn)在于理解題意以及尋找遞推式.賭徒問題（隨機(jī)游走）例1：(2023·杭州市二模/湖南師大附中三模T21)馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型,也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用．

其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…Xt2,Xt1,Xt,Xt+1…,那么Xt+1時刻的狀態(tài)的條體概率僅依賴前一狀態(tài)Xt，即P(Xt+1|…Xt2,Xt1,Xt)=P(Xt+1|Xt)．現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多馬爾科大鏈，例如著名的賭徒模型.

假如一名賭徒進(jìn)入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%，每局賭贏可以贏得1元,每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?/p>

50%，賭輸就要輸?shù)?元.賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元,即賭徒輸光;一種是賭金達(dá)到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為A(A∈N*,A<B)，賭博過程如圖的數(shù)軸所示．

當(dāng)賭徒手中有n元(0≤n≤B,n∈N)時,最終輸光的概率為P（n），請回答下列問題：

(1)請直接寫出

P(0)與P（B）的數(shù)值;(2）證明{P（n）}是

個等差數(shù)列，并寫出公差d；

(3）當(dāng)A=100時，分別計算B=200，B=1000時，P（A）的數(shù)值，并結(jié)合實(shí)際，解釋當(dāng)B→+∞時,P（A）的統(tǒng)計含義.(1)請直接寫出

P(0)與P（B）的數(shù)值;我們來理解一下問題在說什么：一個賭徒拿著A元去賭博，50%輸?shù)粢辉?，手上的本金就只有A1元，贏得話就A+1元，不妨優(yōu)先考慮一些極端情況：①如果一開始就是0元的本金，那他就是一開始就是輸光的狀態(tài)，所以他輸?shù)母怕?/p>

P(0)=1②如果一開始就是B元的本金，那他一開始就已經(jīng)贏到目標(biāo)錢數(shù)，所以輸?shù)母怕?/p>

P(0)=0(2）證明{P（n）}是

個等差數(shù)列，并寫出公差d；考慮一些常規(guī)情況,手上有未知的本金n元，我們令n=10，手上有10元，他輸光的概率就是

P(10)

，同時這也是一種所處的狀態(tài),這個

P(10)

的狀態(tài)，可以是由P(9)

的狀態(tài)贏了一局后得到的，也可以是由

P(11)

的狀態(tài)輸了一局得到的,公式表為P這樣子我們可以得到一個更普遍的遞推式也許會有同學(xué)會問為什么不可以由

的狀態(tài)或者別的狀態(tài)到達(dá)P（n）嗎？其實(shí)也是可以的，最后化出來的式子是隔項(xiàng)的遞推式，經(jīng)過變形推導(dǎo)也能得到上述式子，但是為了方便我們一般都是取最近的狀態(tài)研究，我們來推導(dǎo)一下它的通項(xiàng)：2P易知

{P（n）}為等差數(shù)列，令公差為d，則有P0+Bd=(3）當(dāng)A=100時，分別計算B=200，B=1000時，P（A）的數(shù)值，并結(jié)合實(shí)際，解釋當(dāng)B→+∞時,P（A）的統(tǒng)計含義.在這里我們可以看到，如果你的目標(biāo)錢數(shù)B如果趨于

+∞

時，你輸光的概率將趨近于1即百分百，事實(shí)上，如果拓展到更廣的范圍，你輸光為0仍然不收手繼續(xù)賭博，仍然要達(dá)到目標(biāo)B，最后你很有可能會先負(fù)債B；也就是說，在公平游戲的情況下，也會趨于“久賭必輸”，更何況現(xiàn)實(shí)中的賭博往往是不公平的（莊家贏的概率較大）；所以我們要控制自己的欲望,不要參與賭博.例2：（2020·岳陽市一模T21）某產(chǎn)品自生產(chǎn)并投入市場以來，生產(chǎn)企業(yè)為確保產(chǎn)品質(zhì)量，決定邀請第三方檢測機(jī)構(gòu)對產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)Z時，產(chǎn)品為優(yōu)等品；當(dāng)時，產(chǎn)品為一等品；當(dāng)時，產(chǎn)品為二等品.第三方檢測機(jī)構(gòu)在該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取500件，繪制了這500件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)Z的條形圖.用隨機(jī)抽取的500件產(chǎn)品作為樣本，估計該企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品的質(zhì)量情況，并用頻率估計概率.（1）①從該企業(yè)生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，求該產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率；②X元，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）商場為推廣此款產(chǎn)品，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動.客戶可根據(jù)拋硬幣的結(jié)果，操控機(jī)器人在方格上行進(jìn)，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是12，方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、……、第50格.機(jī)器人開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，機(jī)器人向前移動一次，若擲出正面，機(jī)器人向前移動一格（從k到k+1），若擲出反面，機(jī)器人向前移動兩格（從k到k+2），直到機(jī)器人移到第49格（勝利大本營）或第50格（參與n格的概率為.①投擲三次硬幣后，設(shè)機(jī)器人所在格數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望;②求Pn的表達(dá)式并解釋此方案能否吸引顧客購買該款產(chǎn)品.解析：（1）①.根據(jù)條形圖可知，優(yōu)等品的頻率為121+87+42500=12，用頻率估計概率，可得任取一件產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率．

