新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納講義專題13解析幾何 13.3橢圓（解析版）

專題十三《解析幾何》講義13.3橢圓知識(shí)梳理.橢圓1．橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a(2a＞|F1F2|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn).2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．(2)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．3．橢圓的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范圍|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a對(duì)稱性關(guān)于x軸，y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱頂點(diǎn)坐標(biāo)(a,0)，(－a,0)，(0，b)，(0，－b)(b,0)，(－b,0)，(0，a)，(0，－a)焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)，(－c,0)(0，c)，(0，－c)半軸長(zhǎng)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b，a＞b離心率e＝eq\f(c,a)a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c2題型一.橢圓及其性質(zhì)1．如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，F(xiàn)(?25，0)為橢圓C的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x【解答】解：由題可知，c=25過點(diǎn)P作PM垂直x軸于M，設(shè)|OM|＝t，則|FM|=25?由勾股定理知，|PM|2＝|OP|2﹣|OM|2＝|PF|2﹣|FM|2，即(25)2∴|PM|=(2∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（?655設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1又a2＝b2+c2＝b2+20，∴a2＝36，b2＝16，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2故答案為：x22．平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，離心率為33．過點(diǎn)F1的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2周長(zhǎng)為43，那么A．x23+yC．x212+【解答】解：如圖，設(shè)橢圓方程為x2∵△ABF2周長(zhǎng)為43，∴4a=43，得a又e=ca=3則b2＝a2﹣c2＝2．∴橢圓C的方程為：x2故選：B．3．（2019·全國3）設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：x236+y220=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若△MF1F2【解答】解：設(shè)M（m，n），m，n＞0，橢圓C：x236+y220=1的ae=c由于M為C上一點(diǎn)且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，△MF1F2為等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，即有6+23m＝8，即m＝3，n6?23m＝8，即m＝可得M（3，15）．故答案為：（3，15）．4．已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0）．過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若2|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝2|BF2|，則C的方程為（）A．x22+yC．x24+【解答】解：設(shè)|BF2|＝2m，則|AF2|＝3m，|BF1|＝4m，由橢圓的定義可知：|BF1|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|＝6m，所以|AF1|＝3m，故點(diǎn)A在橢圓的上（下）頂點(diǎn)處，不妨設(shè)點(diǎn)A在上頂點(diǎn)處，則A（0，b），設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則由2|AF2|＝3|F2B|可得：AF2→=32解得x=53，y=?23b代入橢圓方程可得：259a2+所以b2＝a2﹣c2＝5﹣1＝4，故橢圓的方程為：x2故選：D．5．已知點(diǎn)A（1，1）而且F1是橢圓x29+y25=1的左焦點(diǎn)，【解答】解：∵|PF1|+|PF2|＝2a＝6∴|PF1|＝6﹣|PF2|∴|PF1|+|PA|＝6﹣|PF2|+|PA|＝6+（|PA|﹣|PF2|）當(dāng)點(diǎn)P位于P1時(shí)，|PA|﹣|PF2|的差最小，其值為﹣|AF2|=?2此時(shí)，|PF1|+|PA|也得到最小值，其值為6?當(dāng)點(diǎn)P位于P2時(shí)，|PA|﹣|PF2|的差最大，其值為|AF2|=2此時(shí)，|PF1|+|PA|也得到最大值，其值為6+題型二.焦點(diǎn)三角形1．過橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的中心做一直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則【解答】解：如圖，由橢圓的定義知|PF|+|PF1|＝2a由橢圓的對(duì)稱性知|QF|＝|PF1|，∴有|PF|+|QF|＝2a，而|PQ|的最小值是2b，∴△PFQ的周長(zhǎng)的最小值為2a+2b．故答案為：2a+2b．2．已知F1，F(xiàn)2是橢圓x29+y25=1的焦點(diǎn)，P在橢圓上，且∠F1【解答】解：由橢圓x29+y25=1可得：a設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n．則m+n＝2a＝6，（2×2）2＝m2+n2﹣2mncosπ3可得：mn=20∴S△F1F∴2×2|yP|=20解得|yP|=5故答案為：533．已知F是橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線y＝kx與橢圓相交于A．[32，1) B．(0，32【解答】解：連接A，B與左右焦點(diǎn)F，F(xiàn)'的連線，由∠AFB＝120°，由橢圓及直線的對(duì)稱性可得四邊形AFBF'為平行四邊形，∠FAF'＝60°，在三角形AFF'中，|FF'|2＝|AF|2+|AF′|2﹣2|AF|?|AF'|cos∠FAF＝（|AF|+|AF'|）2﹣3|AF|?