2023年遼寧省丹東市高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3,請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1,中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù)''合稱"六藝“禮”，主要指德育；“樂(lè)”，主要指美育；“射”和“御”，就是

體育和勞動(dòng)；“書”，指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”，指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動(dòng)，每藝安排一節(jié)，連

排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在第三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，貝！1“六藝”課程講座

不同的排課順序共有()

A.12種B.24種C.36種D.48種

2.在AAbC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為“、b、c,若acosB—bcosA=￡,則沫二()

42c2

3111

A.—B.-C.-D.—

2248

3.若犬2+3的展開式中/的系數(shù)為150,則/=()

A.20B.15C.10D.25

4.已知全集0=11,集合A={x|x<l},B={x|-l<x<2},則(Q,A)nB=()

A.{x[l<x<2}B.{x|l<x<2|C.|x|-l<x<l|D.

5.已知函數(shù)y=log“(x+c)(“，c是常數(shù)，其中。＞0且awl)的大致圖象如圖所示，下列關(guān)于c的表述正確

X

A.<7>1,C>1B.a>\90<C<1

C.OVQ<1,c>\D.0<QVl,O<C<1

6.復(fù)數(shù)z滿足+=貝！jz=()

A.1-iB.l+iC?--------1D.----1---1

2222

7.如圖，AABC內(nèi)接于圓。，AB是圓。的直徑，DC=BE,DC//BE,DCLCB,DCLCA,AB=2EB=2,則

三棱錐E-ABC體積的最大值為()

8.如圖，AABC中NA=2ZB=60°,點(diǎn)。在3c上，ZBAD=30°,將△AB。沿AO旋轉(zhuǎn)得到三棱錐B'-AOC,

分別記B'A,8'。與平面40c所成角為a,夕，則a,夕的大小關(guān)系是（）

A.a<P<2aB.2a<P<3a

C.（3<2a,2。</《31兩種情況都存在口.存在某一位置使得/>3a

9,若函數(shù)/（￡）=]2+2*-加85（%+1）+m2+3加-7有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）

—3—V37?—3+x/37?_

AA.--------B.--------C.-4D.2

22

22

10.已知丹、居是雙曲線4=l（a>0/>0）的左右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)K與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另

ab

一條漸近線于點(diǎn)若點(diǎn)加在以線段片6為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.(2,4-CO)c.(&,省)D.(1,V2)

11.已知復(fù)數(shù)2滿足z(l+i)=4-3i,其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)二在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為()

5夜

F

12.已知函數(shù)/0)=-。5由3工+。+儀。＞0,萬(wàn)€11)的值域?yàn)閇-5,3],函數(shù)g(x)=/?—cosav,則g(x)的圖象的對(duì)

稱中心為()

k7T

T(ZGZ)(kwZ)

(ZeZ)伏eZ)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知圓柱的上下底面的中心分別為。,。2,過(guò)直線GO?的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形，則該

圓柱的體積為一

的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

15.設(shè)平面向量￡與坂的夾角為凡且歸+囚=1,口一@=百，則e的取值范圍為.

16.已知函數(shù)/(x)=e'+QC-l,若婚J(x)0恒成立，則。的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)如圖，四棱錐中，PAL底面ABC。，ABA.AD,點(diǎn)E在線段上，且CE〃AB.

(1)求證：CEL平面24￡＞；

(2)若PA=AB=1,AD=3,CD=42.NQM=45°,求二面角P—底一8的正弦值.

In_r-U/7X

18.(12分)已知函數(shù)f(x)=---,aeR

e

(D若函數(shù)y=/(x)在％=%0(m2＜$＜1113)處取得極值1,證明：2-±＜。＜3—?。?/p>

(2)若/(x),,x一1■恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

e

22

19.(12分)已知橢圓：C:=+]=l(a>b>0)的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為2厲，原點(diǎn)到直線土+?=1的

abab

距離為我.

