第01講 圓的基本概念和性質(zhì)（知識解讀）（解析版）

第01講圓的基本概念和性質(zhì)在探索過程中認識圓，理解圓的本質(zhì)屬性；經(jīng)歷探索點與圓的位置關(guān)系的過程，會運用點到圓心的距離與圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系判斷點與圓的位置關(guān)系；2.了解圓及其有關(guān)概念，理解弦、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、同心圓、等圓、等弧等與圓有關(guān)的概念，理解概念之間的區(qū)別和聯(lián)系；3.通過圓的學(xué)習養(yǎng)成學(xué)生之間合作的習慣.知識點1：圓的定義及性質(zhì)圓的定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫圓。這個固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。圓的表示方法：以O(shè)點為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。圓的特點：在一個平面內(nèi)，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形。確定圓的條件：1）圓心；2）半徑。備注：圓心確定圓的位置，半徑長度確定圓的大小?！狙a充】1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；2）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；3）半徑相等的圓叫做等圓。圓的對稱性：1）圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；2）圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。知識點2：圓的有關(guān)概念弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦(例如：右圖中的AB)。直徑的概念：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。備注：1）直徑是同一圓中最長的弦。2）直徑長度等于半徑長度的2倍?；〉母拍睿簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點的弧記作AB，讀作圓弧A等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。優(yōu)弧的概念：在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧?！绢}型1圓的定義及性質(zhì)】【典例1】（2021秋?大同區(qū)校級期末）能決定圓的位置的是（）A．圓心 B．半徑 C．直徑 D．周長【答案】A【解答】解：根據(jù)圓的定義可知，能決定圓的位置的是圓心，故選A．【變式1-1】（2022秋?椒江區(qū)校級月考）下列圖形為圓的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：根據(jù)題意得，A圖形為圓．故答案為：A．【變式1-2】（2022春?廣饒縣期末）畫圓時圓規(guī)兩腳間可叉開的距離是圓的（）A．直徑 B．半徑 C．周長 D．面積【答案】B【解答】解：畫圓時圓規(guī)兩腳間可叉開的距離是圓的半徑．故選：B．【變式1-3】（2022秋?巴東縣期中）一個圓的面積為πcm2，則它的半徑為（）cm．A．±1 B．π C．0 D．1【答案】D【解答】解：設(shè)圓的半徑為rcm，根據(jù)題意得：πr2＝π，解得：r＝1，故選：D．【變式1-4】（2022秋?涪城區(qū)期中）下列結(jié)論正確的是（）A．半徑相等的兩條弧是等弧 B．半圓是弧 C．半徑是弦 D．弧是半圓【答案】B【解答】解：A、在等圓或同圓中，半徑相等的兩條弧是等弧，原結(jié)論不正確；B、半圓是弧，原結(jié)論正確；C、半徑只有一個端點位于圓上，不是弦，原結(jié)論不正確；D、根據(jù)半圓的定義可知，半圓是弧，但弧不一定是半圓，原結(jié)論不正確；故選：B．【典例2】（2022秋?朝陽區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E．若∠A＝25°，求∠DCE的度數(shù)．【答案】40°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝65°，∵∠CDB＝∠DCE+∠A，∴∠DCE＝65°﹣25°＝40°．