河北省承德市重點(diǎn)高中聯(lián)誼校2023-2024學(xué)年高二年級(jí)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

2023—2024上學(xué)期承德市重點(diǎn)高中聯(lián)誼校高二年級(jí)12月份聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、考號(hào)等填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，焦點(diǎn)坐標(biāo)在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：B．2.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量共線定理計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以存在唯一?shí)數(shù)，使得，則，解得，故選：D．3.兩平行直線和間的距離是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】將直線化為，所以兩平行直線和間的距離為：．故選：C．4.雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的離心率可求得的值，由此可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】，，，漸近線方程，漸近線方程為．故選：B．5.過點(diǎn)引圓的切線，其方程是（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】求出圓心和半徑，考慮切線的斜率不存在和存在兩種情況，結(jié)合圓心到直線距離等于半徑，得到方程，求出答案.【詳解】根據(jù)題意，圓，即，其圓心為，半徑；過點(diǎn)引圓的切線，若切線的斜率不存在，切線的方程為，符合題意；若切線的斜率存在，設(shè)其斜率為，則有，即，則有，解得，此時(shí)切線的方程為，即．綜上：切線的方程為和．故選：C．6.如圖，已知四邊形ABCD、ABEF都是正方形，若二面角為，則異面直線AC與BF所成角的正切值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，結(jié)合空間向量的運(yùn)算，可得，再由空間向量的夾角公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，即為二面角的平面角，所以，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，異面直線AC與BF所成的角為，，，，．所以，即，所以，即，，所以．故選：C．7.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．如圖，，為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，中心為原點(diǎn)，橢圓的面積為，直線上一點(diǎn)滿足是等腰三角形，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得是以為頂角的等腰三角形，列出關(guān)于的方程，再由離心率的計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.【詳解】由題可知，，即，是以為頂角的等腰三角形，則有：，，，所以，又因，即，，可得：，解得，故離心率為．故選：B．8.已知直線與拋物線C：交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，直線AB的傾斜角為，交AB于點(diǎn)，若為拋物線上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.10【答案】C【解析】【分析】設(shè)出直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程的判別式和根的系數(shù)關(guān)系、拋物線的定義逐一判斷即可.【詳解】由題意，可設(shè)直線AB的方程為：，，，，則：，消可得：，由得，則，，又，所以，解得（舍）或，所以直線AB的方程為：，過定點(diǎn)，又，故點(diǎn)在以O(shè)T為直徑的圓上，故點(diǎn)的軌跡方程為，，又點(diǎn)和點(diǎn)在直線AB上，且AB的傾斜角為，即直線AB的斜率，故，，如下圖弧所示，過P，D分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為H，I，根據(jù)拋物線的定義知：，當(dāng)點(diǎn)為ID與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，又，當(dāng)取最小值4時(shí)，此時(shí)取得最小值6，故的最小值為6．故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知直線：，則下列說法正確的有（）A.的一個(gè)方向向量為B.的截距式方程為C.若與直線互相垂直，則D.點(diǎn)到的距離為1【答案】AD【解析】【分析】由直線一般方程寫出一個(gè)方向向量及截距式判斷A、B；由垂直關(guān)系的判定列方程求參判斷C；應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求距離判斷D.【詳解】由直線方程知：的一個(gè)方向向量為，A對(duì)；由，則截距式為，B錯(cuò)；與直線互相垂直，則，可得，C錯(cuò)；點(diǎn)到的距離為，D對(duì).故選：AD10.已知曲線：，則（）A.若，則是圓 B.若，則是橢圓C.若，則是雙曲線 D.若，，則是兩條射線【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)圓、橢圓、雙曲線、射線的方程特征逐一判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，表示圓，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，表示雙曲線，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，，表示兩條直線，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：ABC．11.如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且，則（）A. B.C.平面 D.