4

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知定點(diǎn)P(0,2),是否存在過(guò)P的直線/,使/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且以IA例為直徑的圓過(guò)橢圓C的左

頂點(diǎn)？若存在，求出/的方程：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.(12分)為了響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，促進(jìn)垃圾分類，某校組織了高三年級(jí)學(xué)生參與了“垃圾分類，從我做起”的知識(shí)問(wèn)卷

作答隨機(jī)抽出男女各20名同學(xué)的問(wèn)卷進(jìn)行打分，作出如圖所示的莖葉圖，成績(jī)大于70分的為“合格”.

(H)從上述樣本中，成績(jī)?cè)?0分以下(不含60分)的男女學(xué)生問(wèn)卷中任意選2個(gè)，記來(lái)自男生的個(gè)數(shù)為X,求X

的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附:

p(j)0.1000.0500.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

-be)?

K2=n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

JT

21.(12分)如圖，在AABC中，AC=2,NA=—,點(diǎn)。在線段43上.

3

c

(1)若COS/CO6=1L,求CO的長(zhǎng);

3

(2)若AD=2DB,sinZACD=77sinZBCD,求MBC的面積.

Inx

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=xe',g(x)=——

x

(1)求函數(shù)f(x)的極值;

(2)當(dāng)x>0時(shí)，求證：/(x)>g(x).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

根據(jù)“數(shù)”排在第三節(jié)，貝臚射”和“御”兩門課程相鄰有3類排法，再考慮兩者的順序，有A；=2種，剩余的3門全排列,

即可求解.

【詳解】

由題意，“數(shù)”排在第三節(jié)，貝！J“射”和“御”兩門課程相鄰時(shí)，可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6

節(jié)，有3種，再考慮兩者的順序，有&=2種，

剩余的3門全排列，安排在剩下的3個(gè)位置，有A；=6種，

所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有3x2x6=36種不同的排法.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了排列、組合的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，根據(jù)題設(shè)條件，先排列有限制條件的元素是解答的關(guān)鍵，

著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結(jié)果.

【詳解】

a2+c2-b2.b2+c2-a2c

由余弦定理得:a-----------b-----9-----

2ac2bc4

整理可得：a2-b2=—,.-.^-^1=1.

42c28

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理邊角互化的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.C

【解析】

通過(guò)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)分析得到=i5（）f,即得解.

【詳解】

=5（打［3=嶗（4）二

由已知得1旬

故當(dāng)廠=2時(shí),12-3r=6,

于是有=150%6,

則/=10.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)和系數(shù)問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

4.B

【解析】

直接利用集合的基本運(yùn)算求解即可.

【詳解】

解：全集U=R,集合A={x|x<l},B={x|-l<x<2）,

則(dA)nB={x|湄}n{x|-l掇2}={x|1A?2},

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

從題設(shè)中提供的圖像可以看出0<a<1,log“C>0,log.(l+c)>0,

故得0<c<l,()<a<l,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征，本題屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】

利用復(fù)數(shù)模與除法運(yùn)算即可得到結(jié)果.

【詳解】

解.z=H*=3(1)血―罵

'l+i1+i(l+z)(l-z)222

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

根據(jù)已知證明BE1平面ABC,只要設(shè)AC=a則=m(0<x<2),從而可得體積

-=gjx2(4_%2),利用基本不等式可得最大值.

【詳解】

因?yàn)镈C=BE,DCUBE,所以四邊形0cBe為平行四邊形.又因?yàn)镈C±CB,DC±CA,CBnC4=C,CBu平面

ABC,C4u平面ABC,

所以。C_L平面ABC,所以BE1平面ABC.在直角三角形45E中，AB=2EB=2,

設(shè)AC=x,則3。=，4-/（0＜、＜2）,

所以5入死=：4080=：工14一d,所

以%=；Jx2（4_\）.又因?yàn)椋?（4_爐）《〔r+4一r],當(dāng)且僅當(dāng)

66I2，

\（丫242丫

X2（4-X2）＜,即x=0時(shí)等號(hào)成立，

所以(4-ABC)

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設(shè)出底面三角形一邊長(zhǎng)為X,

用建立體積V與邊長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系，由基本不等式得最值，或由函數(shù)的性質(zhì)得最值.

