專題12 二次函數(shù)與相似（解析版）

九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)解法技巧思維培優(yōu)專題12二次函數(shù)與相似【典例1】（2019?醴陵市一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-12x2+32x+m﹣1交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，若A點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x2，0）（x1（1）求m的取值范圍；（2）如圖1，若x12+x22＝17，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，請(qǐng)解答下列兩個(gè)問(wèn)題：①如圖1，請(qǐng)連接AC，求證：△ACB為直角三角形．②如圖2，若D（1，n）在拋物線上，過(guò)點(diǎn)A的直線y＝﹣x﹣1交（2）中的拋物線于點(diǎn)E，那么在x軸上點(diǎn)B的左側(cè)是否存在點(diǎn)P，使以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【點(diǎn)撥】（1）△＝（32）2﹣4×（-12）（m﹣1）=94+2m﹣（2）∵x1+x2＝3，x1?x2＝﹣2（m﹣1），又x12+x22＝17，∴（x1+x2）2﹣2x1?x2＝17，即可求解；（3）①AC2＝5，BC2＝20，AB2＝25，即可求解；②分△PBD∽△BAE、△PBD∽△EAB兩種情況，分別求解即可．【解析】解：（1）△＝（32）2﹣4×（-12）（m﹣1）=94+2m﹣由題可得2m+14∴m＞-（2）∵x1+x2＝3，x1?x2＝﹣2（m﹣1），又x12+x22＝17，∴（x1+x2）2﹣2x1?x2＝17∴32+4（m﹣1）＝17，∴m＝3，∴拋物線的解析式為y=-12x2+3（3）①證明：令y＝0，-12x2+32x∴x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0）令x＝0，y＝2，∴C（0，2），∴AC2＝5，BC2＝20，AB2＝25∴AC2+BC2＝AB2∴△ACB為直角三角形；②根據(jù)拋物線的解析式易知：D（1，3），聯(lián)立直線AE、拋物線解析式：y=-x-1y=-12x2∴E（6，﹣7），∴tan∠DBO＝1，即∠DBO＝45°，tan∠EAB＝1，即∠EAB＝45°，∴∠DBA＝∠EAB，若以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，則有兩種情況：①△PBD∽△BAE；②△PBD∽△EAB．易知BD＝32，EA＝72，AB＝5，由①得：PBAB=BDAE，即PB5=3272，即由②得：PBAE=BDAB，即PB72=325，即∴P（137，0）或（-225【典例2】（2019?東河區(qū)二模）如圖1，已知經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y＝ax2+bx與x軸交于另一點(diǎn)A（32，0），在第一象限內(nèi)與直線y＝x交于點(diǎn)B（2，t（1）求拋物線的解析式；（2）在直線OB下方的拋物線上有一點(diǎn)C，點(diǎn)C到直線OB的距離為2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)M在拋物線上，且∠MBO＝∠ABO，在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【點(diǎn)撥】（1）點(diǎn)B在直線y＝x上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH∥y軸交AB于點(diǎn)H，則∠MHC＝∠MCH＝45°，CM=2，HC=2CM＝2，設(shè)點(diǎn)H（t，t），則C（t，2t2﹣3（3）分點(diǎn)P在第一象限、第三象限兩種情況，分別求解即可．【解析】解：（1）點(diǎn)B在直線y＝x上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：0=a(32)故拋物線的表達(dá)式為：y＝2x2﹣3x…①；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH∥y軸交AB于點(diǎn)H，∵∠BAO＝45°，∴∠OHC＝45°，又∵CM⊥OB，∴∠MHC＝∠MCH＝45°，CM=2∴HC=2CM＝2設(shè)點(diǎn)H（t，t），則C（t，2t2﹣3t），∵點(diǎn)C在直線BO的下方，HC＝t﹣2t2+3t＝2，解得：t＝1，∴C（1，﹣1）；（3）如圖（2）BM交y軸于點(diǎn)N，∵∠MBO＝∠ABO，OB＝OB，∠NOB＝∠AOB＝45°，∴△BON≌△AOB（AAS），∴ON＝OA=3將點(diǎn)B、N（0，32直線BM的表達(dá)式為：y=14x+聯(lián)立①②并解得：x=-38，故點(diǎn)M（-3∵△POC∽△MOB，OB＝22，OC=2∴OBOC即：OM＝2OP，∠MOB＝∠POC，①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥OA于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥ON于點(diǎn)G，∵∠BON＝∠AOC＝45°∴∠MON＝∠POA，∴△MOG∽△POQ，∵OM＝2OP，∴OMOP又OG=4532，MG∴OQ=4564，PQ即點(diǎn)P（4564，3②同理當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，點(diǎn)P（-316，綜上，點(diǎn)P（4564，316）或（-3【典例3】（2019?