福建省泉州市泉港區(qū)重點中學2023-2024學年高二上學期第二次月考（12月）數(shù)學試題（含答案）

泉港區(qū)重點中學2023-2024學年上學期第二次月考試卷高二數(shù)學（試卷滿分：150分考試時間：120分鐘）一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小趣給曲的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知等差數(shù)列{an}中，a4+a9=8，則S12=（）A.96 B.48 C.36 D.242．已知直線與直線，若，則（

）A．2或 B．或5 C．5 D．3．已知數(shù)列滿足，，則（

）A．0 B． C． D．4．已知拋物線：的焦點為，拋物線上有一動點，，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．85．如圖，在三棱柱中，E、F分別是BC、的中點，為的重心，則（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)，數(shù)列為等比數(shù)列，，且，則（

）A． B．2017 C．4034 D．80687．已知數(shù)列滿足，，且，若表示不超過的最大整數(shù)（例如，），則（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．20228．設為坐標原點，為雙曲線的兩個焦點，為雙曲線的兩條漸近線，垂直于的延長線交于，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列命題中正確的是（

）A．若是空間任意四點，則有B．在空間直角坐標系中，已知點，點P關于坐標原點對稱點的坐標為C．若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面D．任意空間向量滿足10．已知數(shù)列，滿足，為的前n項和，且，則（

）A． B．C．是等差數(shù)列 D．取得最大值1611．大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程.已知大衍數(shù)列滿足，，則（

）A． B．C． D．數(shù)列的前項和為12.如圖所示，在棱長為的正方體中，則下列命題中正確的是（）A.若點在側(cè)面所在的平面上運動，它到直線的距離與到直線的距離之比為2，則動點的軌跡是圓B.若點在側(cè)面所在的平面上運動，它到直線的距離與到面的距離之比為2，則動點的軌跡是橢圓C.若點在側(cè)面所在的平面上運動，它到直線的距離與到直線的距離相等，則動點的軌跡是拋物線D.若點是線段的中點，分別是直線上的動點，則的最小值是填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13．若焦點在x軸上的橢圓的焦距為4，則．14．已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點，則點坐標為.15．在“全面脫貧”行動中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開設的農(nóng)產(chǎn)品土特產(chǎn)品加工廠的原材料進貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價廉，上市后供不應求，據(jù)測算每月獲得的利潤是該月月初投入資金的20%，每月月底需繳納房租600元和水電費400元，余款作為資金全部用于再進貨，如此繼續(xù).預計2020年小王的農(nóng)產(chǎn)品加工廠的年利潤為元.（取，）16．如圖，曲線y2＝x（y≥0）上的點P1與x軸的正半軸上的點Qi及原點O構(gòu)成一系列正三角形，△OP1Q1，△Q1P2Q2，…，△Qn﹣1PnQn…設正三角形Qn﹣1PnQn的邊長為an，n∈N*（記Q0為O），Qn（Sn，0）.數(shù)列{an}的通項公式an＝.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知等差數(shù)列中，前項和為，已知，.(1)求；(2)設，求數(shù)列的前項和.18．已知直線經(jīng)過點.(1)若直線到原點的距離為1，求直線的方程；(2)若直線與軸?軸的正半軸分別交于兩點，求的最小值，并求此時直線的方程.19.已知圓M經(jīng)過點F（2，0），且與直線x=-2相切.（1）求圓心M的軌跡C的方程；（2）過點（-1，0）的直線l與曲線C交于A，B兩點，若，求直線l的斜率k的取值范圍.20．如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為菱形，，底面為直角梯形，，，，．(1)證明：；(2)在上是否存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．21．已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為，不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍．22．對于數(shù)列，規(guī)定數(shù)列為數(shù)列的一階差分數(shù)列，其中．(1)已知數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的前n項和為．①求；②記數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，且，求實數(shù)的值．(2)北宋數(shù)學家沈括對于上底有ab個，下底有cd個，共有n層的堆積物（堆積方式如圖），提出可以用公式求出物體的總數(shù)，這就是所謂的“隙積術”．試證明上述求和公式．答案解析一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小趣給曲的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知等差數(shù)列{an}中，a4+a9=8，則S12=（）A.96 B.48 C.36 D.24【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得.故選：B2．已知直線與直線，若，則（