8.A

【解析】

根據(jù)題意作出垂線段，表示出所要求得。、口角，分別表示出其正弦值進(jìn)行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得

答案.

【詳解】

由題可得過(guò)點(diǎn)B作BE_LAD交AD于點(diǎn)E,過(guò)夕作CD的垂線，垂足為0,則易得a=N￡AO,0=ZB'DO.

設(shè)8=1,則有BD=AD=2,DE=1,BE=#)

二可得AB，=AB=26，BD=BD=2.

;sina=空,sin外三

AB'DB'

/.sin=V3sina>sina,:.B>a：

VOB'e[0,yf3]，,since[0,g]

1?"sin2a=2sinacosa=2sina\1-sin1a，

271-sin2ae2],sin2a..途sina=sin/?,

綜上可得，a</3?2a.

故選：A-

【點(diǎn)睛】

本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水

平.

9.D

【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=—l對(duì)稱，由題意得出/(-1)=0,進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)加的值，并對(duì)心的值進(jìn)

行檢驗(yàn)，即可得出結(jié)果.

【詳解】

/(%)=(%+1)—-mcos(x+l)+/??2+3m—8,

貝!J/(—1+x)=(-1+%+1)'—mcos(—l+x+l)+m2+3m—8--x2—mcosx+m2+3m—8,

/(—1—%)=(—1—%+l)'—mcos(—1—x+l)+m2+3m—S=x2—mcosx+m2+3m—8,

.?./(-l+x)=/(-l-x),所以，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=-l對(duì)稱.

若函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)不為x=-l,則該函數(shù)的零點(diǎn)必成對(duì)出現(xiàn)，不合題意.

所以，/(-1)=0,即加+2加—8=0,解得加=~4或2.

①當(dāng)機(jī)=-4時(shí)，令/(x)=(x+l)——4cos(x+l)-4=0,得4cos(x+l)=4—(x+l『，作出函數(shù)y=4cos(x+l)與

函數(shù)y=4—(x+l『的圖象如下圖所示：

此時(shí)，函數(shù)y=4cos(x+l)與函數(shù)y=4—(x+l)2的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意；

②當(dāng)加=2時(shí)，???cos(x+l)Wl,.?./(X)=(X+1)2—2COS(X+1)+220,當(dāng)且僅當(dāng)x=—l時(shí)，等號(hào)成立，則函數(shù)

y=/(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，m=2.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，考查函數(shù)圖象對(duì)稱性的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出/(-1)=0,在求出參數(shù)

后要對(duì)參數(shù)的值進(jìn)行檢驗(yàn)，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.

10.A

【解析】

22

雙曲線「-4=1的漸近線方程為y=±—x,

a2b2a

不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)F,與雙曲線的一條漸過(guò)線平行的直線方程為y=-(x-c),

a

與y=-2x聯(lián)立，可得交點(diǎn)-與)，

a22a

???點(diǎn)M在以線段FIFI為直徑的圓外，

c2b2c2

.,.|OM|>|OFi|,即有一+—>c',

446rr

./力

??—―;即b'>3a',

a

Ac1-ai>3al即c>la.

則e=—>1.

a

雙曲線離心率的取值范圍是(1,收).

故選：A.

點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程或不等式，再根據(jù)a,b,

c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式，建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的

坐標(biāo)的范圍等.

11.B

【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)z,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為|z|,利用模長(zhǎng)公式即得解.

