2022年高考數(shù)學大復習小題模塊測11 坐標平面上的直線 解析版

模塊11坐標平面上的直線

一、單選題

x=1+2zz、

1.（2019?上海市奉賢中學高三月考）直線/的參數(shù)方程是）,=2_則/的法向量Z可以是

A.(2,-1)B.(-1,2)C.(1,2)D.(2,1)

【答案】C

【分析】用消參法求出直線的普通方程，找出斜率，再根據(jù)兩直線垂直斜率之積為-1進行求解

【詳解】由|y=2-=x+2y—5=0,即直線方程為y=斜率為尢=一1,直線對應的法向量對

應的斜率應滿足K?&-1.解得&=2,選項C對應的斜率為2

故選：C

【點睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，兩直線垂直的斜率關(guān)系，是基礎(chǔ)題

2.（2020?上海市建平中學高三月考）直線x-2y+3=0的一個法向量為（）

A.（1,2）B.（1,-2）C.（2,1）D.（2,-1）

【答案】B

【分析】設(shè)直線x—2y+3=0的一個法向量1=（a,b）,則加+6=0,即可得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)直線x-2y+3=0的一個法向量”=（a,6）,則2?+。=0,

取a=1,則b=-2,

團可取直線*-2丫+3=0的一個法向量為1=（1,-2）,

故選：B.

【點睛】本題考查了法向量、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2019?上海徐匯?高三月考）過點且與直線?=母有相同方向向量的直線的方程為（）

5—3

A.3x+5j-3=0B.3x+5y+3=0

C.3x+5y-l=0D.5x-3y+5=0

【答案】B

【分析】利用直線的方向向量與直線平行與斜率的關(guān)系，即可得出.

【詳解】由事=號可得，3x+5y+8=0,即直線的斜率-|,

3

由題意可知所求直線的斜率k=-1,

3

故所求的直線方程為y=-1（x+l）即3x+5y+3=0.

故選：B.

【點睛】本題考查了直線的方向向量及平行與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

4.（上海虹口?上外附中高三期中）設(shè)｛4｝是公比為4（夕/1）,首項為“的等比數(shù)列，S”是其前〃項和，則

點⑸,S,,J()

A.一定在直線y=上B.一定在直線、=必+4上

c.一定在直線g上D.一定在直線上

【答案】D

【分析】由于5,m―45,,=也二亡生?=”，即可得出.

\-q\~q

【詳解】13S“M—qS“=40一'J）一g"0一'/）=a,05?+|=^?+?,

\-q\-q

團點（s“，s“+J一定在直線y=/+a上.

故選：D.

【點睛】本題考查了等比數(shù)列的前〃項和公式、直線的方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

5.（上海市向明中學高三月考）經(jīng)過點P（x。,%）,且方向向量為2=（〃#）的直線方程是（）

Axfyfx-xnU

B.-------=-

uVy-y。v

貝X—玉))

C.y一為=-------D.u(y-y^=v(x-x?)

U

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由方向向量為％=（"#）,需考慮“是否為0,若〃不為0,則直線存在斜率，求出斜率，

再根據(jù)直線過點P（x°，%）,可求出直線方程表達式，若“為0時，則直線斜率不存在，由直線過點P可得出

直線方程表達式，綜合可得出答案.

【詳解】由于直線的方向向量為2=（“/），

當“W0時，直線存在斜率，且斜率6=上.

回直線過點尸（后,%）,

團直線方程為：y-%=2（x-%）,即“（￥-%）=

當〃=0時，直線不存在斜率，則直線方程為x=%,滿足方程“（y-%）=v（x-%）.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了直線的傾斜角與斜率，直線的點斜式方程，直線的方向向量等概念，屬于中檔題.

6.（上海高三模擬預測（理））已知點A（l,1）,以5,5）,直線4：x=0和/2：3x+2y-2=0,若點片、巴分別

是4、4上與A、B兩點距離的平方和最小的點，則歸同等于（）

A.1B.2C.VioD.

【答案】B

【分析】設(shè)耳（O,a）,鳥（，〃,〃）則癡+2〃-2=0;.”=1-5〃7,匕42+682=2/-12。+52得到4（0,3）,

22

P2A+P2B+42得到汗（0,1）,再計算|正|得到答案.

【詳解】設(shè)片（。,“），鳥（加,〃）則癡+2"-2=0,”=1-■機

P^+P,B2=l+（a-l）2+52+（a-5）2=2a2-12a+52,當a=3時有最小值，

故6（0,3）

2222222

R,A+P2B=（7n-l）+（n-l）+（m-5）+（/j-5）=y/n+42

當〃?=0時有最小值，故鳥（0,1）,故麗=2

故選：B

【點睛】本題考查了距離的最值，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.