②.由①任取一件產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率為12，由題意求出檢測出3件或4件為優(yōu)等品時以及檢測出的優(yōu)等品低于3件時的X的值進(jìn)而得出P（X=47000）或P（X=39000）．可得X的分布列，即可得出數(shù)學(xué)期望E（X）=41500．

（2）機(jī)器人在第0格為必然事件，P0=1，第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，機(jī)器人移到第1格，其概率P1=12．機(jī)器人移到第n（2≤n≤49）格的情況只有兩種：①先到第n2格，又出現(xiàn)反面，其概率12Pn2，②先到第n1格，又出現(xiàn)正面，其概率12Pn1．可得Pn=12PPnPn1=12（Pn1Pn2），1≤n≤49時，數(shù)列{PnPn1}為首項(xiàng)P1P0=12，公比為12的等比數(shù)列馬爾可夫鏈(MarkovChains)我們可以看到，上述問題的解決，是在一個當(dāng)前的狀態(tài)下，去判斷前一個狀態(tài)和后一個狀態(tài)與該狀態(tài)的聯(lián)系，從而找到遞推式，過程中的每個狀態(tài)的轉(zhuǎn)移只依賴于在此之前的n個狀態(tài)，這個過程被稱為n階馬爾可夫模型（其中n是影響轉(zhuǎn)移狀態(tài)的數(shù)目），最簡單的馬爾科夫過程就是一階過程，每一個狀態(tài)的轉(zhuǎn)移只依賴于其之前的那一個狀態(tài)，這也是后面很多模型的討論基礎(chǔ).很多時候，題目中的馬爾科夫鏈、隱馬爾可夫模型都是只討論一階模型，甚至很多文章就將一階模型稱之為馬爾可夫模型，實(shí)際上我們知道一階模型只是一種特例而已.傳球問題中的馬爾可夫模型例3：三人互相傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，每人得球后傳球給其他人的可能性均相等.經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有（

）A．6種 B．8種 C．10種 D．16種【答案】C【解析】根據(jù)題意，作出樹狀圖，第四次球不能傳給甲，由分步加法計數(shù)原理可知：經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有10種，這個問題解決起來不算麻煩，可以看做是一個排列組合問題下的分支，但是一旦參與的人數(shù)變多或者傳球次數(shù)增加，那么列舉法就會顯得捉襟見肘，所以我們不妨把這類問題做一個引申和推廣.（例3升級Plus版本）：甲乙丙丁4人傳接球訓(xùn)練，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向其余3人中的1人，接球者接到球后，再等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，依此類推.假設(shè)所有傳出的球都能接住.記第n次傳球之前，球在甲腳下的概率為Pn

(n∈N?)

，易知

P1=1

，P2=0.

(1)推導(dǎo)Pn

的表達(dá)式；

(2)設(shè)第n次傳球之前，球在乙腳下的概率為Qn

,比較Qn

與Pn

(

n≥3

)的大小;并結(jié)合實(shí)際，解釋當(dāng)n→+∞時,Pn

與Qn

的統(tǒng)計含義;(3)假設(shè)經(jīng)歷了6次傳球后，球依舊在甲的腳下，請問共有多少種不同的傳球路徑？分析第一個問題球在甲腳下，概率為

Pn

，這個概率是受上一個持球者影響的：如果上一個持球者還是甲，那球傳出去后，只能是其它三人接球，下一個持球者就不可能是甲，所以從上一個甲持球的狀態(tài)，到現(xiàn)在還是甲持球的狀態(tài)，轉(zhuǎn)移概率為0；如果上一個持球者不是甲，而是乙丙丁三人中的隨便一個人，那么球傳出去后，有

