2023蘇教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊同步練習(xí)第 6 章空間向量與立體幾何

第6章空間向量與立體幾何

6.3空間向量的應(yīng)用

6.3.3空間角的計算

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一空間兩直線所成的角

1.在長方體ABCD-AiBiCiD,中,AB=AD=1,AA1=2,設(shè)AC與BD交于點O,則異面

直線AQ與BDi所成角的余弦值為（）

.4V15口4/15?4V3?4V3

A--B.=C.--D—

2.（2021江蘇南通如皋中學(xué)期末）已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，平面

PCD,底面ABCD,且AB=4,BC=2,PC=PD=2b,則異面直線PB與AC所成角的

余弦值為.

題組二空間直線與平面所成的角

3.（2021江蘇常州前黃高級中學(xué)期末）在長方體ABCD-AIBIC!DI

中,AAI=1,AB=AD=2,E,F分別是AB,BC的中點，則直線CDi與平面ACFE所成

的角的正弦值為（）

A.半B點D等

51535

4.在三棱錐P-ABC中,PAL底面ABC,AC_LBC,AB=2BC=2PA=4,點D為PC的中

點,則直線PB與平面ABD所成角的正弦值為（）

A等B.等C.fD.萼

1535714

題組三空間平面與平面所成的角

5.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形,AB〃CD,且AC±BD,AC

與BD交于點O,PO_L底面ABCD,PO=2,AB=2V2,E,F分別是AB,AP的中點，則二

面角F-OE-A的余弦值為（）

B.絲CgD.至

6.（2021江蘇揚州中學(xué)期末）如圖，在三棱柱ABC-AiBiCi

中,AC_LCCi,AC_LBC,AC=BC=2,NCiCB=6（T,CCi=3,點D,E分別在棱AAi,CG上,

且AD=1,CE=2,則二面角B-BiE-D的正切值為.

7.如圖所示，在三棱錐S-ABC中,O為BC的中點,SO平面ABC,側(cè)面SAB與側(cè)

面SAC均為等邊三角形,NBAC=90。,求平面SAC與平面SBC夾角的余弦值.

能力提升練

題組一空間兩直線所成的角

1.（2021江蘇南京金陵中學(xué)月考）如圖所示的幾何體是由等高的半圓柱體與直三棱

柱構(gòu)成的，半圓柱體底面直徑BC=4,AB=AC,NBAC=9（T,D為半圓弧的中點，若異

面直線BD和ABi所成角的余弦值為|,則該幾何體的體積為（）

D

A.16+8兀B.32+16TT

C.32+8兀D.16+16兀

2.如圖，已知矩形ABCD與矩形ABEF全等,二面角D-AB-E為直二面角,M為AB

的中點,FM與BD所成的角為。，且coseW，則鬟()

yDC

A.lB.V2C*D.i

22

3.等邊△ABC的邊長為3,點D,E分別是AB,AC上的點，且滿足黑=告』如圖①),

UDLAL

將^ADE沿DE折起到△AQE的位置，使平面AQE,平面BCED,連接

AiB,AiC（如圖②）.

⑴求證:AiDJ_平面BCED;

⑵在線段A.B上是否存在點P,使直線DP與直線EA,所成角的余弦值為卷?若存

在,求出空的值;若不存在,請說明理由.

圖①圖②

題組二空間直線與平面所成的角

4.(2021江蘇揚州期末)

如圖，在正方體ABCD-ABCD中Q是AC的中點，點P在線段AC上,若直線

OP與平面A.BCi所成的角為。，則cos9的取值范圍是（)

'V2V31rV6V7'

BD.片

riii

?V3V31D--

14,3J

5.（多選）（2022江蘇無錫天一中學(xué)期中）

如圖，在正方體ABCD-ABCD中，點P在線段BC上運動，則下列結(jié)論正確的是

（）

A.直線BDi_L平面AiGD

B.三棱錐D-AiCF的體積為定值

C.異面直線AP與AQ所成的角的取值范圍是，A

D.直線CiP與平面A.CiD所成角的正弦值的最大值為當(dāng)

6.（2022江蘇常州期末）如圖,在梯形ABCD中,BC〃AD,E在線段AD上，且

BC=BE=ED=V^.沿BEWAABE折起，使點A到達(dá)點A，的位置，且滿足A'BICE.