鹿城區(qū)校級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2），B（5，0），拋物線y＝ax2﹣2ax（a＞0）交x軸正半軸于點(diǎn)C，連結(jié)AO，AB．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求直線AB的表達(dá)式；（3）設(shè)拋物線y＝ax2﹣2ax（a＞0）分別交邊BA，BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、E．①若AE＝2AO，求拋物線表達(dá)式；②若△CDB與△BOA相似，則a的值為1013【點(diǎn)撥】（1）求得對(duì)稱軸，由對(duì)稱性可知C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）利用待定系數(shù)法求解可得；（3）①由AE＝3AO的關(guān)系，建立K型模型相似，求得點(diǎn)E坐標(biāo)代入解析式可得；②若△CDB與△BOA相似，則∠A＝∠CDB＝90°，由相似關(guān)系可得點(diǎn)D坐標(biāo)，代入解析式y(tǒng)＝ax2﹣2ax可得a值．【解析】解：（1）∵x=-b2a=1，O，C兩點(diǎn)關(guān)于直線x∴C（2，0）；（2）設(shè)直線AB：y＝kx+b，把A（1，2），B（5，0）代入得k+b=25k+b=0解得：k=-1∴y=-12x（3）①∵A（1，2），B（5，0），O（0，0）∴OA=5，OB＝5，AB＝2∴OA2+AB2＝OB2∴∠OAB＝90°∴∠OAE＝90°作EF⊥AF，AG⊥x軸，∵∠FEA＝∠OAG，∠F＝∠AGO＝90°∴△EAF∽△AOG（AA）∴EFAG=∴EF＝4，AF＝2，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（﹣3，4）代入解析式y(tǒng)＝ax2﹣2ax可得，9a+6a＝4，解得a=4∴y=415x2-②若△CDB與△BOA相似，CDAO∴CD5D（135，6代入解析式y(tǒng)＝ax2﹣2ax可得，a=10故答案為：1013【典例4】（2020?鄭州一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-12x+n與x軸，y軸分別交于點(diǎn)B，點(diǎn)C，拋物線y＝ax2+bx+32（a≠0）過(guò)B，C兩點(diǎn)，且交x軸于另一點(diǎn)A（﹣2，（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）已知點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)P到直線BC的距離；（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)Q（點(diǎn)C除外），使以點(diǎn)Q，A，B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【點(diǎn)撥】（1）點(diǎn)C（0，32），則直線y=-12x+n=-12x+32，則點(diǎn)B（3，0），則拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣3）（x+2）＝a（（2）則PH＝PGcosα=25（-14m2+14m+32+（3）分當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方、點(diǎn)Q在x軸下方兩種情況，分別求解即可．【解析】解：（1）點(diǎn)C（0，32），則直線y=-12x+n=-12x+32則拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣3）（x+2）＝a（x2﹣x﹣6），故﹣6a=32，解得：a故拋物線的表達(dá)式為：y=-14x2+1（2）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)G，作PH⊥BC于點(diǎn)H，則∠HPG＝∠CBA＝α，tan∠CBA=OCOB=12設(shè)點(diǎn)P（m，-14m2+14m+32），則點(diǎn)G（則PH＝PGcosα=25（-14m2+14m+32+（3）①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，則點(diǎn)Q，A，B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)C關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸對(duì)稱，則點(diǎn)Q（1，32②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，（Ⅰ）當(dāng)∠BAQ＝∠CAB時(shí)，△QAB∽△BAC，則ABAC由勾股定理得：AC＝5，AQ=AB過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，由△HAQ∽△OAC得：AQAC∵OC=32，AQ＝∴QH＝6，則AH＝8，OH＝8﹣2＝6，∴Q（6，﹣6）；該點(diǎn)在拋物線上；根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性，當(dāng)點(diǎn)Q在第三象限時(shí)，符合條件的點(diǎn)Q（﹣5，﹣6）；故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（6，﹣6）或（﹣5，﹣6）；（Ⅱ）當(dāng)∠BAQ＝∠CBA時(shí)，則直線AQ∥BC，直線BC表達(dá)式中的k為：-1則直線AQ的表達(dá)式為：y=-12x﹣2…聯(lián)立①②并解得：x＝5或﹣2（舍去﹣2），故點(diǎn)Q（5，-7BCAB=4545，而ABAQ=52454，故BC故舍去，Q的對(duì)稱點(diǎn)（﹣4，-7即點(diǎn)Q的為：（﹣4，-72）、（5，綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（1，32）或（6，﹣6）或（﹣5，﹣6【典例5】（2019?