曲面積分總結(jié)

高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)多元函數(shù)積分學(xué)PAGE4多元函數(shù)積分學(xué)一、主要內(nèi)容1、重積分的概念與性質(zhì).2、二重積分的計算方法：直角坐標(biāo)、極坐標(biāo).3、三重積分的計算方法：直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo).4、重積分的應(yīng)用：幾何應(yīng)用、物理應(yīng)用.5、兩類曲線積分（對弧長的、對坐標(biāo)的）的概念與性質(zhì).6、兩類曲線積分的計算公式（化為定積分）.7、兩類曲面積分（對面積的、對坐標(biāo)的）概念與性質(zhì).8、兩類曲面積分的計算公式（化為二重積分）.9、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式及其應(yīng)用.10、場論的重要概念：通量與散度，環(huán)量與旋度.二、學(xué)習(xí)要求1、理解各種積分的概念，了解各種積分的性質(zhì)及相互之間關(guān)系，并會正確應(yīng)用于積分的計算之中。2、掌握各種積分的計算方法：對重積分會在不同的坐標(biāo)系下計算；對曲線、曲面積分與會利用各種積分之間的關(guān)系計算。3、理解多元函數(shù)積分的元素法。會用元素法寫出一些幾何量和物理量的重積分表達(dá)式。線、面積分表達(dá)式并進(jìn)行計算。4、掌握格林公式，高斯公式、斯托克斯公式（條件、結(jié)論和應(yīng)用）5、掌握曲線（面）積分與積分曲線（面）無關(guān)的條件，會將二元、三元函數(shù)的全微分求積。6、了解通量與散度、環(huán)量與旋度的概念。會求矢量場的通量、環(huán)量、散度、旋度。三、疑難解答1、問：曲線積分，曲面積分都有兩種類型，定積分、重積分是否可分類型？兩類積分的本質(zhì)區(qū)別是什么？答曲線積分或曲面積分的兩種類型，主要根據(jù)積分曲線（或曲面）是否有向、被積函數(shù)是數(shù)量函數(shù)還是向量函數(shù)來區(qū)分，但最主要的還是根據(jù)積分曲線（或曲面）是否有向來區(qū)分。由此，所有積分可以分為兩大類，即積分范圍是無向圖形的和積分范圍是有向圖形的。重積分的積分范圍是無向的，定積分的范圍是向的。所有無向積分的性質(zhì)同于a＜b時定積分，所有有向積分的性質(zhì)，同于定積分。積分范圍無向的積分的本質(zhì)特征是積分元素非負(fù)（是面積元素、長度元素、體積元素）。積分范圍向的積分的本質(zhì)特征是積分元素帶有正負(fù)號（是曲線或曲面在相應(yīng)坐標(biāo)軸，坐標(biāo)面上的投影元素）。兩類積分的本質(zhì)差異導(dǎo)致了在將重積分、第一類曲線積分化為定積分計算時，每次定積分的下限必須小于上限；而將第二類曲線積分化為定積分計算時，積分的下限是曲線起點參數(shù)，上限是終點參數(shù)；將第二類曲面積分化為二重積分計算時，根據(jù)曲面的側(cè)，二重積分前要加相應(yīng)的正負(fù)號。2、問：何種積分可以利用積分范圍和被積函數(shù)的對稱性來簡化計算，具體做法如何？答積分范圍無向的積分（即第一類積分）都可利用積分范圍和被積函數(shù)的對稱性來簡化計算。以二重積分為例說明方法如下：（1）若積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，那么當(dāng)f(x,y)關(guān)于x是奇函數(shù)()時，I=0；當(dāng)f(x,y)關(guān)于x是偶函數(shù)()時，，其中.（2）若積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，那么當(dāng)f（x，y）關(guān)于y是奇函數(shù)()時，I=0；當(dāng)f(x,y)關(guān)于y是偶函數(shù)()時，，其中.（3）若積分區(qū)域D關(guān)于原點對稱，那么當(dāng)f(x,y)關(guān)于x，y都是奇函數(shù)()時，I=0；當(dāng)f(x,y)關(guān)于x，y都是偶函數(shù)()時，則，其中.（4）若積分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對稱，則；，其中，；若再有f(x,y)關(guān)于變量對稱()時，則，其中.這一方法可直接推廣到三重積分以及對弧長的曲線積分，對面積的曲面積分。因為積分范圍有向的積分（即第二類積分）不僅與積分曲線、積分曲面和被積函數(shù)有關(guān)，還與積分范圍的方向有關(guān)，所以利用對稱性化簡積分比較復(fù)雜，直接利用時要謹(jǐn)慎。一般在將其化為定積分，二重積分、三重積分之后，再利用相應(yīng)的對稱性來簡化計算，比較保險。3、問：計算三重積分時，如何選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系？答計算三重積分，常用直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)，選擇某種坐標(biāo)系的一般原則是：（1）積分區(qū)域的邊界曲面在該坐標(biāo)系中的方程比較簡單。