北師大版八年級數學下冊幾何綜合練習試題一

八下幾何綜合練習一

1.將兩個等腰直角三角形ABC和OPE如圖1擺放，點尸是邊AC的中點，點B在。尸上，

已知NA8C=NOPE=90°,BA=BC,PD=PE,連接5E、CD.

(1)線段8E、B之間存在什么關系？請給出證明；

(2)將繞點P逆時旋轉45°,得到△尸。1后，如圖2所示，連接5E1、CDX.此時線5所、之

間存在什么關系？請給出證明；

(3)如圖1,若4B=AE=4,連接AO,將繞點P逆時針旋轉180°,請直接寫出旋轉過程中4加

的最大值和最小值.

2.把一副三角板如圖甲放置，其中N4C3=NOEC=90°,NA=45°,NZ)=30°,斜邊A3=6c?i,DC

=7cm,把△OEC繞點C順時針旋轉15°得到△。山道(如圖乙)，這時A8與C5相交于點0,與

DiEi相交于點F.

(1)求NOFEi的度數.

(2)求線段A5的長.

(3)若把△OiEiC繞點C順時針旋轉30°得到△“2E2C,這時點5在△SE2c的內部，外部，還是邊

上？證明你的判斷.

(甲)(乙)

3.(1)如圖1,O是等邊△ABC內一點，連接。4、OB、0C,且。4=3,03=4,0C=5,將△84。繞

點〃順時針旋轉后得到△8CZ),連接OD求：

①旋轉角是度；

②線段OD的長為；

③求NBOC的度數.

(2)如圖2所示，。是等腰直角△A8C(NA8C=90°)內一點，連接04、OB、0C,ZA0B=135",

OA=1,05=2,求0C的長.

小明同學借用了圖1的方法，將△A40繞點8順時針旋轉后得到△5CQ,請你繼續(xù)用小明的思路解答,

或是選擇自己的方法求解.

4.如圖1,ZkABC是邊長為4c,"的等邊三角形，邊A8在射線。例上，且O4=6c/?,點。從。點出發(fā)，沿

0M的方向以Icrn/s的速度運動，當D不與點4重合時，將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到△

BCE,連結OE.

(1)求證：△CZJE是等邊三角形；

(2)如圖2,當6VIV10時，△5QE的周長是否存在最小值？若存在，求出△8DE的最小周長；若不

存在，請說明理由；

(3)如圖3,當點O在射線OM上運動時，是否存在以。、E、5為頂點的三角形是直角三角形？若存

5.在△A8C中,A3=AC,點D是直線BC上一點(不與8、C重合)，以AD為一邊在AO的右側作△AOE,

使AO=AE,ZDAE=ZBAC,連接CE.

(1)如圖①，若△ABC是等邊三角形，且A8=AC=2,點。在線段上.

①求證：N8CE+NR4c=180°；

②當四邊形AQCE的周長取最小值時，求80的長.

(2)若NA4CW60。，當點。在射線8c上移動，如圖②，則N5CE和N8AC之間有怎樣的數量關系？

并說明理由.

6.如圖1,已知NZMC=90°,ZiABC是等邊三角形，點尸為射線4。上任意一點(點產與點A不重合),

連結CP,將線段CP繞點C順時針旋轉60°得到線段C。，連結。B并延長交直線4。于點E.

(1)如圖1,猜想NQEP=°；

(2)如圖2,3,若當NZMC是銳角或鈍角時，其它條件不變，猜想NQEP的度數，選取一種情況加以

證明；

(3)如圖3,若NZMC=135°,ZACP=15°,且AC=4,求8。的長.

7.數學學習小組“文化年”最近正在進行幾何圖形組合問題的研究，認真研讀以下三個片段，并回答問題.

【片斷一】小文說：將一塊足夠大的等腰直角三角板置于一個正方形中，直角頂點與對角線交點重合，

在轉動三角板的過程中我發(fā)現某些線段之間存在確定的數量關系.