|AF'|，所以(|AF|+|AF'|即14(|AF|+|AF'|)2≤|FF'|即14?4a2≤4故選：C．4．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．設(shè)線段NFA．13 B．33 C．12【解答】解：∵M(jìn)D→?NF1→=0又D為線段NF1的中點(diǎn)，∴|MF1|＝|MN|，∵M(jìn)F→1∥DF2→，∴F2是MN的中點(diǎn)，則|MF2|＝|設(shè)|MF2|＝m，則|MF1|＝2m，由|MF1|+|MF2|＝3m＝2a，得m=2a在△MF1F2中，由勾股定理可得(2a整理可得，3c2＝a2，∴e=ca=故選：B．5．（2013·山東）橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1，PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M（m，0），求m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，試證明1k【解答】解：（1）把﹣c代入橢圓方程得c2a2∵過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1，∴2b又e=ca=32∴橢圓C的方程為x2（2）如圖所示，設(shè)|PF1|＝t，|PF2|＝n，由角平分線的性質(zhì)可得tn又t+n＝2a＝4，消去t得到4?nn=3∵a﹣c＜n＜a+c，即2?3＜n＜2+3，也即2?∴m的取值范圍；(?3題型三.橢圓第二定義——焦半徑公式1．過橢圓左焦點(diǎn)F，傾斜角為60°的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若|FA|＝2|FB|，則橢圓的離心率為（）A．23 B．23 C．12【解答】解：如圖，設(shè)橢圓的左準(zhǔn)線為l，過A點(diǎn)作AC⊥l于C，過點(diǎn)B作BD⊥l于D，再過B點(diǎn)作BG⊥AC于G，直角△ABG中，∠BAG＝60°，所以AB＝2AG，…①由圓錐曲線統(tǒng)一定義得：e=AF∵FA＝2FB，∴AC＝2BD直角梯形ABDC中，AG＝AC﹣BD=1①、②比較，可得AB＝AC，又∵AF=∴e=故所求的離心率為23故選：B．2．橢圓x24+y2=1兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)A．[1，4] B．[1，3] C．[﹣2，1] D．[﹣1，1]【解答】解：橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)F1（3，0），F(xiàn)2（?3設(shè)P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．∴PF1→?PF2→=（?3?2cosθ，﹣sinθ）?（3?2cosθ，﹣sinθ∵0≤cos2θ≤1，∴﹣2≤3cos2θ﹣2≤1．即PF1→故選：C．3．已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2，上頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為B，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且△FA．[1，2] B．[2，3] C．[2，4【解答】解：由2b＝2可得b＝1，即A（0，1），又F（﹣c，0），B（﹣a，0），∴S△又a2﹣c2＝1，∴a＝2，c=3∴|PF1|+|PF2|＝2a＝4，∴1|P∵2?3≤|PF1|≤2|PF1|（4﹣|PF1|）＝﹣（|PF1|﹣2）2+4，∴1≤|PF1|（4﹣|PF1|）≤4．∴1≤4故選：D．題型四.離心率之焦點(diǎn)三角形1．設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠PF1F2【解答】解：|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2x，|F1F2|=3x又|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c∴2a＝3x，2c=3x∴C的離心率為：e=c故答案為：332．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點(diǎn)，MF→1?MF2→=0，線段A．22 B．32 C．23【解答】解：設(shè)|MF2|＝m，∵|MF1|，|MN|，|NF1|成等差數(shù)列，∴2|MN|＝|MF1|+|NF1|，∴|MN|＝|MF2|+|NF2|＝2a﹣|MF1|+2a﹣|NF1|＝4a﹣2|MN|，∴|MN|=43∴|NF2|=43a﹣∴|NF1|＝2a﹣（43a﹣m）=23a∵M(jìn)F→∴MF1⊥MF2，∴Rt△F1MN中，|NF1|2＝|MN|2+|MF1|2，∴（2a﹣m）2+（43a）2＝（23a+m）整理可得m＝a，∴|MF2|＝a，|MF1|＝a，∴|F2F1|2＝|MF2|2+|MF1|2，∴4c2＝2a2，∴e=c故選：A．3．（2013·遼寧）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF、BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF【解答】解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F'，連接AF'、BF'∵AB與FF'互相平分，∴四邊形AFBF'為平行四邊形，可得|AF|＝|BF'|＝6∵△ABF中，|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF=4∴由余弦定理|AF|2＝|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，可得62＝102+|BF|2﹣2×10×|BF|×45，解之得|由此可得，2a＝|BF|+|BF'|＝14，得a＝7∵△ABF中，|AF|2+|BF|2＝100＝|AB|2∴∠AFB＝90°，可得|OF|=12|AB|＝5，即因此，橢圓C的離心率e=故答案為：5題型五.離心率之尋求等量關(guān)系1．（2012?新課標(biāo)）設(shè)F1、F2是橢圓E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P為直線x=3a2A．12 B．23 C．34【解答】解：∵△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，∴|PF2|＝|F2F1|∵P為直線x=3a∴2(∴e=故選：C．2．（2015?浙江）橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F（c，0）關(guān)于直線y【解答】解：根據(jù)橢圓定義運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求解，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F1（﹣c，0），如圖連接QF1，QF，設(shè)QF與直線y=bcx交于點(diǎn)M，由題意知M為線段∴F1Q∥OM，又∵OM⊥FQ，∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|，在Rt△MOF中，tan∠MOF=|MF||OM|=bc可得|OM|=c2a，|MF故|QF|＝2|MF|=2bca，|QF1|＝2|OM|由橢圓定義得|QF|+|QF1|=2bca+2c2a∴a=b2故e=c3．