洪梅中學(xué)C班黃毅龍說題

說題目的來源背景

泉州市2013年中考數(shù)學(xué)卷24題：

【問題】某校為培養(yǎng)青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動漫制作活動，小明設(shè)計了點(diǎn)做圓周運(yùn)動的一個雛型.如圖所示，甲、乙兩點(diǎn)分別從直徑的兩端點(diǎn)A、B以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運(yùn)動.甲運(yùn)動的路程與時間滿足關(guān)系：乙以4cm/s的速度勻速運(yùn)動，半圓的長度為21cm.（1）甲運(yùn)動4s后的路程是多少？（2）甲、乙從開始運(yùn)動到第一次相遇時，它們運(yùn)動了多少時間？（3）甲、乙從開始運(yùn)動到第二次相遇時，它們運(yùn)動了多少時間？說題目的立意

本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，考查分析問題的能力、邏輯思維能力、識圖能力、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。說解法分析此題是屬于封閉路線中的相遇的行程問題，已知條件：，V乙=4cm/s，L半圓=21cm，同時出發(fā)，相向而行?？梢越柚鷪D示直觀地解決：

圖一甲AB乙C圖二甲AB乙（1）根據(jù)題目所給的函數(shù)解析式把t=4s代入求得L的值即可；（2）、（3）根據(jù)圖可知，等量關(guān)系：第一次相遇：S甲+S乙=1個半圓，第二次相遇：S甲+S乙=1個半圓+1個圓周。

解：（1）當(dāng)t=4s時，

答：甲運(yùn)動4s后的路程是14cm；（2）由圖可知，甲乙第一次相遇時走過的路程為半圓21cm，甲走過的路程為，乙走過的路程為4t，則，解得：t=3或t=﹣14（不合題意，舍去），答：甲、乙從開始運(yùn)動到第一次相遇時，它們運(yùn)動了3s；（3）由圖可知，甲乙第一次相遇時走過的路程為三個半圓：3×21=63cm，則，解得：t=7或t=﹣18（不合題意，舍去），答：甲、乙從開始運(yùn)動到第二次相遇時，它們運(yùn)動了7s．【知識梳理】1、列一元二次方程解應(yīng)用題：①分析題意，找出題中已知量和未知量及等量關(guān)系；②設(shè)未知數(shù)，列方程；③解方程；④檢驗(yàn)；⑤作答。2、解決封閉路線中的行程問題：①仍要抓住“路程=速度×?xí)r間”這個基本關(guān)系式，搞清路程、速度、時間三者之間的關(guān)系。②必須弄清物體運(yùn)動的具體情況。如：運(yùn)動的方向（相向、同向），出發(fā)的時間（同時、不同時），出發(fā)的地點(diǎn)（同地、不同地），運(yùn)動的結(jié)果（相遇幾次）。變式拓展

變式一：（添加問題）甲、乙從開始運(yùn)動到第27次相遇時，它們運(yùn)動了多少時間？

可以借助圖示直觀地發(fā)現(xiàn)：

從第一相遇后，每增加1次相遇，路程和將增加一圓周即42cm，第n次相遇，把n=27代入得t=42或t=﹣53（不合題意，舍去），小結(jié)：

第n次相遇：S甲+S乙=1個半圓+（n-1)個圓周。強(qiáng)調(diào)：運(yùn)用特殊與一般思想圖二甲AB乙圖一甲AB乙C圖一甲AB乙圖二甲AB乙變式二：（把“相向”變“同向”：乙點(diǎn)“逆時針”的方向改為“順時針”的方向，即把“相遇問題”變?yōu)椤白芳皢栴}”。）某校為培養(yǎng)青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動漫制作活動，小明設(shè)計了點(diǎn)做圓周運(yùn)動的一個雛型.如圖所示，甲、乙兩點(diǎn)分別從直徑的兩端點(diǎn)A、B均以順時針的方向同時沿圓周運(yùn)動.甲運(yùn)動的路程與時間滿足關(guān)系：乙以4cm/s的速度勻速運(yùn)動，半圓的長度為21cm.（1）甲、乙從開始運(yùn)動到第一次追及時，它們運(yùn)動了多少時間？（2）甲、乙從開始運(yùn)動到第二次追及時，它們運(yùn)動了多少時間？

變式拓展分析：此題是屬于封閉路線中的追及的行程問題，已知條件：V乙=4cm/s，L半圓=21cm，同時出發(fā)且同向而行。但到底是誰追誰呢？因此必須進(jìn)行分類討論：(1)當(dāng)甲追上乙時,借助圖示直觀地發(fā)現(xiàn):等量關(guān)系第一次追及：S甲－S乙=1個半圓，第二次追及：S甲－S乙=1個半圓+1個圓周,拓展：第n次追及：S甲－S乙=1個半圓+（n-1)個圓周。(2)當(dāng)乙追上甲時,借助圖示直觀地發(fā)現(xiàn):等量關(guān)系第一次追及：S乙－S甲=1個半圓，第二次追及：S乙－S甲=1個半圓+1個圓周,拓展：第n次追及：S乙－S甲=1個半圓+（n-1)個圓周。解：當(dāng)甲追上乙時,（1）解得或（不合題意，舍去），答：甲、乙從開始運(yùn)動到第一次追及時，它們運(yùn)動了.(2)解得t=14或t=-9（不合題意，舍去），答：甲、乙從開始運(yùn)動到第二次追及時，它們運(yùn)動了14s；當(dāng)乙追上甲時,

化簡得，

此時，，因此原方程無解。

所以不可能是乙追及甲，不必再做第（2）題了。綜上所述，（1）甲、乙從開始運(yùn)動到第一次追及時，它們運(yùn)動了；（2）甲、乙從開始運(yùn)動到第二次追及時，它們運(yùn)動了14s；

小結(jié)：第n次追及：S快－S慢=1個半圓+（n-1)個圓周。

強(qiáng)調(diào)：運(yùn)用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，物理中相對靜止的知識。變式三：（把“異地”出發(fā)改為“同地”出發(fā)）即甲、乙兩點(diǎn)分別從直徑的端點(diǎn)A以順時針、逆時針的方向同時沿圓周運(yùn)動.其余不變，情況又如何呢？分析：只要找準(zhǔn)等量關(guān)系，問題就迎刃而解。若是同時同地異向出發(fā)，則第n次相遇的等量關(guān)系：S甲+S乙=n個圓周附加說明：若是同時同地同向出發(fā)，則第n次追及的等量關(guān)系：S快－S慢=n個圓周

變式拓展說解后反思1、解決封閉路線中的行程問題：①仍要抓住“路程=速度×?xí)r間”這個基本關(guān)系式，搞清路程、速度、時間三者之間的關(guān)系。②必須弄清物體運(yùn)動的具體情況。如：運(yùn)動的方向（相向、同向），出發(fā)的時間（同時、不同時），出發(fā)的地點(diǎn)（同地、不同地），運(yùn)動的結(jié)果（相遇幾次或追及幾次）。