）A．2或 B．或5 C．5 D．【答案】D【分析】根據(jù)平行直線的判斷方法求解即可.【詳解】因為，所以，故選：D3．已知數(shù)列滿足，，則（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】先由遞推公式求出數(shù)列的前6項，歸納出數(shù)列的周期為3，即可求出.【詳解】因為數(shù)列滿足，，所以，，，，……由此歸納得數(shù)列是周期數(shù)列，數(shù)列的周期為3.所以.故選：B4．已知拋物線：的焦點為，拋物線上有一動點，，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】拋物線的準線的方程為，過作于，根據(jù)拋物線的定義可知，則當三點共線時，可求得最小值，答案可得.【詳解】解：拋物線：的焦點為，準線的方程為，如圖，過作于，由拋物線的定義可知，所以則當三點共線時，最小為.所以的最小值為.故選：C.5．如圖，在三棱柱中，E、F分別是BC、的中點，為的重心，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘及加、減運算求解即可.【詳解】解：由題意可得：.故選：A.6．已知函數(shù)，數(shù)列為等比數(shù)列，，且，則（

）A． B．2017 C．4034 D．8068【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性，等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合倒序相加法計算即可.【詳解】用倒序相加法：令①則也有②由，，即有，可得：，于是由①②兩式相加得，所以．故選：C7．已知數(shù)列滿足，，且，若表示不超過的最大整數(shù)（例如，），則（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】D【分析】求出，，即得解.【詳解】解：由題設知，，，故是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，則，則，所以，故，又，當時，，當時，，所以.故選：D．8．設為坐標原點，為雙曲線的兩個焦點，為雙曲線的兩條漸近線，垂直于的延長線交于，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】數(shù)形結(jié)合，通過題意已知條件可求得點到直線的距離的值，通過勾股定理可求得，再聯(lián)立直線與解方程組可得點坐標，從而列出的表達式，由計算可得關系，從而可求離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，不妨令，因為直線垂直，則，故，又，則點到直線的距離為=，所以，，又，可知直線的方程為：，與聯(lián)立方程組可得：，則，解得，故,由,則,中，由勾股定理可得:,故；又,則，即，因為的延長線交于，此時點的縱坐標大于0，即，故，所以，所以化簡得.則，故，則.故選：B.【點睛】思路點睛：本題考查的是雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線和雙曲線的位置關系，綜合性強，主要是漸近線與離心率的綜合應用，計算量大解答時要明確解題思路，關鍵是聯(lián)立方程進行計算十分繁雜，要特別注意準確性.二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列命題中正確的是（

）A．若是空間任意四點，則有B．在空間直角坐標系中，已知點，點P關于坐標原點對稱點的坐標為C．若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面D．任意空間向量滿足【答案】ABC【分析】對于A，結(jié)合向量的線性運算，即可求解；對于B，結(jié)合空間點對稱的性質(zhì)，即可求解；對于C，結(jié)合空間向量的基本定理，即可求解；對于D，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運算法則，即可求解．【詳解】，，，是空間任意四點，則，故A正確；點,2,，點關于坐標原點對稱點的坐標為,,，故B正確；，滿足，故,,,四點共面，故C正確；表示與共線的向量，表示與共線的向量，二者不一定相等，故D錯誤．故選：ABC．10．已知數(shù)列，滿足，為的前n項和，且，則（

）0.65A． B．C．是等差數(shù)列 D．取得最大值16【答案】ABC【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列的定義和前n項求和公式以及它的函數(shù)特征，依次判斷選項即可.【詳解】對A：由題意，，，則數(shù)列為等差數(shù)列，，，即，則，則，故A正確；對B：由選項A可知，則，故B正確；對C：由選項B可知，則，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故C正確；對D：，為關于n的二次函數(shù)，是一條開口向下，對稱軸為的拋物線，，故當或時，取得最大值56，故D錯誤.故選：ABC.11．大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程.已知大衍數(shù)列滿足，，則（