13可能給到甲，即轉(zhuǎn)移概率為

綜上公式可以描述為Pn=0·Pn1+13·(1-P經(jīng)過變形也能構(gòu)造出等比數(shù)列，進(jìn)而求出通項(xiàng)分析第二個問題易得乙的遞推也類似甲，唯一不同的是初始概率.得到，接下來就是做差比較，最后分奇數(shù)和偶數(shù)討論大小.這里我們觀察一下通項(xiàng)

，隨著n越來越大，意思是傳球的次數(shù)越來越多，球在甲、乙手上的概率會趨于一個定值14，又因?yàn)樗膫€人是等可能地隨機(jī)傳球，所以每個人接到球的可能性會逐漸相等.分析第三個問題球在甲腳下的概率可以計算得到，所有傳球路徑總的可能數(shù)為36，四個人是等可能地隨機(jī)傳球，所有路徑均為等可能性，使其相乘即為不同的傳球路徑的數(shù)量，易知答案為183種.例4：（2023·惠州一模T22改編）為了避免就餐聚集和減少排隊(duì)時間，某校開學(xué)后，食堂從開學(xué)第一天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞停ㄍ虏垡幌禄葜輰W(xué)生命真苦啊……）.已知某同學(xué)每天中午會在食堂提供的兩種套餐中選擇，已知他第一天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?/p>

23

，而前一天選擇了米飯?zhí)撞秃笠惶炖^續(xù)選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?/p>

14

，前一天選擇面食套餐后一天繼續(xù)選擇面食套餐的概率為

12

，如此往復(fù).

(1)求該同學(xué)第二天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕?

(2)記該同學(xué)第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?/p>

Pn;

(i)求Pn表達(dá)式；

(ii)證明：當(dāng)n≥2時，Pn

≤512

；并結(jié)合實(shí)際，說明當(dāng)n→+∞時,P高考中的馬爾可夫鏈問題(2019·全國1·理T21)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列;(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)α=0.5,β=0.8.(ⅰ)證明:{pi+1pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列;(ⅱ)求p4,并根據(jù)p4的值來解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.【解析】(1)X的所有可能取值為1,0,1.P(X=1)=(1α)β,P(X=0)=αβ+(1α)(1β),P(X=1)=α(1β).所以X的分布列為X101P(1α)βαβ+(1α)(1β)α(1β)(2)(ⅰ)由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pii1pii+1,故0.1(pi+1pi)=0.4(pipi1),即pi+1pi=4(pipi1).又因?yàn)閜1p0=p1≠0,所以{pi+1pi}(i=0,1,2,…,7)為公比為4,首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列.(ⅱ)由(ⅰ)可得p8=p8p7+p7p6+…+p1p0+p0=(p8p7)+(p7p6)+…+(p1p0)=48-1由于p8=1,故p1=34所以p4=(p4p3)+(p3p2)+(p2p1)+(p1p0)=44-13pp4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率.由計算結(jié)果可以看出,在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時,認(rèn)為甲藥更有效的概率為p4=1257此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小,說明這種試驗(yàn)方案十分合理.思考：pi=api1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)這個公式怎么來的？一維隨機(jī)游走模型：設(shè)數(shù)軸上一個點(diǎn)，它的位置只能位于整點(diǎn)處，在時刻t=0時，位于點(diǎn)x=i（i∈N+），下一個時刻，它將以概率α或者β(α，β∈（0,1），且α+β=1)向左或者向右平移一個單位．若記狀態(tài)Xt=i表示：在時刻t該點(diǎn)位于位置x=i（i∈N+），那么由全概率公式可得：

P(Xt+1=i）=P(Xt=i1）?P(Xt+1=i|Xt=i1）+P(Xt=i+1）?P(Xt+1=i|Xt=i+1）

另一方面，由于P(Xt+1=i|Xt=i+1）=α,P(Xt+1=i|Xt=i1）=β;