直線與AC所成角的正弦值為【答案】AC【解析】【分析】利用空間向量基本定理，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和定義、空間向量夾角公式逐一判斷即可.【詳解】以為空間一組基底，，，所以，A選項(xiàng)正確；，所以，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；依題意可知，四邊形ABCD是菱形，所以，且，由于，，平面，所以平面，C選項(xiàng)正確；設(shè)直線與AC所成角為，，，，，，所以，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用空間向量基本定理、空間向量夾角公式.12.橢圓：的右焦點(diǎn)，拋物線：，，交于點(diǎn)，過作軸垂線交于A、B，交于C、D，下列結(jié)論正確的是（）A若，則離心率B.若，則離心率C.若，則離心率D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】利用代入法，結(jié)合拋物線和橢圓的定義和它們的離心率公式逐一判斷即可.【詳解】把代入中，得，所以，把代入中，得，所以，A：，故A錯(cuò)誤；B：同理可得B正確；C：，，故C正確；D：設(shè)，亦可知點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為，，整理得，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用代入法求出弦長(zhǎng)表達(dá)式.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______．【答案】【解析】【分析】求出，，得到，求出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)楹愠闪?，故，，所以，所以，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：．14.已知空間向量，．若與垂直，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量加法的坐標(biāo)表示公式、垂直的坐標(biāo)表示公式、空間向量模的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，，．與垂直，，，解得，，，故答案為：．15.已知圓：和圓：，則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系為______．【答案】?jī)?nèi)含【解析】【分析】根據(jù)圓心距和兩圓半徑的關(guān)系即可判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)閳A：，圓：，所以圓心距，而兩圓半徑之差，故兩個(gè)圓內(nèi)含．故答案為：內(nèi)含16.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為“鱉臑”，若三棱錐為鱉臑，平面，，，則結(jié)論正確的序號(hào)是______．（填寫序號(hào)即可）①平面；②直線與平所成角的正弦值為③二面角的余弦值為④三棱錐外接球的表面積為【答案】③④【解析】【分析】該幾何體可以看成是長(zhǎng)方體中截出來的三棱錐，建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的數(shù)量積和向量的夾角公式，以及球的截面圓的性質(zhì)和球的表面積公式，即可求解.【詳解】該幾何體可以看成是長(zhǎng)方體中截出來的三棱錐，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，可得，，因?yàn)?，所以與不垂直，與平面不垂直，所以①錯(cuò)誤；設(shè)平面的法向量為，則,令，得平面的一個(gè)法向量為，又由，設(shè)與平面所成角為，所以，所以②錯(cuò)誤；設(shè)平面的法向量為，且，，則，令，得平面的一個(gè)法向量為，可得，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為，所以③正確；長(zhǎng)方體體對(duì)角線為三棱錐外接球的直徑，可得，所以，球的表面積為，所以④正確．故答案為：③④．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知點(diǎn)，，直線的方程為：．（1）求直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程；（2）求經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)直線上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，得到，代入即可求解；（2）設(shè)圓心，根據(jù)，求得，得到圓心和半徑，即可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問1詳解】解：設(shè)直線上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則，因?yàn)?，所以，整理得，即直線的方程．【小問2詳解】解：設(shè)圓心，由，則，解得，所以圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．18.已知圓在軸上截得線段長(zhǎng)為4，在軸上截得線段長(zhǎng)為．（1）求圓心的軌跡方程；（2）若點(diǎn)到直線的距離為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由弦長(zhǎng)，半徑，圓心到弦的距離之間的關(guān)系可知，，消去即可得到圓心的軌跡方程；（2）設(shè)，由點(diǎn)到直線的距離公式得，與聯(lián)立即可求出圓心與半徑，即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問1詳解】設(shè)，圓的半徑為，因?yàn)閳A在軸上截得的線段長(zhǎng)為4，點(diǎn)到軸的距離為，所以有，即,同理有,即，即故點(diǎn)的軌跡方程為．【小問2詳解】設(shè)，由已知得，所以．又點(diǎn)在雙曲線上，所以，解得：或此時(shí)圓的半徑，故圓的方程為或．19.