（1）證明:CEJ_平面A'BD;

（2）若在梯形ABCD中,cosNADc1,折起后A，在平面BCDE上的射影O恰好是

BD與CE的交點，求直線A'B與平面ACD所成角的正弦值.

圖②

題組三空間平面與平面所成的角

7.（2021江蘇鹽城伍佑中學(xué)期末）如圖，在正三棱柱ABC-AIBICI中,AB=2,AA尸3,D

為BC的中點，點E為線段AC上的點，且滿足AiE=mEC（m>0）,當(dāng)二面角E-AD-C

的余弦值為需時，實數(shù)m的值為（）

1

A.lB.2髭D.3

8.（2021江蘇常州期末）在多面體ABCDE中，平面ACDEJL平面ABC,四邊形

ACDE為直角梯形,CD〃AE,AC_LAE,AB，BC,CD=1,AE=AC=2,F為DE的中點,

且點E滿足麗=4前.

⑴證明:GF〃平面ABC;

（2）當(dāng)多面體ABCDE的體積最大時，求二面角A-BE-D的余弦值.

E.

I)

C

9.（2022江蘇南通如皋中學(xué)月考）如圖,在平面四邊形ABCD

中,AB=AD,BC=CD=V^,且BC_LCD,以BD為折痕把^ABD和^CBD向上折起,

使點A到達(dá)點E的位置，點C到達(dá)點F的位置（E,F不重合）.

⑴求證:EFJ_BD;

（2）若平面EBDJ_平面FBD,點E在平面ABCD內(nèi)的投影6為4ABD的重心，且

直線EF與平面FBD所成的角為60。,求二面角A-BE-D的余弦值.

答案與分層梯度式解析

6.3.3空間角的計算

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.D以D為原點,DA,DC,DDi所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系，

則人］(1,0,2),8(1,1,0),0&飆),口(0,0,2),所以硯=(方,，-2),西=(-1,-1,2),所以

|cos＜而西＞|=卜2T——二祟

J4+1+4XVI+T+4

故異面直線AQ與BD］所成角的余弦值為殍.

故選D.

2.答案得

解析如圖，過點P作POLDC于點O,以O(shè)為坐標(biāo)原點,CD,OP所在直線分別為

x軸,z軸，過點O且與AD平行的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(2,2,0),C(-2,0,0),B(-2,2,0),P(0,0,20,所以兩=(-2,2,-2甸，芯=(-4,-2,0),所以兩位

=8-4+0=4,|國=4,|詞=26設(shè)異面直線PB與AC所成的角為。，所以cos

兩格=吧吧=.<后一

(=|1cos<'1\PB\-\AC\4x275510.

方法總結(jié)

、最異面直線所成角的方法

(1)幾何法(定義法):作出異面直線所成的角，然后把角放在三角形中，通過解三

角形得解.

(2)向量法:建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩直線的方向向量的夾角的余弦值的絕

對值，即可得異面直線所成角的余弦值，從而得解.

3.B如圖，以D為原點,DA,DC,DDi所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，則人1(2,0,1)四2』,0)?(0,2,1),口1(0,0,1)，(0,2,0),所以可=(0,-2,1),不=(0,1,-

1),宿=(-2,2,0),設(shè)平面AiCiFE的一個法向量為n=(x,y,z),則｛:?A]E=0,所以

,Aig=0,

堂_n取z=l,則y=l,x=l,所以n=(l,l,l),所以直線CD1與平面AiC.FE所成的

、乙人?4yu.

角的正弦值為翻唱故選B.

4.B以C為原點，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,如圖所示，則

(3(0,0,0)內(nèi)2同0,0)仇2同0,2)1(0,2,0),口(b,0,1),所以兩=(-2同2,-2),同=(-

2國,2,0),而=(-遮,0,1),設(shè)平面ABD的一個法向量為n=(x,y,z),則

(n-AB=-2^x+2y=。，令x=1,得丫=百片圈所以n=(l,6,遮).設(shè)直線PB與平面ABD

ln-AD=-V3x+z=0,

所成的角為a則sin0=|cos＜兩。|=需=/=甯.故選B.

