福建省福州市閩江口協(xié)作體2024屆高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1福建省福州市閩江口協(xié)作體2024屆高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)榧?，所以，故選：A.2.已知，復(fù)數(shù)，則以下為實(shí)數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，，所以.故選：C.3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)，則，所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除C、D；當(dāng)時(shí)，，所以，則，故排除B.故選：A4.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形是用斜二測(cè)畫法得到的四邊形的直觀圖，則四邊形的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由直觀圖知：四邊形中，且其對(duì)應(yīng)高，所以四邊形的面積為.故選：D.5.已知函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.關(guān)于軸對(duì)稱 D.關(guān)于中心對(duì)稱【答案】D【解析】函數(shù)定義域?yàn)?，且，所以是非奇非偶函?shù)，故A、B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以不關(guān)于對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；又，所以關(guān)于中心對(duì)稱，故D正確；故選：D.6.圓臺(tái)的內(nèi)切球的表面積與圓臺(tái)的側(cè)面積之比為，則圓臺(tái)母線與底面所成角的正切值為（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，上底面的圓的半徑為，下底面的圓的半徑為，如圖，作，則E為切點(diǎn)，有，，所以，，得，故母線的長(zhǎng)為，在中，，即，得.又內(nèi)切球的表面積與圓臺(tái)的側(cè)面積之比為，所以，由得，設(shè)母線與底面的夾角為，則.故選：D.7.函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，且，在上僅有兩條對(duì)稱軸，則可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，且在上僅有兩條對(duì)稱軸，所以，又且，得.由函數(shù)的零點(diǎn)為，得，得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí).故選：A.8.正四棱柱中，，四面體體積為，則與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)樗拿骟w體積為，所以，解得，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)與平面所成的角為，所以，故選：C.二、多項(xiàng)選擇題9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，故，所以，A正確；B選項(xiàng)，，因?yàn)?，所以，故，B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即，故D正確.故選：ABD.10.已知，且角的終邊上有點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由，得，則角為第四象限角，，顯然，因此，A正確；顯然，B錯(cuò)誤；C正確；D正確.故選：ACD.11.在三棱柱中，為的中點(diǎn)，，平面，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.平面平面 B.平面平面C.平面 D.【答案】ABC【解析】在三棱柱中，平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則、、、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，平面與平面不垂直，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，平面與平面不垂直，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，因?yàn)?，則與平面不平行，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，則，所以，，D對(duì).故選：ABC.12.在中，，為中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則（）A.B.C.四邊形的面積是面積的D.和的面積相等【答案】AB【解析】對(duì)于A中，因?yàn)椋礊椋拷c(diǎn)）的三等分點(diǎn)，所以，所以A正確；對(duì)于B中，設(shè)，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，可得，以為三點(diǎn)共線，可得，所以，可得且，解得，即，所以B正確；對(duì)于C中，設(shè)的面積為，因?yàn)?，可得，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，且，可得，所以四邊形的面積為，所以C不正確；對(duì)于D中，由，可得，所以，所以和的面積不相等，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題13.已知向量、的夾角的余弦值為，，，則________．【答案】【解析】因?yàn)橄蛄?、的夾角的余弦值為，，，所以，所以.故答案為：14.函數(shù)的值域?yàn)開_______．【答案】【解析】因?yàn)?，又，所以，所以，所以，所以，所以函?shù)值域?yàn)?故答案為：15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則______.【答案】44【解析】設(shè)公差為，有，可得，有，.故答案為：44.16.在四棱錐中，底面為矩形，平面，則以為球心，以為半徑的球，被底面截得的弧長(zhǎng)為________；若是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________．【答案】【解析】因?yàn)槠矫?，底面為矩形，則以為球心，以為半徑的球與底面的交線為以為圓心，為半徑的圓弧，在上取一點(diǎn)，使得，連接，則的長(zhǎng)度即為以為球心，以為半徑的球，被底面截得的弧長(zhǎng)，由，，所以，則，所以，則的長(zhǎng)度為，即以為球心，以為半徑的球，被底面截得的弧長(zhǎng)為，將面翻折到與平面共面，連接交于點(diǎn)，此時(shí)取得最小值為（平面圖形如下所示），因?yàn)椋?，，所以，，，，，所以，又，所以，，所以，又，所以（?fù)值舍去），即的最小值為.故答案為：；四、解答題17.已知數(shù)列滿足：，數(shù)列為等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求和：．解：（1）因?yàn)?，，?shù)列為等比數(shù)列，所以，，則，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，則.（2）.18.在銳角中，．（1）求；（2）在內(nèi)有點(diǎn)，使得，求．解：（1）依題意，，由余弦定理得，即，，解得或，當(dāng)時(shí)，，鈍角，不符合題意，所以.由于，是銳角，所以，由正弦定理得.（2）設(shè)，則，則，則，在三角形中，由余弦定理得，，解得或（舍去）.所以，在三角形中，由余弦定理得，由于為銳角，所以，所以.19.已知函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)關(guān)于的不等式的解集為．若集合中的整數(shù)元素只有兩個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意知，是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，則，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以；（2）由（1）知，，則，又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，由，得，即.當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)集合A不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，對(duì)于方程，若，則，不等式的解集為，此時(shí)集合A不滿足題意；若，則，不等式的解集為，又集合A有2個(gè)整數(shù)元素，所以，則，解得；若，則，不等式的解集為，此時(shí)集合A不滿足題意；若，則，不等式的解集為，又集合A有2個(gè)整數(shù)元素，所以，則，無解.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.20.如圖，在長(zhǎng)方體中，為中點(diǎn)，．（1）求；（2）求二面角的正弦值．解：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，，所以，，因?yàn)?，所以，解得（?fù)值舍去），所以.（2）由（1）可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)二面角為，由圖可知二面角為銳二面角，所以，所以，即二面角的正弦值為.21.若，，，且的對(duì)稱中心到對(duì)稱軸的距離的最小值為．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求在上的值域．解：（1）因?yàn)?，，且，所以，又的?duì)稱中心到對(duì)稱軸的距離的最小值為且，所以，即，解得，所以，令，，解得，，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，，令，，解得，，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，.（2）因?yàn)?，則，所以，所以，則在上的值域?yàn)?22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；（2）請(qǐng)判斷函數(shù)是否可能有兩個(gè)零點(diǎn)，并說明理由；（3）設(shè)，若對(duì)任意的，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值