浙江省衢州、麗水、湖州三地市2024屆高三上學(xué)期11月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1浙江省衢州、麗水、湖州三地市2024屆高三上學(xué)期11月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵在單調(diào)遞增，∴，則.故選：C.2.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，所以.故選：A.3.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由已知得，，，若，則，即，解得，所以“”“”，但“”“”，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B．4.下列命題中錯(cuò)誤的是（）A.已知隨機(jī)變量，則B.已知隨機(jī)變量，若函數(shù)為偶函數(shù)，則C.數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，8，10的第80百分位數(shù)是8D.樣本甲中有件樣品，其方差為，樣本乙中有件樣品，其方差為，則由甲乙組成的總體樣本的方差為【答案】D【解析】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，由函數(shù)為偶函數(shù)，則，所以，所以區(qū)間，關(guān)于對(duì)稱，則，B正確；對(duì)于C，，所以數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，8，10的第80百分位數(shù)是第六個(gè)數(shù)據(jù)8，C正確；對(duì)于D，由按分層抽樣樣本方差的計(jì)算公式可知選項(xiàng)缺少平均數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)，D錯(cuò)誤.故選：D.5.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，而，則，，因此，即有，所以.故選：C.6.已知是等比數(shù)列前項(xiàng)和，且，，則（）A.11 B.13 C.15 D.17【答案】C【解析】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，所以成等比數(shù)列，且，所以，又因?yàn)?，，所以，即，解得或，因?yàn)椋?，故選：C．7.設(shè)函數(shù)，且函數(shù)在恰好有5個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，令，得，因?yàn)楹瘮?shù)在恰好有5個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在上恰有5條對(duì)稱軸．當(dāng)時(shí)，，令，則在上恰有5條對(duì)稱軸，如圖：所以，解得．故選：B．8.四棱錐的底面是平行四邊形，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，平面將四棱錐分成兩部分的體積分別為，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，連接交于點(diǎn)，連接，則平面將四棱錐分成多面體和多面體兩部分，顯然.設(shè)平行四邊形的面積為，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，設(shè)到平面的距離為，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為，取中點(diǎn)，連接，則，且，又點(diǎn)共線且，所以，且，所以，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為，故，,因此.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題9.已知直線：與圓：有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，，則（）A.直線過(guò)定點(diǎn) B.當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)的最小值為C.半徑的取值范圍是 D.當(dāng)時(shí)，有最小值為【答案】ABD【解析】由直線，可化為，由方程組，解得，即直線過(guò)定點(diǎn)，所以A正確；當(dāng)時(shí)，圓的方程為，可得圓心，則，可得線段長(zhǎng)的最小值為，所以B正確；因?yàn)橹本€與圓有總有兩個(gè)公共點(diǎn)，可得點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以，解得，所以C不正確；當(dāng)時(shí)，圓的方程為，則，當(dāng)直線過(guò)圓心，此時(shí)，可得的最小值，所以有最小值為，所以D正確.故選：ABD.10.關(guān)于函數(shù)由以下四個(gè)命題，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱B.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.的圖象關(guān)于對(duì)稱D.的最小值為2【答案】AC【解析】由函數(shù)，其定義域?yàn)椋?，故函?shù)為偶函數(shù)，故A正確，B錯(cuò)誤；由，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故C正確；當(dāng)時(shí)，，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.正方體中，，分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且，則（）A.與的距離是定值 B.存在點(diǎn)使得和平面平行C. D.三棱錐的外接球體積有最小值【答案】ACD【解析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則對(duì)A，由圖可知，因?yàn)榕c是異面直線，轉(zhuǎn)化為求異面直線的距離，因?yàn)?平面，所以，所以點(diǎn)到的距離為的一半，等于，即為異面直線與的距離；故A正確；對(duì)B，，設(shè)平面的法向量為則，取，則，所以，若存在點(diǎn)使得和平面平行，因?yàn)?，則，故，不符合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，所以則，所以，故C正確；對(duì)D，采用補(bǔ)體積法，將三棱錐補(bǔ)到以為底面以為高的長(zhǎng)方體里，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的半徑的二倍，體對(duì)角線長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；故D正確；故選：ACD.12.已知函數(shù)，若，其中，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】因?yàn)?，，所以，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，或，，，整理得：，所以的對(duì)稱中心為，如圖所示：令，則由圖可知：，，，所以A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)中，，又因?yàn)?，所以，且，所以，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故，所以，B正確；C選項(xiàng)中，根據(jù)三次方程的韋達(dá)定理知，，所以，所以C正確；D選項(xiàng)中，因?yàn)?，，，所以，由，知，，由B知，，所以，故，又，所以，所以D正確.故選：BCD.三、填空題13.展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，.故答案為：14.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則______.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，，，所以，，則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，，，，，，，，所以，，又因?yàn)椋裕?故答案為：.15.已知函數(shù)，，寫(xiě)出斜率大于且與函數(shù)，的圖象均相切的直線的方程：______.【答案】【解析】∵，∴，，設(shè)相切的直線與函數(shù)，的圖象的切點(diǎn)分別為，，且，∴，且，解得，∴兩切點(diǎn)分別為，∴與函數(shù)，的圖象均相切的直線的方程為：.故答案為：.16.已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為上位于軸上方的兩點(diǎn)，且，．記，交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率是______．【答案】【解析】做出圖像，如圖所示，則，在中，由得，，設(shè)，則，所以，解得，即，在中，由得，，設(shè)，則，所以，解得，即，因?yàn)?，所以，則，即，所以，解得，所以，由可得，，則，所以，整理得，解得，故答案：．四、解答題17.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求；（2）若點(diǎn)在邊上，，，，求的面積.解：（1）由題意得，所以，故因?yàn)椋?（2）設(shè)，則，在中，有.在中，有.又，所以，所以有.又，所以.在中，由余弦定理可得.又，，，所以有.聯(lián)立，解得，所以，所以.18.如圖，多面體中，四邊形為正方形，平面平面，，，，，與交于點(diǎn)．（1）若是中點(diǎn)，求證：；（2）求直線和平面所成角的正弦值．解：（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，連接，則，在中，，所以，因?yàn)椋?，平面，且，從而平面，又平面，所以，因?yàn)?，，平面，且，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)椋?，又是中點(diǎn)，，所以，因?yàn)椋?，平面，且，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以．?）由（1）知，平面，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在的直線為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則、、、，則，，，由得，，所以，所以，，設(shè)面的法向量為，由得，，取，則，設(shè)直線和平面所成角為，則，所以直線和平面所成角的正弦值為．19.某大學(xué)生創(chuàng)客實(shí)踐基地，甲、乙兩個(gè)團(tuán)隊(duì)生產(chǎn)同種創(chuàng)新產(chǎn)品，現(xiàn)對(duì)其生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn).（1）為測(cè)試其生產(chǎn)水準(zhǔn)，從甲、乙生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽檢15個(gè)樣本，評(píng)估結(jié)果如圖：現(xiàn)將“一、二、三等”視為產(chǎn)品質(zhì)量合格，其余為產(chǎn)品質(zhì)量不合格，請(qǐng)完善列聯(lián)表，并說(shuō)明是否有95%的把握認(rèn)為“產(chǎn)品質(zhì)量”與“生產(chǎn)團(tuán)隊(duì)”有關(guān)；