7.（2019?上海浦東新?）定義：在平面直角坐標系xOy中，設(shè)點P（xi,yi）,Q（x2,%），則d（P,Q）

=|xi-X2I+M-%|叫做P、Q兩點的"垂直距離"，已知點M（xo,yo）是直線ax+by+c=0外一定點，點N

是直線ax+by+c=0上一動點，則M、N兩點的"垂直距離"的最小值為（）

|"+%+。|鳳+切o+d

A-max（\a\,\b\）B'>Ja2+b2

河+蛆+d

D.\axo+byo+c\

【答案】A

【分析】設(shè)N（上一￡,-7）,則M、N兩點的"垂直距離"為：|上一■￡一%|+|-4一%|

aabaab

c-%|%+4<|%+6)'o+d

a由此能求出M、N兩點的“垂直距離”的最小值.

\\H-max^a\,\b\)

【詳解】由題意，點加（天,%）是直線依+by+c=O外一定點，點N是直線0x+勿+c=0上一動點，可設(shè)

則M,N兩點的"垂直距離"為:

t|—詞j%+/|<%+E+d

+y

aa~b~°\a\\b\~max(同，例)

所以M,N兩點的“垂直距離”的最小值為噂簫言L

故選A.

【點睛】本題主要考查了兩點間的垂直距離的最小值的求法，考查垂直距離、直線的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識,

意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力，屬于中檔試題.

二、填空題

8.（上海崇明?高三二模（文））若直線/過點（3,4）,且它的一個法向量是弁=。,2）,貝I"的方程為.

【答案】x+2y-\}=0

【分析】根據(jù)直線的法向量求出方向向量，求出直線的斜率，然后利用點斜式方程求出直線方程.

【詳解】因為直線/的一個方向向量為3=（1,2）,則直線/的一個方向向量為）=（-2,1）,

所以，直線/的斜率為-；，因此，直線/的方程為y-4=-g（x-3）,即x+2y-ll=0.

故答案為：x+2y-ll=0.

【點睛】本題是基礎(chǔ)題，考查直線的法向量，方向向量以及利用點斜式寫出直線方程，考查計算能力.

9.（2019?上海市青浦高級中學高三月考）直線（l-2,w）x+〃zy+l=0和直線x+3y+3=O垂直，則實數(shù)機的值

為.

【答案】-1

【分析】由兩直線垂直的充要條件，因為兩直線垂直，則（1-2加）xl+mx3=0,運算可得解.

【詳解】解：因為直線（1一2加?+%+1=0和直線x+3y+3=O垂直,

則（1—2加）X1+加x3=0,解得7/7=—1,

故答案為：-1.

【點睛】本題考查J'兩直線垂直的充要條件，重點考查了運算能力，屬基礎(chǔ)題.

10.(2020?上海高三模擬預測)如圖所示，三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，邊上

UUL1UUU1

有10個不同的點A，匕0,記根=網(wǎng)曲(i=l,2,L,10),則M+%+…+Mo=.

【答案】180

【分析】以A為坐標原點，4G所在直線為X軸建立直角坐標系，可得與(3,6),5,(5,73),G60),求出直

線83G的方程，可設(shè)耳任，X).可得布%+y,=6布,運用向量的數(shù)量積的坐標表示，計算即可得到所求和.

【詳解】解：以A為坐標原點，AQ所在直線為x軸建立平面直角坐標系，

可得4(1,6),B2(3,73),打(5,6)，G(6,0),

直線BG的方程為＞■=-瓜x-6),

可設(shè)匕(西(f=l,2,L,10),可得x/Ir,+y,=66，所以胸=9,6),AP.=(x,,y.'),

即有M,=碣.麗=3玉+百y產(chǎn)行(行升+%)=18,

貝IJM+此+…+M°=18x10=180.

11.(2021?上海市奉賢中學高三月考)直線4:辦+?=1和直線￡x+“y=l是平行直線，則實數(shù)。=.

【答案】-I

【分析】根據(jù)直線平行的等價條件列關(guān)于。的方程即可求解.

【詳解】因為直線4："+丫=1和直線4：x+ay=l是平行直線，

[a2-lxl=O

所以」八,八八，解得：a=T，

故答案為：-1.

12.（上海黃浦?高三二模）直線x+2y-l=0與直線y=l的夾角大小為（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.

【答案】arctan-

2

【分析】求出直線x+2y-l=0的傾斜角，再利用宜線y=l與》軸平行得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)兩直線的夾角為0，則直線x+2y—1=0的傾斜角為乃-。，tan（乃-0）=-g,

tan（^-^）=-tan0,tan6^=-,0=arctan—.