如圖（1）,若三角板兩條直角邊的外沿分別交正方形的邊AB,8c于點M,N,則①0M+0N=MB+N3；

（2）AM+CN=y[2OD.

請你判斷他的猜想是否正確？若正確請說明理由；若不正確請說明你認為正確的猜想并證明.

【片斷】小化說：將角板中個45°角的頂點和正方形的一個頂點重合放置，使得這個角的兩條邊與正方

形的一組鄰邊有交點.

如圖（2）,若以4為頂點的45°角的兩邊分別交正方形的邊8C、C￡＞于點N.交對角線8。于點E、

F,我發(fā)現：BE1+DE1=2AE1,只要準確旋轉圖（2）中的一個三角形就能證明這個結論.

請你在圖2中畫出圖形并寫出小化所說的具體的旋轉方式：.

【片斷三】小年說：將三角板的一個45°角放置在正方形的外部，同時角的兩邊恰好經過正方形兩個相

鄰的頂點.

如圖（3）,設頂點為E的45°角位于正方形的邊上方，這個角的兩邊分別經過點8、C,連接EA,

ED,那么線段￡8,EC,也存在確定的數量關系：（EB+ED）2=2EC2,請你證明這個結論.

8.如圖1,在中，AB=AC,￡＞、E是斜邊3c上兩動點，且NZ)AE=45°,將△48E繞點A逆時

針旋轉90后，得到△Af'C,連接OF.

(1)試說明：△AEOg△Afi)；

(2)當3E=3,CE=9時，求NBCF的度數和OE的長；

(3)如圖2,△ABC和△AOE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,O是斜邊8c所在直線

上一點，BD=3,BC=8,求OE2的長.

9.如圖，在平面直角坐標系中，0是坐標原點，正方形OA8c的頂點A、C分別在x軸與y軸上，已知正方

形邊長為3,點。為x軸上一點，其坐標為(1,0),連接點P從點C出發(fā)以每秒1個單位的速度

沿折線C-5fA的方向向終點A運動，當點尸與點A重合時停止運動，運動時間為f秒.

(1)連接。尸，當點尸在線段BC上運動，且滿足△CPOgZkOOC時，求直線0尸的表達式；

(2)連接PC、PD,求△CPD的面積S關于t的函數表達式；

(3)點P在運動過程中，是否存在某個位置使得為等腰三角形，若存在，直接寫出點尸的坐標，

若不存在，說明理由.

10.如圖①，四邊形ABC。和四邊形CE/G都是正方形，且BC=2,CE=2^正方形A8CD固定，將正

方形CEFG繞點C順時針旋轉a角(0°<a<360°).

AD

圖①圖②圖③

(1)如圖②，連接BG、DE,相交于點"，請判斷8G和OE是否相等？并說明理由；

(2)如圖②，連接AC,在旋轉過程中，當AACG為直角三角形時，請直接寫出旋轉角a的度數；

(3)如圖③，點P為邊EF的中點，連接尸8、PD.BD,在正方形CEfG的旋轉過程中，尸的面

積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由.

11.如圖①，在平面直角坐標系中，直線，i：產-L+6分別與x軸、y軸交于點8、C,且與直線勿y忖

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X交于點A,以線段4c為邊在直線/1的下方作正方形ACOE,此時點。恰好落在X軸上.

(1)求出A,B,C三點的坐標.

(2)求直線CD的函數表達式.

圖①備用圖

12.如圖，點尸是正方形A5CO內的一點，連接CP,將線段CP繞點C順時針旋轉90°,得到線段CQ,

連接5P,DQ

(1)如圖求證：△BCP之△OCQ；

(2)如圖，延長8尸交直線。。于點E.

①如圖力，求證：BELDQ；

②如圖c,若ABCP為等邊角形，判斷△DEP的形狀，并說明理由，

(3)填空：若正方形A8CO的邊長為10,DE=2,PB=PC,則線段尸8的長為_______.

