【課件】變化率問(wèn)題第一課時(shí)+課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

第五章

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用

十七、十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家常把自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)跟各種不同領(lǐng)域，如物理、化學(xué)、力學(xué)、技術(shù)等的研究活動(dòng)聯(lián)系起來(lái)，并由實(shí)際需要提出了許多數(shù)學(xué)問(wèn)題?？茖W(xué)家們對(duì)這些問(wèn)題的興趣和研究經(jīng)久不衰．其中，牛頓和萊布尼茨在前人探索的基礎(chǔ)上，憑著他們敏銳的直覺和豐富的想象力，各自獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分，這是具有劃時(shí)代意義的偉大創(chuàng)造，被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上的里程碑．牛頓萊布尼茨萊布尼茨（1646年7月1日－1716年11月14日），德國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家，是歷史上少見的通才，被譽(yù)為十七世紀(jì)的亞里士多德。牛頓（1643年1月4日—1727年3月31日），爵士，英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)，英國(guó)著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，百科全書式的“全才”，著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》、《光學(xué)》。情景引入微積分的創(chuàng)立與處理四類科學(xué)問(wèn)題直接相關(guān):一是已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù)，求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度，反之，已知物體的加速度作為時(shí)間的函數(shù)，求速度與路程；二是求曲線的切線；三是求函數(shù)的最大值與最小值；四是求長(zhǎng)度、面積、體積和重心等.

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念，蘊(yùn)含著微積分的基本思想；導(dǎo)數(shù)定量地刻畫了函數(shù)的局部變化，是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(小)值等性質(zhì)的基本方法，因而也是解決諸如增長(zhǎng)率、膨脹率、效率、密度、速度、加速度等實(shí)際問(wèn)題的基本工具．在本章，我們將通過(guò)豐富的實(shí)際背景和具體實(shí)例，學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想，感悟極限的思想．通過(guò)具體實(shí)例感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的意義．

“已知物體運(yùn)動(dòng)的路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度等”和“求曲線的切線”問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生過(guò)程中比較經(jīng)典的兩個(gè)問(wèn)題，今天這節(jié)課就讓我們追隨這些偉大數(shù)學(xué)家的腳步，也從物體的速度開始研究.

我們之前學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的單調(diào)性，知道不同類型函數(shù)的增或減的快慢也不同．能否精確定量地刻畫變化速度的快慢呢？我們以高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度為例來(lái)研究.§5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義5.1.1變化率問(wèn)題

第一課時(shí)探究新知問(wèn)題1高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度全紅嬋，2007年3月28日出生于廣東湛江，中國(guó)國(guó)家跳水隊(duì)女運(yùn)動(dòng)員.

2022年6月，全紅嬋在2022年布達(dá)佩斯世界游泳錦標(biāo)賽中勇奪跳水3米板/10米臺(tái)混合全能金牌、女子單人十米跳臺(tái)銀牌、女子雙人十米跳臺(tái)金牌

[70]，實(shí)現(xiàn)了奧運(yùn)會(huì)、世錦賽和世界杯的金牌大滿貫。

在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的重心相對(duì)于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時(shí)間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系：

h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11

如何描述運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的快慢程度呢？問(wèn)題1高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度

直覺告訴我們，運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水的過(guò)程中，在上升階段運(yùn)動(dòng)得越來(lái)越慢，在下降階段運(yùn)動(dòng)得越來(lái)越快．思考1：運(yùn)動(dòng)的快慢程度用哪個(gè)物理量來(lái)描述？我們可以把整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間段分成許多小段,用運(yùn)動(dòng)員在每段時(shí)間內(nèi)的平均速度近似地描述他的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).速度追問(wèn)1：怎么求平均速度呢？平均速度=位移的變化÷通過(guò)這段位移所用的時(shí)間，思考2：你能計(jì)算以下時(shí)間段的平均速度，并描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀況嗎？0≤t≤0.5；1≤t≤2.

h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11

在0≤t≤0.5時(shí)間段運(yùn)動(dòng)員是上升階段，在1≤t≤2時(shí)間段運(yùn)動(dòng)員是下降階段．追問(wèn)2：通過(guò)以上計(jì)算，你能求運(yùn)動(dòng)員起跳后t1秒到t2秒這段時(shí)間的平均速度嗎？hto思考3：計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度，發(fā)現(xiàn)了什么？用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎？我們發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動(dòng)員在

這段時(shí)間里的平均速度為0．

顯然，除了在最高點(diǎn)的一瞬間外，運(yùn)動(dòng)員并不處于靜止?fàn)顟B(tài).因此，用平均速度不能準(zhǔn)確反映運(yùn)動(dòng)員在這一時(shí)間段里的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

為了精確刻畫運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要引入瞬時(shí)速度的概念．我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度（instantaneousvelocity）．探究瞬時(shí)速度與平均速度有什么關(guān)系?你能利用這種關(guān)系求運(yùn)動(dòng)員在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度嗎?