222

故答案為：arctan—.

2

【點睛】本題考查兩直線夾角.掌握兩直線夾角公式是解題關(guān)鍵.本題由于一條直線與x軸平行，因此只要

研究另一直線的傾斜角就可得出結(jié)論.

13.（上海市實驗學校高三月考）若雙曲線方程為不-￡=1,則其兩條漸近線的夾角為

28

_4

【答案】arctan-

【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的標準方程計算可得雙曲線的漸近線方程，設(shè)漸近線的夾角為。，由直線的夾

角公式計算可得答案.

【詳解】由雙曲線方程為上—匯=1,得a=6,b=^=2五,

28

其漸近線為y=±2x,

2-（-2）4

設(shè)漸近線的夾角為。，則tanJ==丁,

l+'2x（I-2）3

4

則0=arctan—.

__4

故答案為：arctan—

【點睛】本題主要考查的是兩直線的夾角以及雙曲線的幾何性質(zhì)，利用夾角公式是解決本題的關(guān)犍，同時

注意夾角的取值范圍，是基礎(chǔ)題

14.（上海黃浦?格致中學高三月考）直線/過點"（2,1）與直線3x+y-1=0垂直，則直線/的方程為

【答案】x-3y+l=0

【分析】先根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)直線方程，再代入點坐標得結(jié)果.

【詳解】因為直線/與直線3x+y-l=0垂直，所以設(shè)直線/的方程為x-3y+,”=0,

因為直線/過點"(2,1),所以2-3xl+/〃=0，/n=I，x-3y+l=。

故答案為：x-3y+l=0

【點睛】本題考查根據(jù)直線垂直求直線方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

15.(上海高三一模)在平面直角坐標系X。)，中，將直線/沿x軸正方向平移3個單位，沿y軸正方向平移

5個單位，得到直線位再將直線4沿x軸正方向平移1個單位，沿>軸負方向平移2個單位，又與直線/重

合.則直線I與直線4的距離是.

【答案】y

【分析】設(shè)/方程為丫=履+"寫出平移后人的方程，再寫出4平移后的直線方程，它與/方程相同，由此可

求得斜率2=3,最后由兩平行線間距離公式可得結(jié)論.

【詳解】據(jù)題意直線的斜率存在，設(shè)/方程為'=履+以則4的方程為了二氏(工一3)+6+5,即>=米-3人+8+5,

將直線4沿工軸正方向平移1個單位，沿y軸負方向平移2個單位，得直線方程為y=1)-31+/2+5-2,

即丁二履一就+3+〃，此即為直線/的方程，團TR+3=0,k=j則直線/,《方程分別為：y=-x+hf

44

7117

h4------h

3113311411

y=-x+b-^—,一般式為:元一y+6=0,—x-y+Z?4--=0,它們之間的距離為d=(―-------------=—.

44444

檢+3)25

故答案為：—.

【點睛】本題考查直線的平移，考查兩平行線間的距離公式.

(1)平面直角坐標系上，曲線/(x,y)=o的平移，與函數(shù)平移相似，

曲線/(x,y)=0向右平移。個單位得f(x-a,y)=0,

曲線y)=0向上平行b個單位得f(x,y-b)=0,

曲線)(x，y)=0向左平移。個單位得f(x+a,y)=0,

曲線/(x,y)=0向下平行b個單位得f(x,y+h)=0.

(2)兩平行線Ar+為+G=0和Ar+By+C=0間的距離為d=隼二St.

16.(2018?上海黃浦?格致中學高三開學考試)在平面直角坐標系中，記”為點P(cosd,sin。)到直線/：

x-陽-2=0的距離，當出機變化時，”的最大值為.

【答案】3

【分析】問題轉(zhuǎn)化為圓/+產(chǎn)=1的圓心到直線/7-5-2=0的距離的最大值加上圓的半徑即可得到.

【詳解】因為點P(8se,sin。)的軌跡是圓心在原點，半徑為1的圓，直線/:x-%-2=0過定點P(2,0),如圖

所示:

過。作OM_L/,垂足為V,

則|OM|0OP|=2,

所以d=||+142+1=3,取等的條件是〃與z>重合，此時=0.

故答案為3.

【點睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合思想，點到直線的距離，圓的方程，直線過定點，屬于中檔題.

17.(上海市洋涇中學高三期中)過點P(1,2)與直線2x+y=0垂直的直線方程為.

【答案】x-2y+3=0.

試題分析：與直線2x+y=0垂直的直線方程的斜率1<=之，由此能求出過點P(l,2)與直線2x+y=0垂直的直

線方程.

