版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
四、數(shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用高考物理試題的解答離不開數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用,利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題是高考物理考查的能力之一.借助數(shù)學(xué)方法,可使一些復(fù)雜的物理問題,顯示出明顯的規(guī)律性,能快速簡(jiǎn)捷地解決問題.可以說任何物理試題的求解過程實(shí)際上都是將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,經(jīng)過求解再還原為物理結(jié)論的過程.下面是幾種物理解題過程中常用的數(shù)學(xué)方法.一、三角函數(shù)法1.三角函數(shù)求極值(1)y=sinα,當(dāng)α=90°時(shí),ymax=1;(2)y=cosα,當(dāng)α=0時(shí),ymax=1.例1(2022·廣西北海市模擬)在仰角α=30°的雪坡上舉行跳臺(tái)滑雪比賽,如圖所示.運(yùn)動(dòng)員從坡上方A點(diǎn)開始下滑,到起跳點(diǎn)O時(shí)借助設(shè)備和技巧,保持在該點(diǎn)的速率不變而以與水平面成θ角的方向起跳.最后落在坡上B點(diǎn),坡上O、B兩點(diǎn)距離為L.已知A點(diǎn)高于O點(diǎn)h=50m,不計(jì)摩擦和阻力,則O、B兩點(diǎn)距離L最大值為多少?此時(shí)起跳角為多大?(取g=10m/s2)答案200m30°解析運(yùn)動(dòng)員在O點(diǎn)速度v0=eq\r(2gh)=10eq\r(10)m/s.起跳后運(yùn)動(dòng)員做斜上拋運(yùn)動(dòng).把運(yùn)動(dòng)分解為水平向右的勻速運(yùn)動(dòng)和豎直方向的豎直上拋運(yùn)動(dòng).水平方向上有x=v0cosθ·t,豎直方向上有y=v0sinθ·t-eq\f(1,2)gt2,令y=-xtanα,解得x=eq\f(2v02cosθsinα+θ,gcosα)=eq\f(v02[sin2θ+α+sinα],gcosα).當(dāng)2θ+α=90°,即θ=30°時(shí),xmax=eq\f(v021+sinα,gcosα),此時(shí)L有極大值Lmax=eq\f(xmax,cosα)=200m.2.輔助角求極值三角函數(shù):y=acosθ+bsinθy=acosθ+bsinθ=eq\r(a2+b2)sin(θ+α),其中tanα=eq\f(a,b).當(dāng)θ+α=90°時(shí),有極大值ymax=eq\r(a2+b2).例2(多選)如圖所示,固定于豎直面內(nèi)的粗糙斜桿,與水平方向夾角為30°,質(zhì)量為m的小球套在桿上,在大小不變、方向與斜桿成α角的拉力F作用下,小球沿桿由底端勻速運(yùn)動(dòng)到頂端.已知小球與斜桿之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=eq\f(\r(3),3),則關(guān)于拉力F的大小和F的做功情況,下列說法正確的是()A.當(dāng)α=30°時(shí),拉力F最小B.當(dāng)α=30°時(shí),拉力F做功最小C.當(dāng)α=60°時(shí),拉力F最小D.當(dāng)α=60°時(shí),拉力F做功最小答案AD解析由題中選項(xiàng)可知要使F最小,則應(yīng)有Fsinα<mgcos30°,故根據(jù)平衡條件有Fcosα=mgsin30°+μ(mgcos30°-Fsinα),解得:F=eq\f(mgsin30°+\f(\r(3),3)cos30°,cosα+\f(\r(3),3)sinα)=eq\f(\r(3)mg,2sinα+60°),由數(shù)學(xué)知識(shí)知,當(dāng)α=30°時(shí),拉力F最小,A正確,C錯(cuò)誤;當(dāng)α=60°時(shí),F(xiàn)=mg,因?yàn)闆]有摩擦力,拉力做功最小,Wmin=mgh,所以B錯(cuò)誤,D正確.3.正弦定理在如圖所示的三角形中,各邊和所對(duì)應(yīng)角的正弦之比相等,即:eq\f(a,sinA)=eq\f(b,sinB)=eq\f(c,sinC).例3(2022·河北衡水市模擬)如圖所示為一個(gè)半徑r=48cm的薄壁圓柱形魚缸的橫截面,O為圓心.魚缸內(nèi)裝滿水,水中有一條小魚(可視為質(zhì)點(diǎn)).觀察水中圖示位置的小魚時(shí),人眼睛所接收的光線恰與小魚和圓心連線的延長線垂直,圖中β=53°.已知sin53°=0.8,cos53°=0.6.若認(rèn)為玻璃和水的折射率均為n=eq\f(4,3).求小魚到圓心O的距離.