【詳解】

由題意知復(fù)數(shù)2在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為IZI，

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，模長(zhǎng)公式和幾何意義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

由值域?yàn)?-5,3］確定。涉的值，得g(x)=-5-cos4x,利用對(duì)稱中心列方程求解即可

【詳解】

因?yàn)?(幻€［仇2。+切，又依題意知/(幻的值域?yàn)椋?5,3］,所以2。+〃=3得a=4,b=-5,

rrKTT7T

所以g(x)=-5-cos4x,令4x=k%+—(ZwZ),得％=—+—(%wZ),則g(x)的圖象的對(duì)稱中心為

248

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)，考查函數(shù)的對(duì)稱中心，重點(diǎn)考查值域的求解，易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)稱中心縱坐標(biāo)錯(cuò)寫為0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.54萬(wàn)

【解析】

由軸截面是正方形，易求底面半徑和高，則圓柱的體積易求.

【詳解】

解：因?yàn)檩S截面是正方形，且面積是36,

所以圓柱的底面直徑和高都是6

V=乃=TTX32x6=547r

故答案為：54〃

【點(diǎn)睛】

考查圓柱的軸截面和其體積的求法，是基礎(chǔ)題.

14.135

【解析】

寫出展開式的通項(xiàng)公式，考慮當(dāng)x的指數(shù)為零時(shí)，對(duì)應(yīng)的值即為常數(shù)項(xiàng).

【詳解】

卜—日）的展開式通項(xiàng)公式為：丁3=c;.（/廠卜日）=C；?卜@’.內(nèi)，

令r=4,所以C：?（-6/=135,所以常數(shù)項(xiàng)為135.

故答案為：135.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)系數(shù)的求解，難度較易.解答問(wèn)題的關(guān)鍵是，能通過(guò)展開式通項(xiàng)公式分析常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)，?的

取值.

【解析】

根據(jù)已知條件計(jì)算出同？+時(shí)=2,結(jié)合忖+同=1得出利用基本不等式可得出同?間的取值范圍，利用

平面向量的數(shù)量積公式可求得cos。的取值范圍，進(jìn)而可得出。的取值范圍.

【詳解】

...,+同=1,忖一同=g,同2+,『=g(忖+5.+卜一司2)=2,

由忖+同=1得/+2￡%+萬(wàn)2=］,./%=—g,

由基本不等式可得2=忸『+問(wèn)222同.問(wèn)，...0<同.同<1,

v-l<cos0<l,?coso--2__i_J_,

?曾|柳州帆L2」

24

Q0<3</r,因此，。的取值范圍為彳,萬(wàn).

2萬(wàn)

故答案為：號(hào)，萬(wàn).

【點(diǎn)睛】

本題考查利用向量的模求解平面向量夾角的取值范圍，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

16.f—l,+oo)

【解析】

求導(dǎo)得到/'(x)="+a,討論a+L.O和a+l<0兩種情況，計(jì)算a+l<0時(shí)，函數(shù)/(x)在［0,%)上單調(diào)遞減，故

/(x)?/(0)=0,不符合，排除，得到答案。

【詳解】

因?yàn)?(x)=e*+6一1,所以/'(?ne'+a,因?yàn)閤..O,所以/'(x)..a+l.

當(dāng)”+1..0,即時(shí)，/(x)..O,則f(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，從而/(x)../(0)=(),故符合題意；

當(dāng)。+1<0,即〃<一1時(shí)，因?yàn)槭?x)=e'+a在0+8)上單調(diào)遞增，且八0)="+1<0,所以存在唯一的

x°G(0,+00),使得r(x0)=O.

令/'(x)<0,得0,,x<x°,則f(x)在［0,不)上單調(diào)遞減，從而/(x),"(0)=0,故“<-1不符合題意.綜上，。的取

值范圍是［-1,+8).

故答案為：［-1,+8).

【點(diǎn)睛】

本題考查了不等式恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)證明見解析(2)4

【解析】

(1)要證明CE，平面只需證明CELP4,CE1AD,即可求得答案；

(2)先根據(jù)已知證明四邊形ABCE為矩形，以A為原點(diǎn)，43為x軸，AZ)為)'軸，”為z軸，建立坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

求得平面PEC的法向量為〃，平面BEC的法向量而，設(shè)二面角P-CE—3的平面角為。，COS6=|COS&ZA〉］,

即可求得答案.