代入上式可得：Pi=α?Pi+1+β?Pi1

進(jìn)一步，我們假設(shè)在x=0與x=m(m＞0,m∈N+)處各有一個吸收壁，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)吸收壁時被吸收，不再游走．于是,P0=0,Pm=1.隨機(jī)游走模型是一個典型的馬爾科夫過程,進(jìn)一步，若點(diǎn)在某個位置后有三種情況：向左平移一個單位，其概率為a，原地不動，其概率為b，向右平移一個單位，其概率為c,那么根據(jù)全概率公式可得：

pi=api+1+bpi+cpi1(2020·全國Ⅰ卷T19)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先12（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.【解析】（1）甲連勝四場的概率為116（2）根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場比賽，至多需要進(jìn)行五場比賽．比賽四場結(jié)束，共有三種情況：甲連勝四場的概率為116；乙連勝四場的概率為1丙上場后連勝三場的概率為18．所以需要進(jìn)行第五場比賽的概率為1（3）丙最終獲勝，有兩種情況：比賽四場結(jié)束且丙最終獲勝的概率為18比賽五場結(jié)束且丙最終獲勝，則從第二場開始的四場比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種情況：勝勝負(fù)勝，勝負(fù)空勝，負(fù)空勝勝，概率分別為116，18，18思考：這里主要研究第三問，事實(shí)上，本題是一個典型的馬爾可夫鏈模型，其具有馬爾可夫性質(zhì):即一個隨機(jī)過程在給定現(xiàn)在狀態(tài)及所有過去狀態(tài)情況下，其未來狀態(tài)的條件概率分布僅依賴于當(dāng)前狀態(tài).對于這種滿足馬爾科夫性質(zhì)的隨機(jī)事件，其概率或者期望，采用馬爾科夫鏈公式，能夠極大地簡化計算.具體如下：（基本就是降維打擊）設(shè)第一輪比賽的負(fù)者最終獲勝概率為P1=，第一輪比賽的勝者與丙最終獲勝概率均為P2，故有P1+P2+P2=1，解得P2=.再來看兩個例子，①：甲、乙兩人輪流拋硬幣（質(zhì)地均勻），約定甲先拋，誰先拋出正面獲勝，問甲獲勝的概率是多少?法一：數(shù)列通項(xiàng)求極限法二：概率遞推設(shè)甲最終獲勝概率為P，分兩種情況：第一種情況，第一輪甲拋出正面，概率為12第二種情況，第一輪甲拋出反面，概率為12，則相當(dāng)于比賽重新進(jìn)行，只是由乙先拋，根據(jù)對稱性可知此時乙獲勝概率為P，甲獲勝概率為1P.因此，我們有P=12+12(1P),②：（2017清華大學(xué)自主招生T12）投擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣，當(dāng)出現(xiàn)兩次正面向上即停止，求總投擲次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.法一：數(shù)學(xué)期望定義+函數(shù)與數(shù)列方法（需要無窮級數(shù)知識）記隨機(jī)變量X表示總投擲次數(shù)，下面計算P(X=k)；總共投擲k次結(jié)束，說明第k次投擲的結(jié)果為正面，前k?1次中恰有一次為正面．不難利用古典概型推出，P(X=k)=(k?1)·．接下來使用無窮級數(shù)求和去解決極限收斂問題(需要一些極限知識)法二：采用數(shù)學(xué)期望性質(zhì)+馬爾科夫鏈思路求解：設(shè)投擲硬幣直到出現(xiàn)兩次正面這件事為X．將這個事情分成兩件事：1.投擲硬幣，直到第一次出現(xiàn)正面，記此時投擲X1次；2.到第一次出現(xiàn)正面后，重新計算．投擲硬幣，直到再一次出現(xiàn)正面，記此時投擲X2次．投擲硬幣是一個獨(dú)立問題，這一次的正反不會影響后面投擲時的正反．因此不難得出E(X1)=E(X2)=2.(同樣的概率模型可以用在彩票上,如果說某個彩票的大獎的中獎率為1%，從理論上來說，買上100張彩票，就可以中一次大獎了，即E(ξ)=1p,p為一次試驗(yàn)成功的概率由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)，得E(X)=E(X1)+E(X2)=4．思考:如果此題改為“投擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣，當(dāng)出現(xiàn)連續(xù)兩次正面向上即停止，求總投擲次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.”該如何解決？(2020·江蘇T23)甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn與2pn1+qn1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示)．(2023·新高考Ⅰ卷T21)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第i次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E(Y)．(1)分類，第一次投籃是甲的話，到第二次投籃還是甲的轉(zhuǎn)移概率為0.6；第一次是乙的話，到第二次投籃還是乙的轉(zhuǎn)移概率為0.8，即

P(