1|PB||n|275x7735

5.B以O(shè)為坐標(biāo)原點,OB,OC,OP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

X

由題易得OA=OB=2,

則0(0,0,0),A(0,-2,0),B(2,0,0),P(0,0,2).

?:E,F分別是AB,AP的中點，

.,.E(1,-1,O),F(O,-1,1),

.?.d￡=(l,-l,0),OF=(0,-l,l).

設(shè)平面OEF的一個法向量為m=(x,y,z),

m-OE=O,grj(x-y=0,

則,m-OF=0,Uy+z=0,

令x=l,則y=l,z=l,.*.m=(l,l,l),

易知平面OAE的一個法向量為n=(0,0,D,

貝!Jcos<m,n>=用=[=噂，

|m||n|733

由圖知二面角F-OE-A為銳二面角，

.,?二面角F-OE-A的余弦值為圣故選B.

6.答案等

解析因為AC±BC,AC±CC1,BCACC1=C,>BC,CGu平面BCCiBi,所以AC±

平面BCGBi,所以向量元為平面BCCiBi的一個法向量，分別以CA,CB所在直線

為x軸,y軸，垂直于平面ABC且過點C的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系C-xyz,則A(2,0,0),C(0,0,0),B(0,2,0),D(2,i,y),E(0,l,V3),Bi(0,^),

所以說=Q4與，函=(o,|有，標(biāo)=(-2,0,0),

設(shè)平面BiED的一個法向量為m=(x,y,z),則『.亭]一三丁容二

(?n-EBi=-y+yz-0,

令z=5,則x=2,y=-VI,所以m=(V3,-V3,5).

設(shè)二面角B-B.E-D的大小為0,易知9為銳角，所以cos

|AC-7n|_2V3_\^3

0=|cos<^4c,m>|—|AC||7n|-V4xV31-

因此sin。=11-祭嚼,

所以tan。$篝=攀

cos0V33

7.解析因為△SAB與^SAC均為等邊三角形，所以SA=SB=SC=AB=AC.連接

OA,則OA_LBC.以O(shè)為坐標(biāo)原點,OB,OA,OS所在直線分別為x軸,y軸,z軸，建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

設(shè)B(l,0,0),貝ijC(-1,0,0),A(0,1,0),S(0,0,1),0(0,0,0),

所以療=(0,1l),sc=(-1,0,-1),^4=(0,1,0).

設(shè)平型SAC的一個法向量為n=(x,y,z),

則卜,巨=y-z=o,

(n-SC=—x—z=0,

令x=l,則z=-l,y=-l,所以n=(l,-l,-l).

易知平面SBC的一個法向量為加=(0,1,0).

所以|cos<o7,n>|=-y,

所以平面SAC與平面SBC夾角的余弦值為圣

能力提升練

1.A設(shè)D在下底面半圓上的射影為Di,連接ADi交BC于O,設(shè)AtDnBiCi=Oi.

依題意知ADi，BC,AiD，B]Ci,且O,Oi分別是下、上底面半圓的圓心，連接OOi,

則OOi與上、下底面垂直，所以O(shè)O」OB,OOi_LOA,易知OA_LOB,分別以

話,蘇,西的方向為x軸,y軸,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)幾何體的高為h,

則3(2,0,0)0(0,-2由)6(0,2,0)上1(2,0由),所以麗=(-2,211),畫=(2「2,11),由于異面直線

BD和ABi所成角的余弦值為I，所以|熹騫上h2=1，即工4所以h2=16,解得

^8+/12^8+/123o+/lJ

h=4（負(fù)值舍去），所以該幾何體的體積為￡7rx22x4+畀4x2x4=16+8兀故選A.

