中學高二12月月考數學試卷

中學高二12月月考數學試卷

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題型選擇題填空題解答題判斷題計算題附加題總分

得分

評卷入得分

一、填空題（共13題，共65分）

1、設/㈤是定義在火上的可導函數，且滿足則不等式

/（歷（存f的解集為

【考點】

【答案】l<x<2

【解析】..J（x）+V'（x）=W（x）l>。

二函數g（x）=切卜）在￡上單調遞增。

/（一+1）>Vx-1-/（&-1）

Vx+l-/（Vx+l）>&+.-1）=（/爐-1）

即g（屈I"（乒I）

-x/x+l>V*3-1,

x+l>0

{J^-UO

x+l>x2-l解得"xv2。

所以原不等式的解集為［L2）。

答案：［L2）

=

=1（々>5>0）R（O4）°~~A#"

2、已知橢圓〃力的一個頂點為“.力，離心率5,直線，交橢圓于M.N兩點,

如果的重心恰好為橢圓的右焦點尸，直線/方程為

【考點】

［答案］6X-5J-28=0

由題意得b=4,

“2_，_/'_116_1

又a1a2a25,解得〃2=20。

二+2=1

二橢圓的方程為2。16。

.??橢圓右焦點尸的坐標為（2°）,

設線段的中點為Q（、，兒），

由三角形重心的性質知町=2地,從而（Z-4）=2（Xg-2%）,

解得/=3,%=-2,

所以點Q的坐標為G尸2）。

且界冷嘮

拉科），則々+巧=6,必+72=T

設

■+■）（-一-）?G+%）（此一%）F

以上兩式相減得2016

AZA-4覆+』46_6

玉一,5弘+力575,

y+2=-(x-3)

故直線的方程為5'。即6x-57-28=0.

答案:6x-5y-28=0

3、已知函數/（“卜碗^+曜’的圖象在點（-L2）處的切線恰好與直線3x+j=。平行，若〃x）在區(qū)間

+上單調遞減，則實數E的取值范圍是

【考點】

【答案】卜2-1]

【解析】?.?/(x)=mx3+m；

:(x)=3mx2+2JZX

o

{/(-l)=-m+B=2j=l

由題意得

/(-I)=3m-2w=-3解得以=3,

?./(%)=x3+3-

?/r(x)=3x2+6x=3x(x+2)

由，(x)=3x(x+2)<0得—2<x<0,

所以函數/(x)的單調減區(qū)間為(-2°)。

由題意得k'+i]u曰。1,

fN-2

?1+"°,解得一2金三一1。

?.?實數，的取值范圍是[y一1]。

答案：[-2T]

/*（X）=X5——.....2x+51n]r（\一

4、設函數2,若對任意的xe[-L2J,都有則實數0的取值范圍是

【考點】

【答案】I?）

【解析】..yw=^-y-2x+5

./r(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-l)

.,.當1<X<3或lvx<2時,/'(x)>OJ(x)單調遞增;

2.

當3<X<時，/'&)<。,/卜)單調遞減。

.〃x)恥=X1)=：

??4o

7

故實數。的取值范圍是I2人

3

答案：I2)

5、已知圓錐底面半徑為F,母線長是底面半徑的3倍，底面圓周上有一點4,則一個小蟲尸自4點出發(fā)在

側面上繞一周回到4點的最短路程為.

【考點】

如圖，作出圓錐的側面展開圖。

由幾何知識可得動點P自A出發(fā)在側面上繞一周回到A點的最短路程為弧所對的弦AA，的長。

設展開圖扇形的圓心角為?

???圓錐底面半徑為r,母線長是底面半徑的3倍,

由弧長公式得到2jrr=0-3r,

0=—

解得3.

.4?2、（3內由60。）=3后

答案:3底。

6、已知a>0,函數/（x）=x3-ox在［L+?）上是單調遞增函數，則。的取值范圍是.

【考點】

【答案】（°斗

【解析】=

.ff（x）=3x3-a

又函數/（x）=X$F在［L對單調遞增，

./'（x）=3/30在［?。┥虾愠闪ⅲ?/p>

即"43x2在［LX°）上恒成立。

又當xe［L+?）時，3X2>3

:.a<3o

又a>0,

.-.0<a<3o

故實數。的取值范圍是（°』L

答案：（°用

-----H—=1o=--------

7、若橢圓5m的離心率5,則加=.