（2016?新課標(biāo)Ⅲ）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸，過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與yA．13 B．12 C．23【解答】解：由題意可設(shè)F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），設(shè)直線AE的方程為y＝k（x+a），令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），設(shè)OE的中點(diǎn)為H，可得H（0，ka2由B，H，M三點(diǎn)共線，可得kBH＝kBM，即為ka2化簡(jiǎn)可得a?ca+c=12，即為可得e=c另解：由△AMF∽△AEO，可得a?ca由△BOH∽△BFM，可得aa+c即有2(a?c)a=a+ca即可得e=c故選：A．題型六.離心率取值范圍之橢圓的有界性1．橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2A．（0，13] B．[13，1） C．（0，12] 【解答】解：P為橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)1，可得|PF1|+|PF2|＝2a，|PF1|=32a≤a+∴e≥1∴橢圓離心率的范圍是[12故選：D．2．橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的二個(gè)焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），M是橢圓上一點(diǎn)，且F1【解答】解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則F1M→=（x+c，y），F(xiàn)2M→由F1M→?F2M→=0，得x2﹣又由點(diǎn)M在橢圓上，得y2＝b2?b2x2a2，代入①，解得x∵0≤x2≤a2，∴0≤a2?a2b即0≤2?1∵e＞0，解得22≤e又∵e＜1，∴22≤故答案為：33；223．已知F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）為橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)且PF1【解答】解：由橢圓定義可得|PF1|+|PF2|＝2a，①∵PF1→?P∴|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝c2，②由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝4c2，③由①②③得cos∠F1PF2=c22a2?3c2≤1，|PF1||PF∴e≤2∵|PF1||PF2|≤14（|PF1|+|PF2|）2＝a∴2a2﹣3c2≤a2，∴e≥3∴此橢圓離心率的取值范圍是[33，2故答案為：[33，24．已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理得：|P則由已知得：a|P即：a|PF1|＝c|PF2|設(shè)點(diǎn)（x0，y0）由焦點(diǎn)半徑公式，得：|PF1|＝a+ex0，|PF2|＝a﹣ex0則a（a+ex0）＝c（a﹣ex0）解得：x由橢圓的幾何性質(zhì)知：x0＞﹣a則a(e?1)e(e+1)整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜?2?1或e＞2?1故橢圓的離心率：e∈(2故答案為：(2題型七.橢圓的第三定義——點(diǎn)差法1．（2013?大綱版）橢圓C：x24+y23=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[A．[12，34] B．[【解答】解：由橢圓C：x24+y23=1可知其左頂點(diǎn)A設(shè)P（x0，y0）（x0≠±2），則x024∵kPA2∴kP∵?2≤k∴?2≤?34k故選：B．2．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，若點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，記直線PM、PNA．x216+yC．x2+y【解答】解：由長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4得2a＝4，解得a＝2，設(shè)P（x0，y0），直線l方程為y＝kx，M（x1，kx1），N（﹣x1，﹣kx1），則KPM=y0?kx1由KPM?KPN=?14所以4y02=（4k2又P在橢圓上，所以x024+y02b2=1，即4y0所以4b2＝（4k2+1）x12+（b2﹣因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，所以該式恒成立與x0無關(guān)，所以b2﹣1＝0，解得b＝1，所以所求橢圓方程為x2故選：D．3．（2015?新課標(biāo)Ⅱ）已知橢圓C：9x2+y2＝m2（m＞0），直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M．（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；【解答】解：（1）設(shè)直線l：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），將y＝kx+b代入9x2+y2＝m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2＝0，則判別式△＝4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，則x1+x2=?2kb9+k2，則xM=x1+x22于是直線OM的斜率kOM=y即kOM?k＝﹣9，∴直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．課后作業(yè).橢圓1．已知點(diǎn)A（0，1），而且F1是橢圓x29+y25=1的左焦點(diǎn)，點(diǎn)PA．6?5 B．6?2 C．6+2【解答】解：由橢圓x29+y25=∴c=a2?b2=2，則F如圖，設(shè)F2是橢圓的右焦點(diǎn)，∵|PF1|+|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝6﹣|PF2|，∴|PF1|+|PA|＝6﹣|PF2|+|PA|＝6+（|PA|﹣|PF2|），|PA|﹣|PF2|的最小值為﹣|AF2|=?5此時(shí)，|PF1|+|PA|也得到最小值，其值為6?5故選：A．2．以橢圓x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F2為圓心作一個(gè)圓，使此圓過橢圓中心并交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若過橢圓左焦點(diǎn)F1的直線MF【解答】解：由題意得：|MF2|＝|OF2|＝c|MF1|+|MF2|＝2a|F1F2|＝2c直角三角形MF1F2中|MF1|2+|MF2|2＝|F1F2|2即（2a﹣c）2+c2＝4c2整