2.C以A為原點,AF所在直線為x軸,AB所在直線為y軸,AD所在直線為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2a,BC=2b,則

F(2b,0,0),M(0,a,0),B(0,2a,0),D(0,0,2b),FM=(-2b,a,0),BD=(0,-2a,2b).VFM與BD所

成的角為。，且cos

2244

.,.cose=|cos＜前而＞|=密罌=12a2=￡整理，得5ab+4b-26a=0,.*.-

IFMHBDI4a2+4廬9

26x(：)4+5x()+4=。,解得(：)三或(滬9(舍去)，，髭考，故選C.

3.解析⑴證明:根據(jù)題意，知AE=2,AD=l,A=60。,從而

DE=V12+22-2xlx2xcos60°=V3,

故AD2+DE2=AE2,AD±DE,BD±DE,

AAiDlDE.

?.?平面A】DE_L平面BCED,平面AQEC平面BCED=DE,AiDu平面AiDE,

，AiDJ_平面BCED.

(2)存在.由(1)知AiD,BD,DE兩兩垂直，則以D為坐標(biāo)原點,DB,DE,DAi所在直線

分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,如圖，

則D(0,0,0),AI(0,0,1),B(2,0,0),E(0,V3,0),

...^B=(2,0,-l),^E=(0,V3,-l),

TS^7P-^^7B-(2X,O,-X),O<A,<1,

...P(2X,0,l4),則赤=(2兀0,1-X),

.J|85<旗碇>|=|^^卜一利一一=二

]廄MEI|2J412+(1_X)2d

?.?弓即篇或

4.B以D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DDi所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方體的棱長為2,則0(1,1,0)內(nèi)(2,0,2)出(2,2,0)?(0,2,2),所以不=(0,2,-

2),宿=(-2,2,0),設(shè)P(a,2-a,2)(0SaW2),則加(a-l,l-a,2),設(shè)平面AiB。的一個法向量為

n=(x,y,z),則[:黑二°。即匿f工°令x=l,貝ijy=l,z=l,所以n=(1,1,1),

所以sin舊函卜Q-I+I-Q+2—2x1

22

V3xj2x(a-l)+2瓜J31)2+2

因為O0a02,所以J(a-1)2+2e[V2,V3],

即隹h，耳2j

即5出09乂高片金停有，所以siM蚱展],

所以i-si/ew圖，又。w[o,3

所以COS0=V1—sin20G[y（y].

5.ABD如圖，以D為原點,DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DDi所在直

線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方體ABCD-AIBICIDI的棱長為1,

則D(0,0,0),B(l,l,0),D.(0,0,l),Ai(l,0,D,Ci(0,l,l),

所以=(-11,1),44=(-1,1,0),C]D=(0,-l,-l),

所以西西甲=0,

所以西西訓(xùn)，即BDI±AICI,BDI±CID.

因為AICICICID=CI,AICI,CIDU平面AiCiD,所以直線BDiJ_平面ACiD,故A正

確；

因為AID〃BIC,AIDU平面AiGD,B]C0平面ACQ,所以BC〃平面AiC,D.

因為點P在線段BiC上運動，所以點P到平面AiCiD的距離為定值，又△A.CiD的

面積為定值,所以利用等體積法知三棱錐D-A.C.P的體積為定值，故B正確；

因為AQ〃BiC,所以異面直線AP與AQ所成的角即為AP與BiC所成的角，

當(dāng)點P位于點C時,AP與BiC所成的角為60。,當(dāng)點P位于BiC的中點時，連接

BP,AP,因為ABJ_平面BCCiBi,BiCu平面BCCiBi,所以ABJ_BiC,又

BPJ_BiC,ABnBP=B,AB,BPu平面ABP,所以BiCJ_平面ABP,又APu平面ABP,

所以APJ_BC,此時,AP與BiC所成的角為90°,

設(shè)異面直線AP與AQ所成的角為a,則60映（在90。,即a可輔]，故C錯誤；

設(shè)「但,1m）,易得于=（也0/-1）.

因為直線BDi，平面ACQ,所以西=（-1,-1,1）是平面AiC.D的一個法向量,

所以直線C.P與平面A,CiD所成角的正弦值為

皿幽|1_.1

sin<c\P,^D^>=-

鼐H西I河工加J

所以當(dāng)a后時，直線CiP與平面ACQ所成角的正弦值取得最大值，且最大值為

f=槳故D正確.故選ABD.