解：田與直線2x+y=0垂直的直線方程的斜率k=￡,

團過點P(1.2)與直線2x+y=0垂直的直線方程為：

V-2=—(x-1),

2

整理，得x-2y+3=0.

故答案為x-2y+3=0.

考點：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系.

18.(徐匯?上海中學高三模擬預測)若函數(shù)y=?'(a>l)和它的反函數(shù)的圖象與函數(shù)y=，的圖象分別交于點

X

A、B,若|陰=2&,則a約等于(精確到0.1).

【答案】8.4

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖，設(shè)4為優(yōu))，函數(shù)y=a'(a>l)和它的反函數(shù)的圖象與函數(shù)y=1的圖

象關(guān)于直線x-y=0對稱，得出點A到直線丫=》的距離為AB的一半，利用點到直線的距離公式及A(x,優(yōu))

在函數(shù)的圖象上得到a=魚"百:“8.4即可.

【詳解】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖，

回函數(shù)y=a'(〃>l)和它的反函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線x-y=0對稱，

回|AB|=2五，=>點4到直線y=x的距離為夜，

卜一優(yōu)|「不

乂A(x,a')在函數(shù)y=。的圖象上，=優(yōu)=工，②

XX

由(1)②得：x=2=>x=x/2—1,

x

0/-'-(0-1)=2，=4=勺0+1,8.4

故答案為:8.4.

【點睛】本題考查了互為反函數(shù)的性質(zhì)、點到直線的距離，屬于中檔題.

19.(長寧?上海市延安中學)已知點A(3,l),8(|,2),且平行四邊形ABCD的四個頂點都在函數(shù)

V-1-1

/.⑺=log,―的圖像上，則四邊形ABCD的面積為_____.

x-1

_26

r【答案】—

【分析】根據(jù)奇偶性的判定可知f(x)為奇函數(shù)，由此可知A,C關(guān)于原點對稱，瓦。關(guān)于原點對稱；利用直

線方程的求法可求得宜線AB，進而得到原力：0到直線AB的距離4,利用兩點間距離公式可求得|A邳，由

SMQ=4S〃叩=2|A加d可求得結(jié)果.

V*_1_1

【詳解】由一>0得：X<-1或x>l,即f(x)定義域為(―,-l)U(l,M)

X-i

f{-x)=log2-^7=log,二=-log?==-f(x)

—X—1X4~1X—L

??J（x）為定義在（—,-l）U（l,M）上的奇函數(shù)

??.C與A關(guān)于原點。對稱，8與。關(guān)于原點。對稱，SAB8=45A<MB

k=——_=4

又的一5一4；.直線AB方程為：y-l=-4（x-3）,即3x+4y—13=0

—j4、

3

：.O到肖.線AB距離d=?,乂|A卻=J（3-+（1-2『=行:i=|

「《）113526

^ABCD=4^AOAB=4X2X~^X2~~3

故答案為：—

【點睛】本題考查四邊形面積的求解問題，涉及到函數(shù)奇偶性與對稱性的應用、直線方程的求解、兩點間

距離公式和點到直線距離公式的應用等知識;關(guān)鍵是能夠根據(jù)對稱性確定所求四邊形面積為AQ4B面積的四

倍.

20.（海楊浦?高三一模）已知直線/經(jīng)過點卜后且方向向量為（2,-1）,則原點。到直線/的距離為.

【答案】1

【解析】直線的方向向量為（2,-1）,所以直線的斜率為直線方程為x+2y+6=0,

由點到直線的距離可知^^L=i,故答案為i.

12+22

21.（上海高三期中）已知直線/,:x+ay+2=0和4：（a-2）x+3），+6a=0,則乙回/2的充要條件是〃=

【答案】3

【分析】根據(jù)直線平行關(guān)系求出。的取值即為其充要條件.

【詳解】直線4:%+@+2=0和乙:（a-2）x+3y+6a=0,

則4團4，即3=。（。-2）,a2-247-3=0,

解得：a=3或a=-1,

當4=3時：4:x+3y+2=0和6:x+3y+18=0平行；

”'|4=一1時：4：x-y+2=0和4：-3x+3y-6=0重合，不滿足平行,

所以a=3.

故答案為：3

【點睛】此題考查根據(jù)兩條直線平行求參數(shù)的值，根據(jù)平行關(guān)系求參數(shù)，注意考慮直線重合的情況.

