南昌大學(xué)理學(xué)院《814高等代數(shù)》歷年考研真題匯編

目錄

第1部分南昌大學(xué)高等代數(shù)考研真題

2010年南昌大學(xué)高等代數(shù)考研真題

2009年南昌大學(xué)高等代數(shù)考研真題

2008年南昌大學(xué)高等代數(shù)考研真題

第2部分兄弟院校高等代數(shù)考研真題

2014年北京科技大學(xué)825高等代數(shù)考

研真題

2014年蘇州大學(xué)831高等代數(shù)A卷考

研真題

2013年華東師范大學(xué)817高等代數(shù)考

研真題

2013年華中師范大學(xué)834高等代數(shù)考

研真題

2012年西南大學(xué)819高等代數(shù)考研真

題

第1部分南昌大學(xué)高等代數(shù)考研真題

2010年南昌大學(xué)高等代數(shù)考研真題

南昌大學(xué)2010年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題

1．（20分）計(jì)算n（n>1）級(jí)行列式

2．（25分）設(shè)是復(fù)數(shù)域上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)不為零的單元多項(xiàng)式，n為一

個(gè)正整數(shù)，證明：沒(méi)有重根，當(dāng)且僅當(dāng)沒(méi)有重根。

3．（26分）設(shè)n級(jí)矩陣A滿(mǎn)足=0，其中k是一個(gè)正整數(shù)，證明：n級(jí)矩

陣E+A的行列式為1，這里E為n級(jí)單位矩陣。

4．（26分）設(shè)V是數(shù)域P上一個(gè)n為向量空間，A是V的一個(gè)線(xiàn)性變換，

且，現(xiàn)考慮V如下子集：W=

。

證明：（1）W是V的一個(gè)A-不變子空間

（2）對(duì)于V的任意一個(gè)包括的A-不變子空間U,WU。

5．（27分）設(shè)V是一個(gè)歐式空間，是V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量

組，證明：對(duì)于V的任意一個(gè)向量如下不等式成立：

，

這里（u,v）表示V中向量u和v的內(nèi)積。

6．（28分）設(shè)A是一個(gè)n級(jí)是對(duì)稱(chēng)矩陣，是A的順序主子式，

都是實(shí)數(shù)，使得證明：A合同如下列矩陣：

2009年南昌大學(xué)高等代數(shù)考研真題

南昌大學(xué)2009年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題

1．（20分）計(jì)算n級(jí)行列式：

2．（25分）設(shè)，和都是數(shù)域P上一元多項(xiàng)式，且的次數(shù)

大于零，證明：和互素，當(dāng)且僅當(dāng)和互素。

3．（24分）設(shè)n級(jí)矩陣A滿(mǎn)足,其中K為一個(gè)正整數(shù)，證明：

。

4．（26分）設(shè)V是數(shù)域P上一個(gè)向量空間，是V中一組向量，

其中n>1,

是數(shù)域P上n維行向量空間，且W是的

如下子集：

W=｛（）｝

證明：（1）W是的一個(gè)子空間。

（2）若是向量組的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組

這里。則子空間W有如下一組基：

（），…，(

5．（27分）設(shè)E是一個(gè)人n維歐氏空間，A是E的一個(gè)線(xiàn)性變換，證明：

A是E的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于E的任意一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，A在該

基下的矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣。

6．（28分）設(shè)A和B都是n級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且A=BC，其中C是一個(gè)n級(jí)

實(shí)矩陣，而為矩陣C的轉(zhuǎn)置。證明：A的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)都

不超過(guò)矩陣B。

2008年南昌大學(xué)高等代數(shù)考研真題

南昌大學(xué)2008年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題

1．（20分）計(jì)算n級(jí)行列式：

2．（25分）設(shè)和都是數(shù)域P上一元多項(xiàng)式，且的次

數(shù)大于零。證明：是和的最大公因子。當(dāng)且僅當(dāng)是

和的最大公因子

3．（25分）設(shè)V是數(shù)域P上n維向量空間，是V的一個(gè)線(xiàn)性變換，證

明：若V中每個(gè)非零向量都是的特征向量，則有某個(gè)，使

得對(duì)于每個(gè)

4．（25分）設(shè)n級(jí)矩陣A滿(mǎn)足

5．（27分）設(shè)E是一個(gè)歐式空間，

的秩等于下面矩陣的秩：

A其中的內(nèi)積。

6．（28分）設(shè)A是一個(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，的順序主子

式，

證明：若A至少有m個(gè)正的特征值，

這里重特征值的個(gè)數(shù)按重?cái)?shù)計(jì)算。

第2部分兄弟院校高等代數(shù)考研真題

2014年北京科技大學(xué)825高等代數(shù)考研真題

北京科技大學(xué)

2014年碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題

試題編號(hào)：825試題名稱(chēng)：高等代數(shù)（共2頁(yè)）

適用專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、固體力學(xué)

說(shuō)明：所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，做在試題或草稿紙上無(wú)效.

一(15分)、設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式.證明：如

果是奇數(shù)，則既不能被整除，又不能被整除.

二(20分)、計(jì)算行列式，其中.

三(15分)、設(shè)為階方陣，證明：的充分必要條件是存在維

非零列向量，使得

(表示的秩).

四(20分)、(1)若都是階方陣，證明：.

(2)若()都是階方陣，證明：

五(30分)、設(shè)是數(shù)域上的全體矩陣按照矩陣加法和數(shù)乘構(gòu)成

的線(xiàn)性空間.已知

和

是的兩組基，是的線(xiàn)性變換，定義為

(1)求由基到基的過(guò)度矩陣；

(2)求一個(gè)非零的使它在和下有相同的坐標(biāo)；

(3)求的特征值；

(4)求的特征子空間.

六(20分)、設(shè)是非齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)解,是對(duì)應(yīng)的齊

次線(xiàn)性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,證明:

(1)線(xiàn)性無(wú)關(guān)；

(2)是線(xiàn)性方程組的個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解.

七(15分)、試證：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值全部落在區(qū)間上的充分必

要條件是矩陣半正定且

半正定