【變式2-1】（海口模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且點C、D在AB的異側(cè)，連接AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，則∠AOD的度數(shù)為（）A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】D【解答】解：∵AD∥OC，∴∠AOC＝∠DAO＝70°，又∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO＝70°，∴∠AOD＝180﹣70°﹣70°＝40°．故選：D．【變式2-2】（崆峒區(qū)期末）如圖，CD是⊙O的直徑，點A在DC的延長線上，∠A＝20°，AE交⊙O于點B，且AB＝OC．（1）求∠AOB的度數(shù)．（2）求∠EOD的度數(shù)．【答案】（1）20°（2）60°【解答】解：（1）連OB，如圖，∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝BO，∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；（2）∵∠2＝∠A+∠1，∴∠2＝2∠A，∵OB＝OE，∴∠2＝∠E，∴∠E＝2∠A，∴∠DOE＝∠A+∠E＝3∠A＝60°．【典例3】（2022秋?公安縣月考）已知⊙O的半徑是4cm，則⊙O中最長的弦長是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C【解答】解：∵⊙O的半徑是4cm，∴⊙O中最長的弦，即直徑的長為8cm．故選：C．【變式3-1】（2021秋?互助縣期末）已知⊙O的直徑為10cm，則⊙O的弦不可能是（）A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm【答案】D【解答】解：∵⊙O的直徑為10cm，則⊙O的弦不可能大于10cm．觀察選項，只有選項D符合題意．故選：D．【變式3-2】（2022秋?玉林期末）如圖，從A地到B地有兩條路可走，一條路是大半圓，另一條路是4個小半圓．有一天，一只貓和一只老鼠同時從A地到B地．老鼠見貓沿著大半圓行走，它不敢與貓同行（怕被貓吃掉），就沿著4個小半圓行走．假設(shè)貓和老鼠行走的速度相同，那么下列結(jié)論正確的是（）A．貓先到達B地 B．老鼠先到達B地 C．貓和老鼠同時到達B地 D．無法確定【答案】C【解答】解：以AB為直徑的半圓的長是：π?AB；設(shè)四個小半圓的直徑分別是a，b，c，d，則a+b+c+d＝AB．則老鼠行走的路徑長是：a+πb+πc+πd＝π（a+b+c+d）＝π?AB．故貓和老鼠行走的路徑長相同．故選：C．【題型2圓的有關(guān)概念】【典例4】（2022秋?長順縣月考）下列4個說法中，正確的有（）①直徑是弦②弦是直徑③任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸④弧是半圓A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：①直徑是最長的弦，故本小題說法正確；②弦不一定是直徑，故本小題說法錯誤；③經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸，故本小題說法正確；④半圓是弧，但弧不一定是半圓，故本小題說法錯誤．故選：B．【變式4-1】（2022秋?巧家縣期中）下列說法中，正確的是（）A．過圓心的直線是圓的直徑 B．直徑是圓中最長的弦 C．相等長度的兩條弧是等弧 D．頂點在圓上的角是圓周角【答案】B【解答】解：A、過圓心的弦是圓的直徑，故A不符合題意；B、直徑是圓中最長的弦，故B符合題意；C、在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧，故C不符合題意；D、頂點在圓上，兩邊分別與圓還有另一個交點的角是圓周角，故D不符合題意；故選：B．【變式4-2】（2022秋?下城區(qū)校級月考）下列說法正確的是（）A．劣弧一定比優(yōu)弧短 B．面積相等的圓是等圓 C．長度相等的弧是等弧 D．如果兩個圓心角相等，那么它們所對的弧也相等【答案】B【解答】解：A、在同圓或等圓中，劣弧一定比優(yōu)弧短．故本選項錯誤；B、面積相等的圓是等圓；故本選項正確；C、能完全重合的弧才是等弧，故本選項錯誤；D、必須在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故本選項錯誤．故選：B【變式4-3】（2022春?莘縣期末）下列說法：①直徑是弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個半圓是等弧；④長度相等的兩條弧是等弧；⑤半圓是弧，但弧不一定是半圓．正確的說法有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解答】解：①直徑是弦，正確，符合題意；②弦不一定是直徑，錯誤，不符合題意；③半徑相等的兩個半圓是等弧，正確，符合題意；④能夠完全重合的兩條弧是等弧，故原命題錯誤，不符合題意；⑤根據(jù)半圓的定義可知，半圓是弧，但弧不一定是半圓，正確，符合題意，正確的有3個，故選：C．1．（2023?