22.(上海市控江中學高三月考)已知wR,f(a,b)=(2a+5-|cos/?|)2+(2a-1sinb|)2的最小值為

【答案】8

【分析】根據(jù)兩點間的距離公式，向可看作兩點(2a+5,2〃),(|cos",|sinb|)間的距離的平方，，轉(zhuǎn)化為求

點間距離的最小值，進一步利用點到直線的距離即可求出.

【詳解】f[a,b)=(2a+5-|cosb|y+(2a-1sin切了,可以理解為：兩點(2a+5,2a),(|cosbI,Isin勿)間的距離的平

方.

由于點(2a+5,2a)是直線y=x-5上的動點，(|cos6|Jsinb|)是圓x?+y2=o,yz0)上的動點，

問題轉(zhuǎn)化為求直線丫=工-5與圓f+V=1(x20120)的一部分距離的最小值，即圓上的點到直線距離的最

小值,

I—72—5I

圓上一點(見〃)到直線y=X-5的距離為：d=-J=—,

在圓f+y2=i(xzo,y*O)上點(1,0)到直線y=x-5距離最小,

即最小值為d=2>/2，此時f(a,b)有最小值8.

故答案為：8

【點睛】本題主要考查了兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

23.(2018?上海市青浦高級中學高三月考)已知直線4:3x—(Z+2)y+6=0與直線“：依+(2%-3)y+2=0,

記人:’則。=。是直線乙與直線"平行的---------(選填"充分非必要"、“必要非充分”、“充要”、

“既非充分又非必要")條件.

【答案】必要非充分

【分析】解。=0求得人的值.由此“4求得上的值.由此判斷出充分、必要條件.

【詳解】令0=0得3(2"3)+僅+2快=0,公+弘一9=0,解得女=-9或A=1.

3(2%-3)+(%+2)&=0

當“〃2時,,解得女二—9.

3x2-6左。0

故D=0是直線4與直線4平行的必要非充分條件.

故答案為：必要非充分

【點睛】本小題主要考查兩條直線平行的條件，考查行列式的計算，考查充分、必耍條件的判斷，屬于基

礎(chǔ)題.

24.（2018?上海市行知中學高三月考）在13ABe中，AC=3,A8=4,BC=5,P為角平分線AT上一點，

且在回ABC內(nèi)部，則尸到三邊距離倒數(shù)之和的最小值為

［答案］19+2標

12

【分析】先根據(jù)題意建立平面直角坐標系，求出8C所在直線的方程為］+：=1和角A

34

12

平分線AT的方程為〉=%，求出交點的坐標，令依題意知0＜根＜一,根據(jù)點到直線的距離表示

7

出產(chǎn)到三邊的距離的倒數(shù)和，構(gòu)造函數(shù)〃咽;士2+^5^三=，0＜“＜1苦?，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值。

m12-1m7

【詳解】

由AC=3,AB=4,BC=5可知團ABC為直角：角形，以A為原點，以直角邊AC為x軸，直角邊AB為丁軸

建立平面直角坐標系，易知5（。，4）,C（3,0）,角4平分線AT的方程為丫=光，由截距式知8C所在宜線的方

程為；+與=1,即4x+3y-12=0,

34

fy=x121212

IOA解得丁（9,9），令P（九㈤依題可知。＜相＜節(jié),

［4x+3y-12=0777

由點到直線的距離公式知P到BC的距離為空了，

則尸到三邊距離倒數(shù)之和為

11525

—I-------1----------------=—i-------

tnm12—7/7?m12—7m

25I?

令f（加）=-H-------,0＜m＜—,

m\2-7m7

235

則八根）=一版+^^7'

令，（㈤=0,即有旭=56-4回（該極值點在區(qū)間0＜機＜3上），

217

當0＜川＜56-4標時,，（⑼＜0,則/（㈤遞減；

21

當?I叵〈旅等時,/（/M）＞o,則/（，“）遞增，

217

〃、乙56-4歷、19+2770

.?/（機）mm=/（——）=―—

故答案為：19+2標

12

【點睛】本題考查了點到直線的距離公式、導數(shù)和函數(shù)的最值關(guān)系，培養(yǎng)/學生的計算能力、轉(zhuǎn)化能力,

屬于中檔題。

25.（2019?上海黃浦?格致中學高三月考）平面上整點（橫、縱坐標都為整數(shù)的點）到直線y=；x+1的距

離的最小值是

【答案】叵

85

【分析】根據(jù)點到直線的距離公式列式，結(jié)合點的橫、縱坐標都為整數(shù)，求得距離的最小值.

【詳解】直線丫=3+1可化為25x-15y+12=0.設(shè)尸優(yōu),％）為整點，由點到直線距離公式得

”=|25x15），0+12]=|5（5%-%）+12],由于后是整數(shù)，故當5%-3%=-2時（可取%=-1,%=-1）,

V252+1525V34

d取得最小值為上竿4=叵.