答案30cm解析如圖所示,由小魚S射向P點(diǎn)的光線入射角為α,折射光線進(jìn)入眼睛,折射角β=53°根據(jù)折射定律有n=eq\f(sinβ,sinα),得sinα=eq\f(3,5)根據(jù)幾何關(guān)系得∠OSP=180°-(90°+α-β)=90°+β-α在三角形SOP中,由正弦定理得eq\f(sinα,OS)=eq\f(sin∠OSP,r)解得OS=30cm4.余弦定理在如圖所示的三角形中,有:a2=b2+c2-2bc·cosAb2=a2+c2-2ac·cosBc2=a2+b2-2ab·cosC例4(2022·湖南婁底市模擬)在半徑為R的半圓形區(qū)域中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁場(chǎng)的方向垂直于紙面,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.一質(zhì)量為m、帶有電荷量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圓直徑AD方向經(jīng)P點(diǎn)(AP=d)射入磁場(chǎng)(不計(jì)重力影響).(1)如果粒子恰好從A點(diǎn)射出磁場(chǎng),求入射粒子的速度大??;(2)如果粒子經(jīng)紙面內(nèi)Q點(diǎn)從磁場(chǎng)中射出,出射方向與半圓在Q點(diǎn)的切線方向的夾角為φ(如圖).求入射粒子的速度大?。鸢?1)eq\f(qBd,2m)(2)eq\f(qBd2R-d,2m[R1+cosφ-d])解析(1)由于粒子垂直AP入射,則AP是粒子圓軌跡的直徑,有r1=0.5d設(shè)粒子速度為v1,根據(jù)牛頓第二定律qv1B=meq\f(v12,r1)解得v1=eq\f(qBd,2m)(2)連接PQ,并且作PQ的中垂線交AP于O′點(diǎn),則O′為軌跡的圓心,如圖.設(shè)粒子的入射速度為v2,軌道半徑為r2.在△OO′Q中有OO′=R+r2-d,OQ=R,O′Q=r2,根據(jù)余弦定理有(R+r2-d)2=R2+r22-2Rr2cosφ又qv2B=meq\f(v22,r2)聯(lián)立以上各式化簡(jiǎn)得v2=eq\f(qBd2R-d,2m[R1+cosφ-d]).二、均值不等式由均值不等式a+b≥2eq\r(ab)(a>0,b>0)可知:(1)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí),若兩數(shù)相等,和最??;(2)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí),若兩數(shù)相等,積最大.例5如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy的第一象限區(qū)域中,有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng),電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E=kv0.在第二象限有一半徑為R=b的圓形區(qū)域磁場(chǎng),圓形磁場(chǎng)的圓心O1坐標(biāo)為(-b,b),與兩坐標(biāo)軸分別相切于P點(diǎn)和N點(diǎn),磁場(chǎng)方向垂直紙面向里.在x=3b處垂直于x軸放置一平面熒光屏,與x軸交點(diǎn)為Q.大量的電子以相同的速率在紙面內(nèi)從P點(diǎn)進(jìn)入圓形磁場(chǎng),電子的速度方向在與x軸正方向成θ角的范圍內(nèi),其中沿y軸正方向的電子經(jīng)過磁場(chǎng)到達(dá)N點(diǎn),速度與x軸正方向成θ角的電子經(jīng)過磁場(chǎng)到達(dá)M點(diǎn)且M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1.5b).忽略電子間的相互作用力,不計(jì)電子的重力,電子的比荷為eq\f(e,m)=eq\f(v0,kb).求:(1)圓形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大??;(2)θ角的大??;(3)電子打到熒光屏上距Q點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離.答案(1)k(2)120°(3)eq\f(9,4)b解析(1)由于速度沿y軸正方向的電子經(jīng)過N點(diǎn),因而電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=b而ev0B=meq\f(v02,r)聯(lián)立解得B=k(2)速度與x軸正方向成θ角的電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為O′,電子離開磁場(chǎng)時(shí)的位置為P′,連接PO1P′O′可知該四邊形為菱形,如圖甲,由于PO1豎直,因而軌跡半徑P′O′也為豎直方向,電子離開磁場(chǎng)時(shí)速度一定沿x軸正方向由圖甲可知bsin(θ-90°)+b=1.5b解得θ=120°.