【考點】

25

【答案】3或T

a2=51=mc1=5—m二-~~—=—m=3

【解析】試題分析：當焦點在x軸時525，同理可知當焦點

2525

m=———

在y軸時3,所以m的值為3或3

8、已知互不重合的直線兄九互不重合的平面0,廣，給出下列四個命題，其中錯誤的命題是

①若）,則口〃5②若Q_I■尸aLa.bLfi則口_1_方

③若aJ■廣，a工則a,Q④若a"#,a//a,則

【考點】

【答案】④

【解析】①中，由線面平行的判定和性質得滿足條件的直線以力平行，故正確。

②中，滿足條件的直線a力垂直，故正確。

③中，由面面垂直的性質可得，交線。與。垂直，故正確。

④中，直線。與A可能平行，也可能在A內，故不正確。

綜上④不正確。

答案：@

直-2=1

9、以雙曲線916的右焦點為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程為

【考點】

【答案】（￡-5）、，=痣

【解析】試題分析：雙曲線右焦點為（59），其中一條漸近線為4x-3j=°,因為圓與漸近線相切，由點

到直線距離公式得半徑尸=4.

10、若條件,條件q：x<a,且P是9的充分不必要條件，則0的

取值范圍是.

【考點】

【答案】a>2

【解析】由卜區(qū)2得_2《》《2。

若P是g的充分不必要條件，則

故a22。

所以實數。的取值范圍為［2+°°).

答案憶招>)

11、已知正四棱錐P-4BCD中，底面面積為16,一條側棱的長為3,則該棱錐的高為.

【考點】

【答案】1

【解析】設正四棱錐P-4BCD的底面邊長為。，高為

則有盤2=16,故a=4。

方、［逑T=y

由題意可得<2),解得飽=1。

所113、命題“5￡叱0?一欠_200，，的否定是.

【考點】

［答案］-￡zx-2>0

2

【解析】由含一個量詞的命題的否定可得，所給命題的否定是：3xeA,ax-ax-2>Oo

2

答案：3X€22,￡ZK-ax-2>0o

二、解答題(共6題，共30分)

14、設aeK,函數/(x)=lnx-°

(1)求〃x)的單調遞增區(qū)間；

(2)設/(x)=/(x)+ax2+ax,問尸G)是否存在極值，若存在，請求出極值，若不存在，請說明

理由；

(3)設是函數g(x)=/(x)+。圖象上任意不同的兩點，線段四的中點為

C(x()，J0),直線4B的斜率為尢，證明：無>￡&).

【考點】

【答案】⑴當媒40時，/（X）的單調遞增區(qū)間為2）；當a>0時，〃x）的單調遞增區(qū)間為6w）

1n_J__l

（2）a20時，尸（x）無極值；x<0,"x）有極大值V2a2,無極小值.⑶見解析.

【解析】試題分析：

本題考查導數在研究函數中的應用以及不等式的證明。（1）求導后根據導函數的符號判斷求解。（2）

由題意得尸（、）=—+皿1求導數后根據函數的單調性求極值即可。（3）由題意要證上>g'（4）,即證

2

2d-%）1n力二

2

“l(fā)ux,-lu叼x,>々-^+~玉以，即證玉三外+1，令°</<弓，，=匕玉>1

\+玉，即證

血9=2」

故只需證f+1f+1,構造函數根據單調性證明即可。

試題解析:

⑴解：函數的定義域為（°收）上,

/,W=-1-￡ZX

由題意得X

①當a?。時,則/（x）>°恒成立，，（x）在（0,+8）上單調遞增。

由?。?gt;。，得

②當a>0時,

/（x）的單調遞增區(qū)間為（°’￡）。

綜上可得，當a《0時，/（X）的單調遞增區(qū)間為（一8,2）；當時，〃x）的單調遞增區(qū)間為

（2）由題意得/（x）=/（x）+￡+6=*+方：

2ax2+1

F'(x)=—+2ax=

X

當心0時，恒有『&)>0,k(x)在(。,400)單調遞增，故尸(X)無極值;

當avO時，令尸'卜)=0

尸尸'(x)單調遞增;

+00

尸?)<。，㈤單調遞減

當

=ln

幼時，尸(X)有極大值，且極大值為2a2,無極小值。

...當

無極

綜上所述，當a20時，尸(X)無極值；當av°,/(x)有極大值二嘮五F

,yew

小值

.=%F=3一皿

(3)證明：由題意得\一演巧一馬

成立.

i>0)

15、如圖，在平面直角坐標系了②中，橢圓C：/b1的離心率為2,以原點為圓心,

橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x-j+2=°相切.