5陰85

故填返.

85

【點睛】本小題主要考查點到直線的距離公式，考查整數(shù)點問題的求解策略，屬于基礎(chǔ)題.

26.(2018?上海市奉賢區(qū)奉城高級中學高三月考)各項均不為零的數(shù)列｛??｝的前”項和為5“.對任意〃eN”,

mn=(a?+l-??,2°,用)都是直線y=丘的法向量?若！吧S,存在，則實數(shù)&的取值范圍是.

【答案】(-，―1)U(。,”)

【解析】由題意，數(shù)列的公比q滿足OVIqlVl,

團對任意〃eN*,mn=(a向一)都是直線y=kx的法向量，

0km〈-8,-1)0(o,+8),

故答案為(-8,-1)0(0,+8).

27.(2020?上海市進才中學高三月考)直線4：(a+3)x+y-3=0與直線4：5x+(a-3)y+4=0,若電的方向

向量是鼻的法向量，則實數(shù)凝=.

【答案】-2

試題分析：由題意得：I』,即5(a+3)+a—3=0na=-2

考點：兩直線垂直

【名師點睛】在研究直線平行與垂直的位置關(guān)系時，如果所給直線方程含有字母系數(shù)時，要注意利用兩直

線平行與垂直的充要條件：

(1)/10/20X1182—AiBi—OH4c2—(或81c2—BzCi*O)；

(2)/1回2蜘14+8182=0,這樣可以避免對字母系數(shù)進行分類討論，防止漏解與增根.

(3與/,Ax+8y+C=0平行的直線可設(shè)為Ax+By+C'=0,4l,Ax+By+C=0垂直的直線可設(shè)為

Bx-Ay+C'=0

28.（上海金山?高三一模）已知點P、Q分別為函數(shù)〃x）=x2+l（x20）和g（x）=J』圖像上的點，則點P

和Q兩點距離的最小值為

【答案】逑；

4

【分析】確定/（x）=f+1修0）和g（x）=^^二T互為反函數(shù)，點P和Q兩點距離的最小值為點尸到直線y=X

距離最小值的兩倍，設(shè)尸（。,。2+1）,計算點到直線的距離得到答案.

【詳解】易知函數(shù)，（防=/+1%20）和8（幻=，三萬互為反函數(shù)，故函數(shù)關(guān)于y=x對稱

則點P和。兩點距離的最小值為點尸到直線y=x距離最小值的兩倍.

設(shè)p"+i）M+-|_（"一'當時九=*

故點P和Q兩點距離的最小值為逑

4

故答案為：述

4

【點睛】本題考查了反函數(shù)，距離的最值，將兩點間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

29.（2020?上海高三專題練習）等腰三角形一腰所在的直線4的方程是2x-y+4=0,底面所在的直線《的

方程是x+）」l=0,點（-3,1）在另一腰所在的直線上，求這腰所在的直線g的方程.

【答案】x-2y+5=0

【分析】先求出直線4,4的一個方向向量,設(shè)直線4的一個方向向量為（1次），根據(jù)向量的夾角公式即可列

出等式，解出般即得直線4的方程.

【詳解】取4的一個方向向量為（1,2）,4的一個方向向量為（1，T），設(shè)4的一個方向向量為（1次），則

|lxl+2x(l)||lxl+Zx(l)|

，解得&=2（舍去）或A=

6&y/1+k2-72

所以，直線的方程為y-l=；（x+3）即x—2y+5=0.

【點睛】本題主要考查直線的方向向量的應用，屬于基礎(chǔ)題.

30.（2020?上海高三專題練習）已知直線/在*軸上的截距為-2,傾斜角a滿足當空等幺=』，求直

5cosa+3smi11

線/的方程.

【答案】2x-y+4=0

【分析】利用弦化切思想結(jié)合等式9,拜^inC幺f—不cos竺Cf=三3求得tana的值，即為直線/的斜率，然后利用點斜式

5cosa+3sina11

可得出直線/的方程.

.2sin?-cosa2tana-13“人，

【詳解】V------——---——=77,解得tana=2,

5cosa+3sina5+3tana11

由于直線/在x軸上的截距為-2,則直線/過點(-2,0),

因止匕，直線/的方程為y=2(x+2),即2x—y+4=0.

【點睛】本題考查直線方程的求解，同時也考查了弦化切思想的應用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

31.(2020?上海高三專題練習)己知4:犬+機、+6=0,/,:(w-2)x+3/ny+2/n=0,求當加為何值時，人與％

相交、平行或重合.