(3)由(2)可知,所有的電子以平行于x軸正方向的速度進(jìn)入電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng),設(shè)電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度為a,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t,豎直方向位移為y,水平方向位移為x,則有x=v0ty=eq\f(1,2)at2eE=ma聯(lián)立解得x=eq\r(2by)設(shè)電子最終打在熒光屏的最遠(yuǎn)點(diǎn)距Q點(diǎn)為H,如圖乙所示,設(shè)電子射出電場(chǎng)時(shí)的夾角為α,vy=at有tanα=eq\f(vy,v0)=eq\r(\f(2y,b))有H=(3b-x)tanα=(3eq\r(b)-eq\r(2y))·eq\r(2y)當(dāng)3eq\r(b)-eq\r(2y)=eq\r(2y),即y=eq\f(9,8)b時(shí),H有最大值.由于eq\f(9,8)b<1.5b,所以Hmax=eq\f(9,4)b.三、利用二次函數(shù)求極值二次函數(shù):y=ax2+bx+c(1)當(dāng)x=-eq\f(b,2a)時(shí),有極值ym=eq\f(4ac-b2,4a)(若二次項(xiàng)系數(shù)a>0,y有極小值;若a<0,y有極大值).(2)利用一元二次方程判別式求極值.用判別式Δ=b2-4ac≥0有解可求某量的極值.例6如圖,半圓形光滑軌道固定在水平地面上,半圓的直徑與地面垂直,一小物塊以速度v從軌道下端滑入軌道,并從軌道上端水平飛出,小物塊落地點(diǎn)到軌道下端的距離與軌道半徑有關(guān),此距離最大時(shí),對(duì)應(yīng)的軌道半徑為(重力加速度大小為g)()A.eq\f(v2,16g)B.eq\f(v2,8g)C.eq\f(v2,4g)D.eq\f(v2,2g)答案B解析小物塊由最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程,由機(jī)械能守恒定律得eq\f(1,2)mv2=2mgr+eq\f(1,2)mv12,小物塊做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)水平位移為x.水平方向有x=v1t,豎直方向有2r=eq\f(1,2)gt2,聯(lián)立解得x=eq\r(\f(4v2,g)r-16r2),由數(shù)學(xué)知識(shí)可知,當(dāng)r=eq\f(v2,8g)時(shí),x最大,故選項(xiàng)B正確.例7(2022·山東臨沂市期末)真空中存在空間范圍足夠大的、水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng).在電場(chǎng)中,若將一個(gè)質(zhì)量為m、帶正電的小球由靜止釋放,運(yùn)動(dòng)中小球速度方向與豎直方向夾角為37°(取sin37°=0.6,cos37°=0.8).現(xiàn)將該小球從電場(chǎng)中某點(diǎn)以初速度v0豎直向上拋出.求運(yùn)動(dòng)過程中(1)小球受到的靜電力的大小及方向;(2)小球的最小速度的大小及方向.答案(1)eq\f(3,4)mg方向水平向右(2)eq\f(3,5)v0與電場(chǎng)方向夾角為37°斜向上解析(1)根據(jù)題設(shè)條件,靜電力大小F電=mgtan37°=eq\f(3,4)mg,方向水平向右.(2)小球沿豎直方向做勻減速運(yùn)動(dòng):vy=v0-gt;沿水平方向做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng):ax=eq\f(F電,m)=eq\f(3,4)g,vx=axt;小球的速度v=eq\r(vx2+vy2),由以上各式可得關(guān)于v2的函數(shù)解析式:v2=eq\f(25,16)g2t2-2v0gt+v02.解得當(dāng)t=eq\f(16v0,25g)時(shí),v有最小值vmin=eq\f(3,5)v0,此時(shí)vx=eq\f(12,25)v0,vy=eq\f(9,25)v0,tanθ=eq\f(vy,vx)=eq\f(3,4),即與電場(chǎng)方向夾角為37°斜向上.四、數(shù)學(xué)歸納法和數(shù)列法凡涉及數(shù)列求解的物理問題都具有過程多、重復(fù)性強(qiáng)的特點(diǎn),但每一個(gè)重復(fù)過程均不是與原來完全相同的重復(fù),而是一種變化了的重復(fù).隨著物理過程的重復(fù),某些物理量逐步發(fā)生著前后有聯(lián)系的變化.該類問題求解的基本思路為:(1)逐個(gè)分析開始的幾個(gè)物理過程;(2)利用歸納法從中找出物理量變化的通項(xiàng)公式(這是解題的關(guān)鍵);(3)最后分析整個(gè)物理過程,應(yīng)用數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律求解.