貴港三模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出四邊形PAOC周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BPQ與△BAC相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【點(diǎn)撥】（1）將A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）代入線y＝ax2+bx+c，求出a、b、c即可；（2）四邊形PAOC的周長(zhǎng)最小值為：OC+OA+BC＝1+3+5＝9；（3）分兩種情況討論：①當(dāng)△BPQ∽△BCA，②當(dāng)△BQP∽△BCA．【解析】解：（1）由已知得a+b+c=016a+4b+c=0解得a=所以，拋物線的解析式為y=y=3（2）∵A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，如圖，連接BC，與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC＝BC，∴四邊形PAOC的周長(zhǎng)最小值為：OC+OA+BC，∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），∴OA＝1，OC＝3，BC＝5，∴OC+OA+BC＝1+3+5＝9；∴在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長(zhǎng)最小，四邊形PAOC周長(zhǎng)的最小值為9；（3）如圖，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），∴OB＝4，AB＝3，BC＝5，直線BC：y=-3由二次函數(shù)可得，對(duì)稱軸直線x=5∴P（52，98①當(dāng)△BPQ∽△BCA，BQBABQ3∴BQ=9∴OQ=OB-BQ=4-9Q1（238，0②當(dāng)△BQP∽△BCA，BQBC∴BQ5∴BQ=25∴OQ＝OB﹣BQ＝4-25∴Q2（78，0綜上，求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)（238，0）或（7鞏固練習(xí)1．（2019?相城區(qū)校級(jí)二模）如圖1，拋物線y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（8，0），與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0＜m＜8），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．（1）求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)△PMN的面積為S1，△AEN的面積為S2，若S1：S2＝36：25，求m的值；（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為30°，連接E'A、E'B，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)Q，使△AOE′～△BOQ，并求出Q的坐標(biāo)．【點(diǎn)撥】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法，把A（8，0）代入y＝ax2﹣6ax+6，解方程即可；（2）先運(yùn)用待定系數(shù)法求直線AB解析式，再利用△ANE∽△PNM和S1：S2＝36：25，可求得ANPN，建立關(guān)于m（3）由△AOE′～△BOQ，可分兩種情況：點(diǎn)Q在y軸右側(cè)或點(diǎn)Q在y軸左側(cè)；運(yùn)用相似三角形性質(zhì)分別求解即可．【解析】解：（1）把A（8，0）代入y＝ax2﹣6ax+6，得64a﹣48a+6＝0，解得a=-3∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=-38x2+9（2）如圖1，在y=-38x2+94x+6中，令x＝0，得∴B（0，6），令y＝0，得-38x2+94x+6＝0，解得：x1＝8，x∴A（8，0），設(shè)直線AB解析式為y＝kx+b，則8k+b=0b=6，解得∴直線AB解析式為y=-34∵PE⊥x軸，PM⊥AB∴∠AEN＝∠PMN＝90°，∵∠ANE＝∠PNM∴△ANE∽△PNM∴AEPM=ENMN=ANPN∵S1：S2＝36：25，∴PM∴ANPN=56，即6∵E（m，0）（0＜m＜8），∴P（m，-38m2+94m+6），N∴EN=-34m+6，PN＝PE﹣EN=-38m2+94mOE＝m，AE＝8﹣m，∵AB=O∴cos∠OAB=AEAN∴AN=54（8﹣∴6×54（8﹣m）＝5×（-38m2+3m），解得：m1＝∴m＝4；（3）如圖2，∵線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為30°，∴OE′＝OE＝4，∠AOE′＝30°∵△AOE′～△BOQ，∴OE'OA=OQOB，∠BOQ＝∠AOE∴48=OQ6，即OQ＝3，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥∴QH=12OQ=32∴當(dāng)點(diǎn)Q在y軸右側(cè)時(shí)，Q1（32，3當(dāng)點(diǎn)Q在y軸左側(cè)時(shí)，Q2（-32，綜上所述，Q的坐標(biāo)為：Q1（32，332），Q2（-2．