【分析】利用兩直線相交、平行和重合的等價條件列出關(guān)于用的等式或不等式，即可解得"，的值或取值范

圍.

【詳解】已知4:x+My+6=0,4：(機-2)x+3機y+2機=0.

若直線4與4相交，則^”力機七加一2),即"1(加2-2加一3)片0,解得相片一1且〃‘#0目」""3；

3m=m2(m-2)

若直線4與4平行，則°c0，解得m=0或加=—1；

2mw6(〃z-2)

2

若直線4與，2重合，則3cm=m(m-e2J)，解得加=3.

2m=6[m-2)

綜上所述，當《1=0或機=一1時，〃〃2；當機=3時，4與，2重合；當加工一1FL/MHO目.MK3時，4與4相交.

【點睛】本題考查利用兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

32.(2020?上海高三專題練習)兩平行線4，4分別過點42,0)與鳥(。，9).

(1)若《與4距離為2,求兩直線方程；

(2)設(shè)《與4之間距離是d,求d的取值范圍.

【答案】(1)/|：x-2=0,4:x=0或4:77x+36y-154=0,/,:77x+36y-324=0；(2)Je(0,>/85]

【分析】(1)根據(jù)直線的夾角的定義，結(jié)合點到直線的距離公式、直線的方向向量、銳角三角函數(shù)定義進

行求解即可；

（2）根據(jù)平行線的幾何性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】

（1）山間=J函，設(shè)直線耳巴與這兩平行直線的夾角為。，則

八2八9

sin0=—7==>cos0=—f=設(shè)直線＜舄的一個方向向量為（2,-9）,

V85V85

取兩平行線的一個方向向量為（。，〃），

八9\2a-9b\

則s'"礪=Z.病=.+36。）=°,

當a=0時，/,:x-2=0,/,:x=0；

當77。+36b=0時，取平行線的一個方向向量為（36,-77）,

x—2v—0

則人:———=>77x+36y—154=0,

136-77

x-0^^n77x+36y-324=0,

/2：

綜上，/|：x-2=0,l2:x=0

或4:77x+36y—154=0,/2:77x+36>'-324=0；

（2）當平行線4,勾與直線M5垂直時,兩平行線的距離最大，即

^.?ax=|^|-^85,所以,de(0,>/85].

【點睛】本題考查了已知平行線間的距離求平行線問題，考查了平行線問題距離最值問題，考查了數(shù)學運

算能力.

33.（上海楊浦?復旦附中高三模擬預測）如圖，0為信號源點，A、B、C是三個居民區(qū)，已知A、B都

在。的正東方向上，OA=\Ohn,OB=20km,C在。的北偏西45。方向上，CO=5叵km，現(xiàn)要經(jīng)過點。鋪

設(shè)一條總光纜直線EF（￡在直線OA的上方），并從A、B、C分別鋪設(shè)三條最短分支光纜連接到總光纜EF,

假設(shè)鋪設(shè)每條分支光纜的費用與其長度的平方成正比，比例系數(shù)為1元/4/,設(shè)Z4OE=，，（04。＜萬），

鋪設(shè)三條分支光纜的總費用為w（元）.

F

（1）求卬關(guān)于。的函數(shù)表達式;

（2）求卬的最小值及此時tan。的值.

525tan?0+50tan6+25

o?e〈乃,e嗎

tan26?+l

【答案】（1）w=-；(2)275-257101,10-A/KH.

525卜=5

【分析】⑴對直線EF的斜率是否存在分類討論，求出AB,C三點到直線EF的距離，鋪設(shè)三條分光纜的總

費用即可求w關(guān)于。的函數(shù)表達式;

⑵由（1）中的表達式利用換元法，利用基本不等式，可求w的最小值及此時tan。的值.

【詳解】（1）以點。位坐標原點，OA為x軸建立直角坐標系,

則410,0),8(20,0),C(-5,5),

7T

當直線EF的斜率不存在，即時，

2

AB,C三點到直線所的距離分別為10,20,5

所以此時卬=（1（）2+202+52）x1=525,

當直線EF的斜率存在時，設(shè)直線EF的方程為：y=h，々=tan。,

|10&||20*|\5+5k\

ABC三點到直線所的距離分別為:后，后,而下

所以W=1,X[〃(|為10吾k|)、2+,|20%|）2+（^）2]

Jl+二Jl+k2

_525新+50%+25525tan26*+50tan6*+25

l+k21+tan20

IT

525(，=—)

2

所以w=,

525tan*+50tan。+25(04"力6?嗎)

l+tan26>

⑵當直線E戶的斜率不存在時，卬=525,

當直線EF的斜率存在時，墳=525K上當+25525(r+l)+50k-500

1+K1+/

50僅一10)

\+k2

設(shè)一一10,

當"0即&=10時，W=525.