13.如圖1,在平面直角坐標系中.直線y=-yX+3與x軸、y軸相交于4、B兩點，動點C在線段OA上，

將線段繞著點C順時針旋轉90°得到CZ),此時點O恰好落在直線48上時，過點。作OE_Lx軸

于點E.

(1)求證：XBOCmXCED；

(2)如圖2,將△5C。沿x軸正方向平移得4夕C'D',當直線夕C'經過點。時，求點。的坐

標及△3C。平移的距離；

(3)*若點尸在y軸上，點。在直線A3上.是否存在以C、。、P、。為頂點的四邊形是平行四邊形？

若存在，直接寫出所有滿足條件的。點坐；若不存在，請說明理由.

14.(1)如圖1,正方形ABQ9中，NPCG=45°,且尸。=BG,求證：FP=FCi

(2)如圖2,正方形ABCD中，ZPCG=45°,延長PG交C3的延長線于點尸，(1)中的結論還成立

嗎？請說明理由;

(3)在(2)的條件下，作尸EJ_PC,垂足為點E,交CG于點N,連結ON,求NN0C的度數.

15.如圖，在平面直角坐標系中，直線A8分別交x、y軸于點4、B,直線8c分別交x、y軸于點C、B,

點A的坐標為(2,0),NA〃O=30°,ABLBC.

(1)求直線和A3的解析式；

(2)將點B沿某條直線折疊到點O,折痕分別交8C、3A于點E、D,在x軸上是否存在點F,使得點

。、E、產為頂點的三角形是以OE為斜邊的直角三角形？若存在，請求出尸點坐標；若不存在，請說明

理由；

(3)在平面直角坐標系內是否存在兩個點，使得這兩個點與8、C兩點構成的四邊形是正方形？若存在，

請直接寫出這兩點的坐標；若不存在，請說明理由.

16.【觀察發(fā)現】（1）如圖1,四邊形A3Q9和四邊形AEFG都是正方形，且點E在邊A3上，連接OE和

BG,猜想線段OE與8G的數量關系和位置關系.（只要求寫出結論，不必說出理由）

【深入探究】（2）如圖2,將圖1中正方形AEFG繞點A逆時針旋轉一定的角度，其他條件與觀察發(fā)現

中的條件相同，觀察發(fā)現中的結論是否還成立？請根據圖2加以說明.

【拓展應用】（3）如圖3,直線/上有兩個動點4、B,直線/外有一點動點Q,連接Q4,QB,以線段

AB為邊在I的另一側作正方形ABCD,連接QD.隨著動點4、B的移動，線段QD的長也會發(fā)生變化，

若。4,Q8長分別為為方，6保持不變，在變化過程中，線段。。的長是否存在最大值？若存在，求出

這個最大值；若不存在，請說明理由.

17.問題的提出：如果點尸是銳角△A5C內一動點，如何確定一個位置，使點尸到△A3C的三頂點的距離

之和PA+PB+PC的值為最小？

(1)問題的轉化:把△APC繞點A逆時針旋轉60°得到△?'C',連接尸尸'，這樣就把確定R1+P3+PC

的最小值的問題轉化成確定5P+PP'+P'C的最小值的問題了，請你利用圖1證明：R1+P3+PC=8P+PP'

+P'C；

(2)問題的解決：當點尸到銳角△ABC的三頂點的距離之和R1+P8+PC的值為最小時，求NAP5和

ZAPC的度數；

(3)問題的延伸：如圖2是有一個銳角為30°的直角三角形，如果斜邊為2,點P是這個三角形內一

動點，請你利用以上方法，求點尸到這個三角形各頂點的距離之和的最小值.

18.如圖1,OA=2,0B=4,以A點為頂點、A8為腰在第三象限作等腰RtZXABC.

(1)求C點的坐標；

(2)如圖1,在平面內是否存在一點兒使得以A、C、B、”為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，

請直接寫出“點坐標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖1點-1)是第四象限內的一點，在y軸上是否存在一點歹，使得|尸"-尸。|的值最大?

若存在，請求出廠點坐標；若不存在，請說明理由

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