6.解析⑴證明:因為BC=BE=ED,BC//DE,所以四邊形BCDE為菱形，所以

BDLEC,又A，B，EC,ABflBD=B,BDu平面A，BD,A，Bu平面ABD,所以EC,平

面A'BD.

(2)因為A，OJ_平面BCDE,BDu平面BCDE,CEu平面BCDE,所以

AO，BD,A，0，CE,又BDJ_EC,所以A'O,CE,BD兩兩垂直.

以O(shè)為原點,OC所在直線為x軸QD所在直線為y軸QA，所在直線為z軸，建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

在菱形BCDE中,cosNEBC=cosNEDC=cosNADCW，BC=BE=6,

所以CE=Js+5-2xV5xV5x-V8=2V2,

易知BD=2V3,

設(shè)A'O=t(t>0),

則AE=A'E=Vt2+2,AB=A'B=Vt2+3.

在菱形BCDE中,BE〃CD,

所以cosNAEB=cosNADC=g,

在^AEB中,由余弦定理得t2+3=t2+2+5-2GTIx付§解得t=3近(負(fù)值舍去).

易得B(O,-M,O),C(eQO),D(O,國,0),A'(0,0,3&),

所以誦=(0,-百,-3仞,/=(迎,0,-3⑨，方=(-魚,代,0).

設(shè)平叫ACD的一個法向量為m=(x,y,z),

則fzn，A'C=V2x-3az=0,

lm-CD=-V2x+V3y=0,

令X=36，則y=3V2,Z=V3,

所以m=(3A3V2,V3).

設(shè)直線A'B與平面ACD所成的角為9,

則sinO=|cos<"瑞等嘿那察

所以直線A'B與平面ACD所成角的正弦值為空.

14

7.A如圖所示，過點A在平面ABC內(nèi)作人*，人（2.以人為原點八乂八（2八人|所在

直線分別為x軸,y軸,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0,0,0）,D俘，洌秧扁，舟,

因此）=（右I，。）刀=（。，怨，言）?

設(shè)平面ADE的一個法向量為n=（x,y,z）,

fV33

x+-y=0,

則n.亞=0,即T

n-AE=0,型+三=0,

lm+1m+l

令y=-l,則x=V5,z=等所以n=（怎1,竿），

易知平面ADC的一個法向量為e=（0,0,l）,

由二面角E-AD-C的余弦值為噂徘…e*號嚕

所以m2=l,Xm>0,所以m=l.故選A.

8.解析⑴證明:如圖,分別取AB,EB的中點M,N,連接CM,MN,ND,

貝ijMN〃AE,MN=|AE.

在梯形ACDE中,CD〃AE且CD=|AE,

.「MN〃CD,MN=CD,

四邊形CDNM是平行四邊形,「.CM〃DN.

,前三麗,N為EB的中點，

...G為EN的中點.

又F為ED的中點，

.?.GF〃DN,；.GF〃CM,

又CMu平面ABC,GF0平面ABC,

.,.GF〃平面ABC.

(2)過B作BHLAC于H.

?.?平面ACDEL平面ABC,平面ACDECl平面ABC=AC,BHu平面ABC,

.?.BH,平面ACDE,

ABH即為四棱錐B-ACDE的高，

又底面ACDE的面積確定,.?.要使多面體ABCDE體積最大，應(yīng)使BH的長度最大,

此時AB=BC=V2,H為AC的中點，

易知HB,HC,HF兩兩垂直.

以H為原點,HB,HC,HF所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系H-xyz,

則A(0,-1,0),B(1,0,0),E(0「1,2),D(0,1,1),.?.同=(1,1,0),旗=(-11,2),方=(0,-2,1).

設(shè)ni=(xi,yi,z。為平面ABE的一個法向量，

(nrBE=0,t-X]-%+2zi=0,

令X1=1,則yi=-l,zi=0,.*.m=(l,-l,0).

設(shè)112^2,y2,Z2)為平面DBE的一個法向量，

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