…50Z…50

=525H---------7=525H---77T；----

當rwO即人力100^,w1+(r+10)2,+3+20.

I

I101

=2洞（當且僅當t=ViUT時取等號）

因為當f>0時f+TT

4-2樣

當，<0時，f+年=-27101(當且僅當f=-Viol時取等號)

所以w的最小值為525+20_2師=275-257101

此時，=tan。=&=10-VHiT.

【點睛】本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查函數(shù)模型的建立，屬于中檔題.

34.(2020?上海高三專題練習)已知直線/過點(1,3),且與x軸、V軸都交于正半軸，求：

(1)直線/與坐標軸圍成面積的最小值及此時直線/的方程；

(2)直線/與兩坐標軸截距之和的最小值及此時直線/的方程.

XV

【答案】(1)工,,=6,/:3x+y-6=0；(2)染n=4+26，+=

【分析】(1)設(shè)出直線/的截距式方程，結(jié)合基本不等式求得直線/與坐標軸圍成面積的最小值及此時直線

/的方程.

(2)設(shè)出直線/的截距式方程，結(jié)合基本不等式求得直線,與兩坐標軸截距之和的最小值及此時直線/的方

程.

【詳解】(1)設(shè)直線方程為二+?=1(“>0力>0),則，+g=l,所以1=工+322、陌=記，所以

ababab\aby/ah

Iai

4^b>2^,ab>12,當且僅當一=:=二,4=2,6=6時等號成立，直線/與坐標軸圍成面積為

ah2

S=^ab=^-ab>^xl2=6,此時直線方程為：+斗=1,即3x+y-6=0.

22226

(2)設(shè)直線方程為二+==1(。>0力>0),則,+?=1,所以a+6=(a+b)(L+g[=4+2+孚

ababb)ab

24+22.姆=4+26.當且僅當2=學，即。=1+6,匕=3+且時等號成立，此時直線方程為

\abab

x?y=1

1+63+6-,

【點睛】本小題主要考查直線的截距式方程，考查基本不等式求最值，屬于中檔題.

35.(2020?上海高三專題練習)已知AABC的頂點4L2),AC邊上的高30所在直線方程為2x-3y+l=0,

幺CB的平分線CE所在的直線方程為x+y=0,求AABC的三邊所在直線的方程.

【答案】BC:2x+3y+7=0；AC:3x+2y-7=0；AB:x-y+\=0

【分析】根據(jù)AC的斜率及ZACB的平分線CE可求出點C,再根據(jù)A(l,2)關(guān)于CE的對稱點A，在直線BC上求

出8c即可，再由8D與8c的交點得8,求出A8的方程即可.

f=°f

【詳解】設(shè)C(x,y),則"―23,解得x=7「，即CO，').

W[y-

x—12

由于A(l,2)關(guān)于x+y=0對稱點為^(-2,-1),

故直線3C：y+l=-l；(：)(x+2),

-2—/

整理得2x+3y+7=。

直線AC:y-2=2-(-7)x(.r-l),

1—7

化筒得：3x+2y_7=0,

2x+3y+7=0|x=-2

由,即8(-2,-1),

2x-3y+l=0[y=T

2-(-1)

所以直線AB:)-2x(D,

1-(-2)

即x-y+l=O.

【點睛】本題主要考查用點斜式求直線的方程，求兩條宜線的交點，求一個點關(guān)于某條直線的對稱點的方

法，屬于中檔題.

36.(2020?上海高三專題練習)設(shè)集合A={〃直線與y=2x直線相交且以交點的橫坐標為斜率}.

(1)點(-2,0)到A中哪條直線距離最??；

(2)設(shè)尸(-2,〃)，點P到A中直線距離的最小值設(shè)為或a),求"(a).

2y/a-l,a>2

【答案】(1)到y(tǒng)=0距離最??；(2)d(a)=?0<a<2

0,a<0

【分析】(1)設(shè)出交點坐標，可寫出直線/的方程，再根據(jù)點到直線的距離公式即可求出點(-2,0)到到直

線/的距離，判斷該式的單調(diào)性即可求出最小值，從而得到直線/的方程：

(2)先求出點尸到A中直線的距離，得到關(guān)于二的函數(shù)關(guān)系式，變形，結(jié)合基本不等式取等的條件進行分

類討論，即可求出或a).

【詳解】(1)設(shè)交點為(我,2幻，則直線/的方程為y-2&=即fcr—T+2&=0.

\-2k-k