（當(dāng)邊界曲面為該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)面時，方程最簡單。）（2）被積函數(shù)在該坐標(biāo)系中的表達(dá)式比較簡單，而且化為三次積分后，各次積分易計算。為了選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，應(yīng)該了解一些常見的曲面在何種坐標(biāo)系中的方程比較簡單。以及常見坐標(biāo)運算式子在不同坐標(biāo)系中的表示。例如x2+y2在柱面坐標(biāo)系中為r2，在球面坐標(biāo)系中為；在柱面坐標(biāo)系中為r2+z2，在球面坐標(biāo)系中為r2。圓柱面的柱面坐標(biāo)方程為，球面坐標(biāo)方程為；圓柱面的柱面坐標(biāo)方程為，球面坐標(biāo)方程為；圓錐面的柱面坐標(biāo)方程為z=kr，球面坐標(biāo)方程為；球面的柱面坐標(biāo)方程為，球面坐標(biāo)方程為r=a；球面的球面坐標(biāo)方程為。有了這些基本認(rèn)識，就可較迅速，準(zhǔn)確地選用恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。一般地，當(dāng)Ω由圓柱面圍成（或更一般地，Ω在平面上的投影區(qū)域為圓域）且被積函數(shù)中含有這樣的式子時，可選用柱面坐標(biāo)。當(dāng)Ω由球面，圓錐面等圍成，且被積函數(shù)中含有，這樣的式子時，可考慮用球面坐標(biāo)。但具體到一個題目，還要視情況靈活處理。4：問，應(yīng)如何掌握兩類曲面積分的計算公式？答（1）第一類曲面積分的積分元素ds是曲面的面積元素，它相應(yīng)于三的不同方程有不同的表達(dá)形式，因此，將第一類曲面積分化為哪個坐標(biāo)平面內(nèi)的有界閉區(qū)域上的二重積分，要根據(jù)的方程形式而定，具體地，若，其中是在平面上的投影區(qū)域，且是上的單值函數(shù)，則；若，其中是在平面上的投影區(qū)域，且是上的單值函數(shù)，則；若，其中是在平面上的投影區(qū)域，且是上的單值函數(shù)，則；（2）第二類曲面積分的積分元素dydz，dzdx，dxdy是曲面在平面，平面，平面的投影元素，與在相應(yīng)平面內(nèi)投影區(qū)域的面積元素相差一個正負(fù)號，所以，第二類曲面積分只能化為積分元素對應(yīng)的坐標(biāo)平面內(nèi)區(qū)域D上的二重積分。具體地，其中是在平面上的投影區(qū)域，的方程是，且是上的單值函數(shù)，當(dāng)取前側(cè)時，二重積分前取正號；當(dāng)取后側(cè)時，二重積分前取負(fù)號；，其中是在平面上的投影區(qū)域，的方程是，且是上的單值函數(shù)，當(dāng)取右側(cè)時，二重積分前取正號；當(dāng)取左側(cè)時，二重積分前取負(fù)號；，其中是在平面上的投影區(qū)域，的方程是，且是上的單值函數(shù)，當(dāng)取上側(cè)時，二重積分前取正號；當(dāng)取下側(cè)時，二重積分前取負(fù)號.5問：格林公式，斯托克斯公式，高斯公式的重要性表現(xiàn)在哪些方面？答這三個公式是多元函數(shù)積分學(xué)的基本公式，都可以看作一元微積分基本公式（牛頓——萊卜尼茲公式）的推廣，在理論和應(yīng)用上都有重要作用。（1）三個公式分別建立了平面曲線積分與二重積分，空間曲線積分與曲面積分、曲面積分與三重積分之間的關(guān)系，而且每個公式都是微積分公式，和牛頓——萊卜尼茲公式一起，建立了全部微積分學(xué)之間的關(guān)系。為各種積分之間，微分與積分之間的轉(zhuǎn)化提供了條件。（2）三個公式統(tǒng)稱為場論三大公式，是刻化和研究許多物理現(xiàn)象的重要工具。（3）由格林公式可導(dǎo)出平面曲線積分與格經(jīng)無關(guān)的充要條件，從而給出了平面保守場的特征刻畫；可導(dǎo)出二元函數(shù)全微分求積的判定條件和具體方法，為解一類重要的微分方程——全微分方程提供了理論依據(jù)和具體解法。由斯托克斯公式可導(dǎo)出空間曲線積分與路經(jīng)無關(guān)的充要條件。從而給出空間無旋場的特征刻化；可導(dǎo)出三元函數(shù)全微分求積的判定條件和具體方法。由高斯公式可導(dǎo)出曲面積分與積分曲面無關(guān)的條件，從而給出空間無源場的特征刻化。6問：應(yīng)用格林公式，斯托克斯公式，高斯公式計算積分應(yīng)注意什么問題？答首先要注意公式成立的條件。一是積分曲線或積分曲面的閉性，二是積分曲線、積分曲面所圍區(qū)域的方向性；三是被積表達(dá)式中的函數(shù)在區(qū)域上處處有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。條件不具備時，不能直接應(yīng)用公式。其次，要注意用公式將曲線積分化為二重積分或曲面積分、將曲面積與化為三重積分后要容易計算。一般地，比較簡單時，用高斯公式計算曲面積分比較簡單；當(dāng)，，都比較簡單，且積分曲線是空間某一平面中的一條閉曲線時用斯托克斯公式計算空間曲線積分比較簡單。7問：計算多元函數(shù)積分有哪些特殊的簡單方法需要掌握？答（1