）A． B．C． D．數(shù)列的前項和為【答案】BCD【分析】直接由遞推公式求出即可判斷A選項；分為奇數(shù)或偶數(shù)即可判斷B選項；分為奇數(shù)或偶數(shù)結(jié)合累加法即可判斷C選項；由分組求和法即可判斷D選項.【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，當為奇數(shù)時，為偶數(shù)，則，，可得；當為偶數(shù)時，為奇數(shù)，則，，可得，B正確；對于C，當為奇數(shù)且時，累加可得，時也符合；當為偶數(shù)且時，累加可得；則，C正確；對于D，設數(shù)列的前項和為，則，又，，D正確.故選：BCD.【點睛】本題的關鍵點在于利用題目中的遞推關系式，分為奇數(shù)或偶數(shù)兩種情況來考慮，同時借助累加法即可求出通項，再結(jié)合分組求和法以及等差數(shù)列求和公式即可求得前項和，使問題得以解決.12.如圖所示，在棱長為的正方體中，則下列命題中正確的是（）A.若點在側(cè)面所在的平面上運動，它到直線的距離與到直線的距離之比為2，則動點的軌跡是圓B.若點在側(cè)面所在的平面上運動，它到直線的距離與到面的距離之比為2，則動點的軌跡是橢圓C.若點在側(cè)面所在的平面上運動，它到直線的距離與到直線的距離相等，則動點的軌跡是拋物線D.若點是線段的中點，分別是直線上的動點，則的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】對于選項A，建立如圖所示的直角坐標系，由題得，代入坐標化簡即得解；對于選項B，代入坐標化簡即得解；對于選項C，代入坐標化簡即得解；對于選項D，對任意的點，固定點時，當時，最小，即最小，把平面翻起來，使之和平面在同一個平面，當時，最小，即得解.【詳解】對于選項A，建立如圖所示的直角坐標系，則設因為平面,所以,所以點到直線的距離就是,同理點到直線的距離就是.所以,所以，所以，它表示圓，所以該選項正確；對于選項B，過點作,垂足為,因為平面平面，則點到平面的距離就是.所以,因為，所以，所以動點的軌跡是雙曲線，所以該選項錯誤；對于選項C，點到直線的距離就是.所以，所以，所以動點的軌跡是拋物線，所以該選項正確；對于選項D，對任意的點，固定點時，過點作平面，垂足為，連接，當時，最小，此時平面,所以,由于.所以，所以.如下圖，把平面翻起來，使之和平面在同一個平面，當時，最小，此時.故該選項正確.故選：ACD填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13．若焦點在x軸上的橢圓的焦距為4，則．【答案】4【分析】根據(jù)橢圓中基本量的關系得到關于m的方程，解方程得到m的值.【詳解】因為橢圓的焦點在x軸上且焦距為4，所以，解得.故答案為：4.14．已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點，則點坐標為.【答案】【分析】兩圓方程作差得到公共弦方程，再求出定點坐標.【詳解】圓與圓的公共弦方程為，即，令，解得，所以公共弦所在直線恒過點.故答案為：15．在“全面脫貧”行動中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開設的農(nóng)產(chǎn)品土特產(chǎn)品加工廠的原材料進貨，因產(chǎn)品質(zhì)優(yōu)價廉，上市后供不應求，據(jù)測算每月獲得的利潤是該月月初投入資金的20%，每月月底需繳納房租600元和水電費400元，余款作為資金全部用于再進貨，如此繼續(xù).預計2020年小王的農(nóng)產(chǎn)品加工廠的年利潤為元.（取，）【答案】40000【分析】設一月月底小王手中有現(xiàn)款為元，月月底小王手中有現(xiàn)款為，月月底小王手中有現(xiàn)款為，根據(jù)題意可知，整理得出，所以數(shù)列是以6000為首項，1.2為公比的等比數(shù)列，求得元，減去成本得到結(jié)果.【詳解】設一月月底小王手中有現(xiàn)款為元，月月底小王手中有現(xiàn)款為，月月底小王手中有現(xiàn)款為，則，即，所以數(shù)列是以6000為首項，1.2為公比的等比數(shù)列，，即元.年利潤為元.故答案為：40000.【點睛】該題考查的是有關數(shù)列應用的問題，涉及到的知識點有等比數(shù)列的通項公式，屬于簡單題目.16．如圖，曲線y2＝x（y≥0）上的點P1與x軸的正半軸上的點Qi及原點O構(gòu)成一系列正三角形，△OP1Q1，△Q1P2Q2，…，△Qn﹣1PnQn…設正三角形Qn﹣1PnQn的邊長為an，n∈N*（記Q0為O），Qn（Sn，0）.