無窮數(shù)列的求和,一般是無窮遞減數(shù)列,有相應(yīng)的公式可用.等差數(shù)列:Sn=eq\f(na1+an,2)=na1+eq\f(nn-1,2)d(d為公差).等比數(shù)列:Sn=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11-qn,1-q),q≠1,na1,q=1))(q為公比).例8一小球從h0=45m高處自由下落,著地后又彈起,然后又下落,每與地面相碰一次,速度大小就變化為原來的k倍.若k=eq\f(1,2),求小球從下落直至停止運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間.(g取10m/s2,碰撞時(shí)間忽略不計(jì))答案9s解析由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式將小球每碰一次后在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的通項(xiàng)公式求出,然后再累加求和.小球從h0處落到地面時(shí)的速度:v0=eq\r(2gh0),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為:t0=eq\r(\f(2h0,g))第一次碰地后小球反彈的速度:v1=kv0=keq\r(2gh0)小球再次與地面碰撞之前做豎直上拋運(yùn)動(dòng),這一過程球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間:t1=eq\f(2v1,g)=2keq\r(\f(2h0,g))則第n次碰地后,小球的運(yùn)動(dòng)速度的通項(xiàng)公式為:vn=kneq\r(2gh0)運(yùn)動(dòng)時(shí)間:tn=eq\f(2vn,g)=2kneq\r(\f(2h0,g))所以,小球從下落到停止運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為:t=t0+t1+…+tn=eq\r(\f(2h0,g))+2keq\r(\f(2h0,g))+…+2kneq\r(\f(2h0,g))=eq\r(\f(2h0,g))+2eq\r(\f(2h0,g))(k+k2+…+kn).上式括號(hào)中是一個(gè)無窮等比遞減數(shù)列,由無窮等比遞減數(shù)列求和公式,并代入數(shù)據(jù)得t=9s.例9如圖所示,質(zhì)量M=2kg的平板小車左端放有質(zhì)量m=3kg的小鐵塊(可視為質(zhì)點(diǎn)),它和小車之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5.開始時(shí),小車和鐵塊共同以v0=3m/s的速度向右在光滑水平面上運(yùn)動(dòng),車與豎直墻發(fā)生正碰,碰撞時(shí)間極短且碰撞中不損失機(jī)械能.車身足夠長,使鐵塊不能和墻相撞,且始終不能滑離小車.g取10m/s2.求小車和墻第一次碰后直至其最終恰好靠墻靜止這段時(shí)間內(nèi),小車運(yùn)動(dòng)的
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 工作總結(jié)之道橋測(cè)量實(shí)習(xí)總結(jié)
- 電工電子技術(shù)(第3版) 課件 2.2.2 RLC串聯(lián)交流電路
- 2024年木聚糖酶項(xiàng)目資金申請(qǐng)報(bào)告代可行性研究報(bào)告
- 學(xué)校德育處工作總結(jié)3篇
- 銀行保密工作規(guī)定制度
- 《設(shè)備安裝施工工藝》課件
- 設(shè)計(jì)規(guī)劃與設(shè)計(jì)管理的區(qū)別及案例分析
- 廣西武鳴高中2025屆高考數(shù)學(xué)必刷試卷含解析
- 汕頭市2025屆高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析
- 2025屆廣東省肇慶市懷集中學(xué)高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測(cè)卷含解析
- 無機(jī)及分析化學(xué)考試題(附答案)
- 班組學(xué)習(xí)與創(chuàng)新培訓(xùn)試題
- 【PRD】安全生產(chǎn)動(dòng)態(tài)積分管理系統(tǒng)需求說明文檔
- 大學(xué)考試命題計(jì)劃表(范例及說明)
- 2022年滄州市金融控股有限公司招聘筆試題庫及答案解析
- 婦科病史采集及查體共84張課件
- 新《雙眼視覺學(xué)》考試復(fù)習(xí)題庫(含答案)
- 心理健康教育主題班會(huì)(29張)課件
- 霍爾與無刷電機(jī)正反轉(zhuǎn)控制筆記
- 2023全國中職技能大賽電氣安裝與維修工作任務(wù)書
- 參展商實(shí)務(wù)(第三版)第二章企業(yè)參展相關(guān)程序
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論