甲乙總和合格

不合格

總和151530附：，.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828（2）將甲乙生產(chǎn)的產(chǎn)品各自進(jìn)行包裝，每5個(gè)產(chǎn)品包裝為一袋，現(xiàn)從中抽取一袋檢測(cè)（假定抽取的這袋產(chǎn)品來(lái)自甲生產(chǎn)的概率為，來(lái)自乙生產(chǎn)的概率為），檢測(cè)結(jié)果顯示這袋產(chǎn)品中恰有4件合格品，求該袋產(chǎn)品由甲團(tuán)隊(duì)生產(chǎn)的概率（以（1）中各自產(chǎn)品的合格頻率代替各自產(chǎn)品的合格概率）.解：（1）完善聯(lián)表如下：甲乙總和合格12618不合格3912總和151530，根據(jù)臨界值表可知，有95%的把握認(rèn)為“產(chǎn)品質(zhì)量”與“生產(chǎn)團(tuán)隊(duì)”有關(guān).（2）記事件代表“一袋中有4個(gè)合格品”，事件代表“所抽取的這袋來(lái)自甲生產(chǎn)”，事件代表“所抽取的這袋來(lái)自乙生產(chǎn)”，故，,故求：由故.20.已知函數(shù).（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）求所有的實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上單調(diào).（1）證明：設(shè)（），則，設(shè)（），則，顯然所以在上單調(diào)遞增，故，所以.則在上單調(diào)遞增，所以，因此（2）解：解法1：因?yàn)?，所以為奇函?shù).要使函數(shù)在上單調(diào)，只要函數(shù)在上單調(diào).又.因?yàn)椋院瘮?shù)在只能單調(diào)遞減，由，解得.下證當(dāng)時(shí)，在上單調(diào).由于是奇函數(shù)，只要在單調(diào)，因?yàn)?，所以在單調(diào)遞減.解法2：因?yàn)?，所以為奇函?shù).要使函數(shù)在上單調(diào)，只要函數(shù)在上單調(diào).又.（?。┤簦磿r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以滿足題意；（ⅱ）若，則，故，所以由零點(diǎn)存在定理得存在，，使得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因此不合題意；（ⅲ）若，則，故，所以由零點(diǎn)存定理得存在，，使得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因此不合題意；因此所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.21.已知等差數(shù)列滿足.（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，，且是等差數(shù)列，記是數(shù)列的前項(xiàng)和.對(duì)任意，不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，得，故或（2）法一：由為等差數(shù)列，可設(shè)，記的公差為，故.所以，顯然，，平方得，該式對(duì)任意成立，故，解得.故.因此，一方面，，，故，另一方面，.故整數(shù)的最小值為3.法二：記的公差為，則，，，上式平方后消去可得，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，故，將其代入中，得，解得或，當(dāng)時(shí)，，解得，故，，故，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)意義，舍去，因此，一方面，，，故，另一方面，.故整數(shù)的最小值為3.22.已知拋物線：（）上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，點(diǎn)到焦點(diǎn)距離為5.（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作的切線與，與相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線垂直于，過(guò)點(diǎn)作直線垂直于，與相交于點(diǎn)，、、、分別與軸交于點(diǎn)、、、.記、、、的面積分別為、、、.若，求直線的方程.解：（1