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知點P(°J%Q(d2),設KN是橢圓C上關于J軸對稱的不同兩點，直線PM與例相交

于點T,求證：點T在橢圓上.

【考點】

【答案】(1)82(2)見解析

2

【解析】⑴解：由題意知b=&=后.

上皂21

因為離心率e=a=2,所以煤=?I")=2.所以a=2貝.

所以橢圓C的方程為82=1.

Azi

(2)證明：由題意可設M,N的坐標分別為(xO,yO),(-xO,yO),則直線PM的方程為y=/x+1,

①

2

直線QN的方程為丫=-/x+2.②

.3M—4j.3名-4]

(證法1)聯(lián)立①②解得X=2%-3,y=2%-3,即T12%-32y-3J

金+凌22

由82=1可得/=8—4%.

ifXpY+1[3)0-4丫「,+始九—41

因為82(2y-3j8(2%-3￥

8-4y+4<3%4>96弘+72.8(2%-3)】

=8(生一獷8(2為—3》敝m—3)'=1,所以點丁坐標滿足橢圓c的方程，即

點T在橢圓C上.

x3y—4

(證法2)設T(x,y).聯(lián)立①②解得x0=2j-3,y0=2j~3

空+優(yōu)耳^?1+耳亡T爐+呀4)2

因為82=1,所以812廠3)2\2y-3)=1.整理得82=(2y-3)2,所以

=十空_二+其

82-12y+8=4y2-12y+9,即82=1.

所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上.

16、某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為

80%

半球形，按照設計要求容器的容積為3立方米，且122r.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關，已

知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c(c3)千元.設該容器的建造費

用為y千元.

①寫出y關于r的函數表達式，并求該函數的定義域;

②求該容器的建造費用最小時的r.

【考點】

160%99

【答案】①y=4rr(c-2)r2+r,0rW2②當3cW2時，建造費用最小時r=2；當c2時，建造費用最

小時,

—JIr+JI丁I—p

【解析】(1)由體積V=3蝮r?3,解得|=31

?'.y二2nrIX3+4nr2Xc

80-4r3

2-

=6nrX3r+4cnr2

80+(2c-4)產

=2n?r,

又le2r,即22r,解得0VrW2

其定義域為(0,2].

160幾

2~

(2)由(1)得，y'=8n(c-2)r-r,

8兀(c-2)r3_20

-----------2--------

=r,0<rW2

由于c>3,所以c-2>0

203l20

當r3-C-2=。時，貝|Jr=VC-2

令=m,(m>0)

8兀(c-2)

(r-m)(r2+rnH-m2)

2

所以y'=r

9

①當0<m<2即c>2時，

當r=m時，=0

當rG(0,m)時，yz<0

當rG(m,2)時，yz>0

所以尸m是函數y的極小值點，也是最小值點.

②當m22即3VcW時，

當rG(0,2)時，V'<0,函數單調遞減.

所以r=2是函數v的最小值點.

綜上所述，當3<cW時，建造費用最小時r=2；

3p0~

當c>時，建造費用最小時r=1c-2

17、(理)如圖，在三棱柱及c-4咐中，陽是邊長為4的正方形，平面3CJ■平面4c】c,

AB=3,BC=5.

(1)求證：44,平面網0；

(2)求二面角4一3。1一百的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)25

【解析】試題分析：

本題考查線面垂直的判定和二面角的求法。(1)利用面面垂直的性質證明即可。(2)建立空間直角

坐標系，利用平面的法向量求解。

試題解析：

(1)證明：因為“4GC為正方形，所以44_L4C

又平面/5C-L平面44GC,平面dSCc平面44GC="C,

所以幺,平面用c.

（2）由（1）知陽工配，AA^LAB

又43==RC=5,4C=4,所以4B_L/C

所以4幽4c兩兩垂直。

以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系/一題,

則刀（0,3,0），4（。,0,4）,4（0,3,4）C（4,0,4）

設平面4g的法向量為再=（/xz）,則

｛全4￡=03y-4z=0

而4G=。即4x=0

令z=3,則得”=（°＜，）。

同理可得平面瑪g的法向量為m=（3＜叫

/-n-m16

83餌阿==^=蒜

所以同網25.

由圖形知二面角4—BG一耳為銳角,

16

所以二面角4