設(shè)運(yùn)動(dòng)員在t0時(shí)刻附近某一時(shí)間段內(nèi)的平均速度是

，可以想象，如果不斷縮短這一時(shí)間段的長(zhǎng)度，那么

將越來(lái)越趨近于運(yùn)動(dòng)員在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度．

為了求運(yùn)動(dòng)員在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度，我們?cè)趖=1之后或之前，任意取一個(gè)時(shí)刻1+

Δt，

Δt是時(shí)間改變量，可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為0.用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)研究問(wèn)題是微積分的重要思想．

當(dāng)Δt>0時(shí)，1+Δt在1之后，當(dāng)Δt<0時(shí)，1+Δt在1之前．當(dāng)Δt>0時(shí)，把運(yùn)動(dòng)員在[1,1+Δt]時(shí)間段內(nèi)近似看成做勻速直線運(yùn)動(dòng)，計(jì)算時(shí)間段[1,1+Δt]內(nèi)的平均速度，用平均速度近似表示運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度．當(dāng)Δt<0時(shí)，在時(shí)間段[1+Δt,1]內(nèi)可作類似處理．為了提高近似表示的精確度，我們不斷縮短時(shí)間間隔，得到如下表格.當(dāng)?t<0時(shí)，在時(shí)間段[1十?t,1]內(nèi)當(dāng)?t>0時(shí)，在時(shí)間段[1,1十?t]內(nèi)?t?t-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001-0.0000010.000001-4.951-4.9951-4.99951-4.999951-4.9999951-5.049-5.0049-5.00049-5.000049-5.0000049觀察：給出更多的?t值，利用計(jì)算工具計(jì)算對(duì)應(yīng)的平均速度的值．當(dāng)?t無(wú)限趨近于0時(shí)，平均速度有什么變化趨勢(shì)？

我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?t無(wú)限趨近于0，即無(wú)論t從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無(wú)限趨近于1時(shí)，平均速度都無(wú)限趨近于－5.

事實(shí)上，由可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?t在無(wú)限趨近于0時(shí)，－4.9?t也無(wú)限趨近于0,所以無(wú)限趨近于－5.這與前面得到的結(jié)論一致.數(shù)學(xué)中，我們把－5叫做“當(dāng)△t無(wú)限趨近于0時(shí)，的極限”，記為從物理的角度看，當(dāng)時(shí)間間隔|?t|無(wú)限趨近于0時(shí)，平均速度就無(wú)限趨近于t=1時(shí)的瞬時(shí)速度，因此，運(yùn)動(dòng)員在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度v(1)=－5m/s.平均速度的極限為瞬時(shí)速度

思考(1)求運(yùn)動(dòng)員在t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度；

(2)如何求運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水過(guò)程中在某一時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度?

h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11

解：因此運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻t0

的瞬時(shí)速度為

思考(1)求運(yùn)動(dòng)員在t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度；

(2)如何求運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水過(guò)程中在某一時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度?

h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11

方法歸納求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的步驟:

設(shè)非勻速直線運(yùn)動(dòng)中物體的位移隨時(shí)間變化的函數(shù)為s＝s(t)，則求物體在t＝t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度的步驟如下：①寫出時(shí)間改變量Δt，位移改變量Δs,Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0);②求平均速度：

；③求瞬時(shí)速度v：當(dāng)Δt→0時(shí)，→v是常數(shù).

1.火箭發(fā)射ts后，其高度(單位:m)為h(t)=0.9t2．求：(1)在1≤t≤2這段時(shí)間里，火箭爬高的平均速度；(2)發(fā)射后第10s時(shí)，火箭爬高的瞬時(shí)速度.（教材P61.2)鞏固練習(xí)2.某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系為s(t)＝t2＋t＋1，（1）求物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度；（2）求物體在t＝0s時(shí)的瞬時(shí)速度（即初速度）；（3）求物體在什么時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s；解:∴物體在t＝1處的瞬時(shí)變化率為3.即物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度為3m/s.鞏固練習(xí)∴物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)變化率為1，即物體的初速度為1m/s.2.某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系為s(t)＝t2＋t＋1，（1）求物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度；（2）求物體在t＝0s時(shí)的瞬時(shí)速度（即初速度）；（3）求物體在什么時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s；解:2.某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系為s(t)＝t2＋t＋1，（1）求物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度；（2）求物體在t＝0s時(shí)的瞬時(shí)速度（即初速度）；（3）求物體在什么時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s；(3)設(shè)物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s.則2t0＋1＝9，∴t0＝4.則物體在4s時(shí)的瞬時(shí)速度為9m/s.解:課堂小結(jié)1.從知識(shí)角度，我們主要研究了高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員起跳后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的問(wèn)題.我們先研究了運(yùn)動(dòng)員起跳后某一時(shí)間段內(nèi)的平均速度，再不斷的將時(shí)間間隔縮小，隨著時(shí)間間隔不斷趨近于0，我們分別用計(jì)算和極限的方法，求得了瞬時(shí)速度，并由此得到任意時(shí)刻t0瞬時(shí)速度的表達(dá)式.通過(guò)這個(gè)過(guò)程，我們認(rèn)識(shí)到瞬時(shí)速度是時(shí)間間隔趨近于零時(shí)，平均速度的極限.2.從研究方法上看，我們用無(wú)限逼近的方法，通過(guò)平均速度求