（2019?武侯區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，以點(diǎn)A（﹣1，2）、C（1，0）為頂點(diǎn)作Rt△ABC，且∠ACB＝90°，tanA＝3，點(diǎn)B位于第三象限（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）以A為頂點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)C的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，并說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下（如圖2），AB交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E為直線AB上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，直線FF分別交y軸、AB于點(diǎn)G、H，若以點(diǎn)B、G、H為頂點(diǎn)的三角形與△ADC相似，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【點(diǎn)撥】（1）由∠ACB＝90°可聯(lián)想到構(gòu)造K字形相似．即可得△CNB～△AMC，由相似比＝tan∠BAC=BCAC=3，即可求出BN、NC（2）以A為頂點(diǎn)可設(shè)為y＝a（x+1）2+2，將C點(diǎn)代入即可求出a=-12，然后將B代入解析式也成立即可判定拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3）由直線AC解析式可知∠ACD＝45°，由EF⊥BC可知AC平行HG，以點(diǎn)B、G、H為頂點(diǎn)的三角形與△ADC相似，有兩種情況：Ⅰ．∠HGB＝45°，即BG⊥y軸，G點(diǎn)坐標(biāo)（0，﹣6），即可求出直線EG解析式，進(jìn)而求出E點(diǎn)．Ⅱ．）．∠HBG＝∠ACD＝45°時(shí)，∴G坐標(biāo)為（0，-133），同理可求此時(shí)【解析】解：（1）過(guò)C點(diǎn)作MN垂直x軸．過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作AM⊥MN，垂足為M，BN⊥MN，垂足為N，∵∠ACB＝90°，∴∠CBN＝∠ACM，∴△CNB～△AMC，∴BCAC∵A（﹣1，2）、C（1，0），∴AM＝2，CM＝2，又∵tanA=BCAC∴BN＝6，CN＝6，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣5，﹣6）．（2）設(shè)以A（﹣1，2）為頂點(diǎn)的拋物線為y＝a（x+1）2+2，∵拋物線經(jīng)過(guò)C（1，0）∴a（1+1）2+2＝0，∴a=-1∴函數(shù)解析式為y=-1當(dāng)x＝﹣5時(shí)，y=-12∴以A為頂點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)C的拋物線為y=-12(x+1)2+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3）∵點(diǎn)A（﹣1，2）、C（1，0），∴直線yAC＝﹣x+1，∠ACD＝45°，∵EF⊥BC，∴∠BHC＝DAC，∴以點(diǎn)B、G、H為頂點(diǎn)的三角形與△ADC相似，有兩種情況：Ⅰ．如圖2（1）．∠HGB＝45°，∵EG∥AC，∴BG∥CD，即BG⊥y軸，∴G坐標(biāo)為（0，﹣6）∴直線yEG＝﹣x﹣6，依題意得：y=-x-6y=-解得x1=15∴當(dāng)∠HGB＝∠ACD＝45°時(shí)△HBG∽ADC，即：E點(diǎn)坐標(biāo)為（-15Ⅱ．如圖2（2）．∠HBG＝∠ACD＝45°時(shí)，△HBG∽△ACD，∵過(guò)B點(diǎn)作BP⊥y軸，∴P點(diǎn)（0，﹣6）∵∠CBP＝45°，∴∠GBP＝∠ABC，又∵tan∠GBP=GPBP，tan∠ABC=13，∴GP=53，即G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，∴直線yEG依題意得：y=-x-13解得x1=105即E點(diǎn)為（-1053，綜上所述：E點(diǎn)坐標(biāo)為（-15，15-6）或（3．（2020?崇明區(qū)一模）如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)D是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OD交線段AC于點(diǎn)E．