數(shù)列{an}的通項公式an＝.【答案】.【解析】由是邊長為的正三角形，得的坐標，再將其坐標代入中，可求出的值，又由于每一個三角形都為正三角形，從而可得，再將點的坐標代入中，可得，再由求出，所以數(shù)列為等差數(shù)列，從而可求得.【詳解】由條件可得△P1OQ1為正三角形，且邊長為，∴，在曲線上，代入（）中，得，∵＞0，∴，根據(jù)題意得點，代入曲線（）并整理，得.當，時，，即.∵，∴，當＝1時，，∴或（舍）∴，故∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，∴an.故答案為：.【點睛】此題考查求解等差數(shù)列通項公式的方法，考查了數(shù)形結(jié)合思想和方程思想，屬于難題.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知等差數(shù)列中，前項和為，已知，.(1)求；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出首項與公差，再根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式即可得解；（2）利用裂項相消法求解即可.【詳解】（1）設公差為，由，，得，解得，所以，故；（2）由（1）得，所以.18．已知直線經(jīng)過點.(1)若直線到原點的距離為1，求直線的方程；(2)若直線與軸?軸的正半軸分別交于兩點，求的最小值，并求此時直線的方程.【答案】(1)或(2)4，【分析】（1）分斜率存在與不存在兩種情況討論，利用條件建立方程即可求出結(jié)果；（2）設出直線方程，令，得到，令，得到，從而得到，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為直線經(jīng)過點，當直線斜率不存在時，直線方程為，此時，直線到原點的距離為1，滿足題意，當直線斜率存在時，設直線方程為，即，因為直線到原點的距離為1，所以，解得，此時，直線為所以直線的方程為或.（2）由題意知，直線斜率存在且不為0，設直線方程為，令，得到，令，得到，由題知，，得到，，當且僅當，即時取等號，此時直線方程為.19.已知圓M經(jīng)過點F（2，0），且與直線x=-2相切.（1）求圓心M的軌跡C的方程；（2）過點（-1，0）的直線l與曲線C交于A，B兩點，若，求直線l的斜率k的取值范圍.【解析】【分析】(1)設圓心，軌跡兩點的距離公式列出方程，整理方程即可；(2)設直線l的方程和點A、B的坐標，直線方程聯(lián)立拋物線方程，消去x得出關于y的一元二次方程，結(jié)合根的判別式和韋達定理表示出弦，進而列出不等式，解之即可.【小問1詳解】設圓心，由題意知，，整理，得，即圓心M的軌跡C方程為：；【小問2詳解】由題意知，過點(-1，0)直線l與拋物線C相交于點A、B，所以直線l的斜率存在且不為0，設直線，點，則，消去x，得，或，，同理可得，所以，即，由，得，解得，綜上，或，所以或，即直線l的斜率的取值范圍為.20．如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為菱形，，底面為直角梯形，，，，．(1)證明：；(2)在上是否存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判斷定理和性質(zhì)定理，即可證明線線垂直；（2）利用垂直關系，以點為原點，建立空間直角坐標系，分別求平面和平面的法向量，根據(jù)二面角的余弦值，結(jié)合法向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：如圖，連接，因為四邊形為菱形，則，因為四邊形為梯形，，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為平面，所以平面，因為平面，所以.（2）取的中點為，連接，則因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖，以為原點，過點做的平行線為軸，所在直線為軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示：

則，，，，，所以，設，則，，設平面的法向量為，則，令，則，，所以，由題意平面的法向量，所以，解得，此時.21．已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為，不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，，，(2)【分析】（1