【詳解】

(1):PAL平面ABC。，CEu平面ABCD,

PALCE.

vAB±AD,CE//AB,

???CE1AD.

又：PAr>AD=A,

C￡_L平面PAD.

(2)由(1)可知CELAO.

在?△ECD中，DE=CDcos45°=b

CE=C￡)-sin45O=l.

???AE=AD-ED=2.

又.?A6=CE=1,AB/ICE,

，四邊形ABCE為矩形.

以A為原點(diǎn)，4?為x軸，AO為,軸，AP為二軸，建立坐標(biāo)系A(chǔ)一肛z,

如圖：

則：A(0,0,0),C(l,2,0),E(0,2,0),P(0,0,l),

.PC=(1,2,-1),PE=(0,2,-l)

設(shè)平面PEC的法向量為A=(x,y,z),

n-PC=o

<

n-PE-0

x+2y-z=0

即,,

2y-z=0

令y=l,則z=2,x=0

.,.I=(0,L2)

由題24,平面ABC。，即平面BEC的法向量為Q=(0,0,1)

由二面角P-CE—B的平面角為銳角，

設(shè)二面角P-CE-B的平面角為9

------.92亞

即cos0=|cos〈〃,AP)|=什可

sin0-A/1-COS26-亨

,二面角P—C￡—8的正弦值為：誓

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求證線面垂直和向量法求二面角，解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判斷定理和向量法求二面角的方法，考查

了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

18.(1)證明見詳解；(2)(F,1]

【解析】

(1)求出函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x),由/(為在X=x0處取得極值1,可得/'(%)=0且=1.解出

?11

a=e0-一，構(gòu)造函數(shù)?幻=產(chǎn)-一(x>0),分析其單調(diào)性，結(jié)合In2</<In3,即可得到〃的范圍，命題得證;

xox

(2)由/(x),,x-4分離參數(shù)，得到叱-,恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=e?'-叱—'，求導(dǎo)函數(shù)

exxxx

g'(x)=r-，？nx,再構(gòu)造函數(shù)力⑴=xV+lnx,進(jìn)行二次求導(dǎo)/(x)=(/+2x)e*+L由x〉0知//(%)>0,

XX

則〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知/?(%)有唯一零點(diǎn)七，且：<%<1.由此判斷出xe(0,百)時(shí),

g。)單調(diào)遞減，%￡(%,+cC)時(shí)，g(X)單調(diào)遞增，則雙工焉=g(%)，即％一，■一，■.由/l(玉)=0得

Inx,1

—L,再次構(gòu)造函數(shù)A(x)=xe'(x>0),求導(dǎo)分析單調(diào)性，從而得百=-111%，即e最終求得

x\

g(x)=l，則④L

【詳解】

+a(inX+aX)

解：(1)由題知，f'(xyS~

ex

???函數(shù)y=/(x)在％=/，處取得極值1，

(日

:+a-ln/+")xIn%十%

.??/U)=-——7----------=0,且〃。卜=1,

—+6z=lnx0+ar0=^

%

令r(x)=ex--(x>0),則r(x)=ev+與>0

xx

「?"X)為增函數(shù),

,/0<In2<x0<In3

r(ln2)<a<r(ln3),即2———<a<3——成立.

In2In3

(2)不等式恒成立，

即不等式加"—Inx-orN1恒成立，即以，ex------,恒成立,

XX

2x

人/、Inx1…，Y1-lnx1xe+Inx

令g(x)=e-----------，則g(尤)="_+—

XXx2X2X2

2xx1

令h(x)=xe+lnx,貝！J"(x)=(公+2xje+一，

x

vx>0,?.?/(x)>0,

在((),+<◎上單調(diào)遞增，且〃(l)=e>0,=

h(x)有唯一零點(diǎn)%,且;<%<1,

當(dāng)xe(O，w)時(shí)，/?(%)<0,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(xp+oo)時(shí)，/?(%)>0,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

???8(%)山1=8(玉),

由〃(飛)=0整理得無(wú)。"=一嶼

x\

?/<1,-In>0

令Mx)=xe”(x>0),則方程玉e"=一4等價(jià)于Z(xJ=M-lnxJ

x\

而k'(x)=(x+l)ev在((),+8)上恒大于零，

??M(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，

?.?左(玉)=后(一In^).