（1）求這條拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求∠ACB的正切值；（3）當(dāng)△AOE與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【點(diǎn)撥】（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式求得該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，構(gòu)造等腰直角△ABH和直角△BCH，利用勾股定理和兩點(diǎn)間的距離公式求得相關(guān)線段的長(zhǎng)度，從而利用銳角三角函數(shù)的定義求得答案；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥x軸于點(diǎn)K，構(gòu)造直角△DOK，設(shè)D（x，﹣x2﹣2x+3），則K（x，0）．并由題意知點(diǎn)D位于第二象限．由于∠BAC是公共角，所以當(dāng)△AOE與△ABC相似時(shí)，有2種情況：①∠AOD＝∠ABC．則tan∠AOD＝tan∠ABC＝3．由銳角三角函數(shù)定義列出比例式，從而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．②∠AOD＝∠ACB．則tan∠AOD＝tan∠ACB＝2．由銳角三角函數(shù)定義列出比例式，從而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解析】解：（1）設(shè)拋物線解析式為：y＝ax2+bx+c，將點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）分別代入得：9a-3b+c=0a+b+c=0解得：a=-1b=-2故拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3．由于y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）+4，所以該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，4）；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，AC＝32．∵∠BHA＝90°，∴∠HAB+∠HBA＝90°．∴∠HAB＝∠HBA＝45°．∵在直角△AHB中，AH2+BH2＝AB2，AB＝4．∴AH＝BH＝22．∴CH＝32-22∵∠BHC＝90°，∴∠ACB=BHCH（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥x軸于點(diǎn)K，設(shè)D（x，﹣x2﹣2x+3），則K（x，0）．并由題意知點(diǎn)D位于第二象限．∴DK＝﹣x2﹣2x+3，OK＝﹣x．∵∠BAC是公共角，∴當(dāng)△AOE與△ABC相似時(shí)，有2種情況：①∠AOD＝∠ABC．∴tan∠AOD＝tan∠ABC＝3．∴-x2-2x+3-x=3，解得x1=∴D（1-132，②∠AOD＝∠ACB．∴tan∠AOD＝tan∠ACB＝2．∴-x2-2x+3-x=2，解得x1=-∴D（-3，23綜上所述，當(dāng)△AOE與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1-132，313-32）或（4．（2019?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）拋物線C1：y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)M（﹣2，3）是拋物線上一點(diǎn)．（1）求拋物線C1的表達(dá)式．（2）若拋物線C2關(guān)于C1關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)A、B、M關(guān)于y軸的對(duì)稱分別為A′、B′、M′．過(guò)M′⊥x軸于點(diǎn)E，交直線A′C于點(diǎn)D，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得以A′、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△AB′C相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【點(diǎn)撥】（1）將點(diǎn)A、M的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）分當(dāng)點(diǎn)P在直線AC的左側(cè)、點(diǎn)P在直線AC的右側(cè)兩種情況，分別求解即可．【解析】解：（1）將點(diǎn)A、M的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得：0=9a-3b+33=4a-2b+3，解得：a=-1故拋物線C1的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由題意得：點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）、M（﹣2，3）、B′（﹣1，0）、A′（3，0），D（2，1），則AB′＝2，AC＝32，B′C=10，A′D=①當(dāng)點(diǎn)P在直線AC的左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在DM′左側(cè)時(shí)，A′、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△AB′C相似，則△AB′C∽△A′DP，則AB'A'P即：32A'P=22，解得：A故點(diǎn)P（0，0），當(dāng)點(diǎn)P在DM′左