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）當(dāng)三棱推的體積取得最大值時(shí)，求平面與平面BEF的夾角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行運(yùn)算證明即可；（2）利用空間向量夾角公式，結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】、、兩兩垂直，以為原點(diǎn)，、、為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，由于，設(shè)，則，其中，則，所以，，則，故．【小問2詳解】要使三棱錐的體積取得最大值，只要的面積最大即可，由題意知，當(dāng)時(shí)，即E，F(xiàn)分別為AB，BC中點(diǎn)時(shí)的面積最大，則，，設(shè)平面的法向量為，又，，則，令得，又正方體中平面，所以為平面一個(gè)法向量，所以，則，所以平面與平面的夾角的正弦值為．20.已知雙曲線C：經(jīng)過點(diǎn)，其中一條漸近線為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過C的右焦點(diǎn)F，且在軸上的截距為的直線，交于P，Q兩點(diǎn)，求的值．【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）根據(jù)漸近線方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)得到關(guān)于的方程組，由此求解出即可知C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)條件先求出的方程，然后聯(lián)立與雙曲線的方程得到對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的韋達(dá)定理形式，再將表示為坐標(biāo)形式即可求解出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以①，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以②，①②聯(lián)立解得，所以雙曲線的方程為．【小問2詳解】由（1）可知雙曲線中，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即直線的橫截距為2，又因?yàn)橹本€在軸上的截距為，所以直線的方程為，即，聯(lián)立得，設(shè)，則，所以．21.已知點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線截所得線段長(zhǎng)為4．（1）求的值；（2）為拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作MA，MB與相切，A，B為切點(diǎn)，則直線AB是否過定點(diǎn)？若過，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過，說明理由．【答案】（1）（2）直線恒過定點(diǎn)，理由見解析【解析】【分析】（1）求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，將代入拋物線方程，得到，故，求出答案；（2）設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立，根據(jù)求出，，同理可得，又點(diǎn)在，得到直線的方程為，求出定點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】由題意知，，將代入拋物線方程得，，故，故過且垂直于軸的直線截所得線段長(zhǎng)為，由可知；【小問2詳解】直線恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為，理由如下：設(shè)，由題意可知直線的斜率均存在，且不為0，，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，由于直線為切線．故，又，則，解得，所以直線，即，同理直線的方程為，又點(diǎn)在上，所以，從而直線的方程為：，即，故直線恒過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】圓錐曲線中探究性問題解題策略：（1）先假設(shè)存在或結(jié)論成立，然后引進(jìn)未知數(shù)，參數(shù)并建立有關(guān)未知數(shù)，參數(shù)的等量關(guān)系，若能求出相應(yīng)的量，則表示存在或結(jié)論成立，否則表示不存在或結(jié)論不成立；（2）在假設(shè)存在或結(jié)論成立的前提下，利用特殊情況作出猜想，然后加以驗(yàn)證也可.22.已知橢圓C：的右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離與左焦點(diǎn)到直線的距離相等，過橢圓的焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為3．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線過點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸不垂直，與橢圓相交于P，H兩點(diǎn)，線段PH的垂直平分線與軸交于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求直線的傾斜角的正弦值；②求證：．【答案】（1）（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程組，求得的值，即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，，且線段的中點(diǎn)為，聯(lián)立方程組，得到，求得，得到線段的垂直平分線方程，求得，①當(dāng)時(shí)，列出方程求得，進(jìn)而求得直線的傾斜角的正弦值；②利用弦長(zhǎng)公式，分別求得和的表達(dá)式，即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)闄E圓的右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離與左焦點(diǎn)到直線的距離相等，且過橢圓的焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為3，可得，解得，所以橢圓的方程為．【小問2詳解】解：因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸不垂直，所以設(shè)直線的方程為，，且線段的中點(diǎn)為，聯(lián)立方程組，整理得，則，所以，所以線段的中點(diǎn)，所以線段的垂直平分線方程為，令，可得，即，①當(dāng)時(shí)，則，解得，故傾斜