懷寧縣一模）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD的延長線交于點E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，則∠E等于（）A．42° B．29° C．21° D．20°【答案】B【解答】解：連接OD，如圖，∵OB＝DE，OB＝OD，∴DO＝DE，∴∠E＝∠DOE，∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，而OC＝OD，∴∠C＝∠1，∴∠C＝2∠E，∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，∴∠E＝∠AOC＝×87°＝29°．故選：B．2．（2023?增城區(qū)一模）如圖，在半圓所對應(yīng)圓的直徑上作4個正三角形，如這半圓周長為C1，這4個正三角形的周長和為C2，則C1和C2的大小關(guān)系是（）A．C1＞C2 B．C1＜C2 C．C1＝C2 D．不能確定【答案】B【解答】解：設(shè)半圓的直徑為a，則半圓周長C1為：aπ+a，4個正三角形的周長和C2為：3a，∵aπ+a＜3a，∴C1＜C2故選：B．3．（2022?南山區(qū)校級模擬）數(shù)學(xué)知識在生產(chǎn)和生活中被廣泛應(yīng)用，下列實例所應(yīng)用的最主要的幾何知識，說法正確的是（）A．學(xué)校門口的伸縮門由菱形而不是其他四邊形組成，應(yīng)用了“菱形的對角線互相垂直平分” B．車輪做成圓形，應(yīng)用了“圓是中心對稱圖形” C．射擊時，瞄準具的缺口、準星和射擊目標在同一直線上，應(yīng)用了“兩點確定一條直線” D．地板磚可以做成矩形，應(yīng)用了“矩形對邊相等”【答案】C【解答】解：A．學(xué)校門口的伸縮門由菱形而不是其他四邊形組成，應(yīng)用了“四邊形的不穩(wěn)定性”，故本選項錯誤，不合題意；B．車輪做成圓形，應(yīng)用了“圓上各點到圓心的距離相等”，故本選項錯誤，不合題意；C．射擊時，瞄準具的缺口、準星和射擊目標在同一直線上，應(yīng)用了“兩點確定一條直線”，故本選項正確，符合題意D．地板磚可以做成矩形，應(yīng)用了“矩形四個內(nèi)角都是直角”的性質(zhì)，故本選項錯誤，不合題意．故選：C．4．（2022?路南區(qū)三模）在平面內(nèi)與點P的距離為1cm的點的個數(shù)為（）A．無數(shù)個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【解答】解：在平面內(nèi)與點P的距離為1cm的點的個數(shù)為：所有到定點P的距離等于1cm的點的集合，故選：A．5．（2022?潮安區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以點C為圓心，CA長為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點D，則⊙C的半徑為（）A． B．8 C．6 D．5【答案】D【解答】解：如圖，連結(jié)CD，∵CD是直角三角形斜邊上的中線，∴CD＝AB＝×10＝5．故選：D．6．（2022?廣陵區(qū)二模）如圖，在扇形AOB中，D為上的點，連接AD并延長與OB的延長線交于點C，若CD＝OA，∠O＝75°，則∠A的度數(shù)為（）A．35° B．52.5° C．70° D．72°【答案】C【解答】解：連接OD，如圖，設(shè)∠C的度數(shù)為n，∵CD＝OA＝OD，∴∠C＝∠DOC＝n，∴∠ADO＝∠DOC+∠C＝2n，∴OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2n，∵∠AOC+∠C+∠A＝180°，∠AOC＝75°，∴75°+n+2n＝180°，解得n＝35°，∴∠A＝2n＝70°．故選：C．7．（2022?金沙縣一模）下列說法中，不正確的是（）A．圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 B．圓有無數(shù)條對稱軸 C．圓的每一條直徑都是它的對稱軸 D．圓的對稱中心是它的圓心【答案】C【解答】解：A．圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，正確；B．圓有無數(shù)條對稱軸，正確；C．圓的每一條直徑所在直線都是它的對稱軸，此選項錯誤；D．圓的對稱中心是它的圓心，正確；故選：C．8．（2022?南山區(qū)模擬）一個點到圓的最小距離為3cm，最大距離為6cm，則該圓的直徑是（）A．1.5cm B．1.5cm或4.5cm C．4.5cm D．3cm或9cm【答案】D【解答】解：當點在圓外，則該圓的直徑＝6cm﹣3cm＝3cm；當點在圓內(nèi)，則該圓的直徑＝6cm+3cm＝9cm，即該圓的直徑為3cm或9cm．故選：D．9．（2023?南關(guān)區(qū)一模）如圖，已知空間站A與星球B距離為a，信號飛船C在星球B附近沿圓形軌道行駛，B，C之間的距離為b．數(shù)據(jù)S表示飛船C與空間站A的實時距離，那么S的最大值是（）A．