玉=-111%,

??.exXx=—1

%

r.g(止d_嶼/」_5」=1,

玉玉X]王X]

4,1

二實(shí)數(shù)”的取值范圍為(-8』].

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的極值，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，證明不等式，解決不等式恒成立問(wèn)題.

其中多次構(gòu)造函數(shù)，是解題的關(guān)鍵，屬于綜合性很強(qiáng)的難題.

19.(1)—+^-=1；(2)存在，且方程為y=2?x+2或y=^x+2.

5355

【解析】

（1）依題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求得a,b,進(jìn)而可得到橢圓方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓得到

（3+5公產(chǎn)+20依+5=0,要使以為直徑的圓過(guò)橢圓C的左頂點(diǎn)。卜石,0）,則方.詼,結(jié)合韋達(dá)定理

可得到參數(shù)值.

【詳解】

（1）直線2+上=1的一般方程為法+紗—"=0.

ab

lab=2715

ab底“，a=5/5v~

依題意〈EF'解得「，故橢圓C的方程式為上+上=1.

b->J353

cr2=bi~2+c)

（2）假若存在這樣的直線/,

當(dāng)斜率不存在時(shí)，以|AB|為直徑的圓顯然不經(jīng)過(guò)橢圓C的左頂點(diǎn),

所以可設(shè)直線/的斜率為攵，則直線/的方程為丁=依+2.

由*得(3+5公)*2+20"+5=0.

3X2+5/=15V>、

由AndOO公—20(3+5公)>0,得ke,+8.

/

記A,8的坐標(biāo)分別為（々，必），

20人5

則%+*2=一，xx

3+5小i23+5/

而,%=（依+2）（3+2）+2后（西+馬）+4.

要使以|明為直徑的圓過(guò)橢圓C的左頂點(diǎn)￡>（-75,0）,則囪.麗=0,

即X%+（玉+6）［2+6）=（%2+1）為*2+R女+6）（玉+x2）+9=0,

所以儼+1）春一他+6）就+9=0，

整理解得女=2叵或左=0叵，

55

所以存在過(guò)P的直線/,使/與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且以|A四為直徑的圓過(guò)橢圓c的左頂點(diǎn)，直線/的方程為

2加.沖875c

y=---^+2或y=-----x+2.

55

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次

的，故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解

決圓錐曲線問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式

的作用.

4

20.(I)填表見解析，有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問(wèn)卷結(jié)果”有關(guān)；(II)分布列見解析，y

【解析】

(I)根據(jù)莖葉圖填寫列聯(lián)表，計(jì)算代=答=3.956>3.841得到答案.

1Q9

(n)X=o,l,2,計(jì)算P(X=O)=石，P(X=1)=],P(X=2)=y,得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.

【詳解】

(I)根據(jù)莖葉圖可得：

男女總計(jì)

合格101626

不合格10414

總計(jì)202040

故有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問(wèn)卷結(jié)果””有關(guān).

(H)從莖葉圖可知，成績(jī)?cè)?0分以下(不含60分)的男女學(xué)生人數(shù)分別是4人和2人，從中任意選2人，基本事

件總數(shù)為C；=15,X=0,1,2

p(YA1pzynC；C；8C462

1515151515155

X012

182

P

1515

0xl+lx8+2x6_4

E(X)

153

【點(diǎn)睛】

本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

21.(1)CD=—(2)更

42

【解析】

(1)先根據(jù)平方關(guān)系求出sinNC7M,再根據(jù)正弦定理即可求出C。；

(2)分別在AADC和中，根據(jù)正弦定理列出兩個(gè)等式，兩式相除，利用題目條件即可求出C8,再根據(jù)余弦

定理求出AB，即可根據(jù)S=,