a(chǎn) B．b C．a(chǎn)+b D．a(chǎn)﹣b【答案】C【解答】解：空間站A與星球B、飛船C在同一直線上時，S取到最大值a+b．故選：C．1．下列說法中，正確的是（）A．長度相等的弧是等弧 B．在同圓或等圓中，等弦對等弧 C．優(yōu)弧一定比劣弧長 D．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等【答案】D【解答】解：A、能夠重合的弧是等弧，說法錯誤，故選項不符合題意；B、在同圓或等圓中，等弦所對的劣弧和劣弧相等，優(yōu)弧和優(yōu)弧相等，說法錯誤，故選項不符合題意；C、優(yōu)弧一定比劣弧長，說法錯誤，條件是同圓或等圓中，故選項不符合題意；D、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，說法正確，故選項符合題意．故選：D．2．下列圖形中表示的角是圓心角的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：四個圖中只有A中圖形是圓心角．故選：A．3．如圖，AB是⊙O的直徑，＝＝，若∠COD＝35°，則∠AOE的度數(shù)是（）A．35° B．55° C．75° D．95°【答案】C【解答】解：∵，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝35°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝75°．故選：C．4．在⊙O中＝2，則弦AB與弦CD的大小關(guān)系是（）A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．AB＝CD【答案】C【解答】解：AB＜2CD．取的中點E，連接EA、EB，則＝＝，所以EA＝EB＝CD，在△ABE中，AE+BE＞AB，即2CD＞AB，則AB＜2CD，∴CD＜AB＜2CD，故選：C．5．下列說法正確的是（）A．等弧所對的弦相等 B．相等的弦所對的弧相等 C．相等的圓心角所對的弧相等 D．相等的圓心角所對的弦相等【答案】A【解答】解：A、等弧所對的弦相等，故A符合題意；B、在同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等，故B不符合題意；C、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故C不符合題意；D、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，故D不符合題意；故選：A．6．如圖，半徑OC⊥AB，弧BC的度數(shù)為70°，則∠AOC＝（）A．20° B．35° C．55° D．70°【答案】D【解答】解：∵弧BC的度數(shù)為70°，∴∠BOC＝70°，∵OC⊥AB，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC＝70°．故選：D．7．如圖，一枚半徑為r的硬幣沿著直線滾動一圈，圓心經(jīng)過的距離是（）A．4πr B．2πr C．πr D．2r【答案】B【解答】解：圓心經(jīng)過的距離就是圓的周長，所以是2πr．故選：B．8．有下列四個說法：①半徑確定了，圓就確定了；②直徑是弦；③弦是直徑；④半圓是弧，但弧不一定是半圓．其中錯誤說法的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：①圓確定的條件是確定圓心與半徑，是假命題，故此說法錯誤；②直徑是弦，直徑是圓內(nèi)最長的弦，是真命題，故此說法正確；③弦是直徑，只有過圓心的弦才是直徑，是假命題，故此說法錯誤；④半圓是弧，但弧不一定是半圓，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫半圓，所以半圓是?。劝雸A大的弧是優(yōu)弧，比半圓小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圓，是真命題，故此說法正確．其中錯誤說法的是①③兩個．故選：B．9．下列說法：①直徑是弦②弦是直徑③半圓是弧，但弧不一定是半圓④長度相等的兩條弧是等弧中，正確的命題有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：①直徑是弦，正確；②弦不一定是直徑，錯誤；③半圓是弧，但弧不一定是半圓，正確；④在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧，所以長度相等的兩條弧是等弧錯誤；所以，正確的命題有①③共2個．故選：B．10．如圖，小明順著大半圓從A地到B地，小紅順著兩個小半圓從A地到B地，設(shè)小明、小紅走過的路程分別為a、b，則a與b的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＜b C．a(chǎn)＞b D．不能確定【答案】A【解答】解：設(shè)小明走的半圓的半徑是R．則小明所走的路程是：πR．