安徽省江南十校2024屆高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 含解析

2024屆安徽省“江南十?！甭?lián)考數(shù)學(xué)姓名__________座位號(hào)__________注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自已的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一元二次不等式的解法、集合并集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋裕蔬x：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法和共軛復(fù)數(shù)的概念即可得到答案.【詳解】,所以.故選：A.3.已知向量滿足.若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.3 D.-3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出的坐標(biāo)，再利用向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算即得.【詳解】由，得，由，得，所以.故選：B4.已知函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象.若是偶函數(shù)，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用給定的圖象變換求出的解析式，再利用正弦函數(shù)的奇偶性列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，，由是偶函數(shù)，得，而，則.故選：B5.酒駕嚴(yán)重危害交通安全.為了保障交通安全，交通法規(guī)定：機(jī)動(dòng)車駕駛?cè)嗣垦褐芯凭窟_(dá)到為酒后駕車，及以上為醉酒駕車.若某機(jī)動(dòng)車駕駛員飲酒后，其血液中酒精含量上升到了.假設(shè)他停止飲酒后，其血液中酒精含量以每小時(shí)的速度減少，則他能駕駛需要的時(shí)間至少為（）（精確到0.001.參考數(shù)據(jù)：）A.7.963小時(shí) B.8.005小時(shí) C.8.022小時(shí) D.8.105小時(shí)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意列出指數(shù)不等式，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則即可計(jì)算.【詳解】由已知得：，所以，即，所以故選：C.6.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出切線方程，再對(duì)分和討論即可.【詳解】由得，所以切線方程是，①若，則曲線為，顯然切線與該曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，②若，則，即，由，即，得或，綜上:或或.故選：B.7.已知圓，點(diǎn).過原點(diǎn)的直線與圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取線段的中點(diǎn)，求出點(diǎn)的軌跡方程，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律及圓的性質(zhì)求解即得.【詳解】圓的圓心，半徑為2，取線段的中點(diǎn)，連接，當(dāng)與圓的圓心不重合時(shí)，，點(diǎn)在以線段為直徑的圓在圓內(nèi)的圓弧上，當(dāng)與重合時(shí)，也在此圓弧上，因此點(diǎn)的軌跡是以線段為直徑的圓在圓內(nèi)的圓弧，圓弧所在圓心為，方程為，顯然，過點(diǎn)與點(diǎn)的直線斜率，過點(diǎn)與點(diǎn)的直線斜率，顯然，即過點(diǎn)與點(diǎn)的直線與該圓弧相交，因此，點(diǎn)與點(diǎn)的距離為3，則，所以的取值范圍為.故選：D8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則使得恒成立的實(shí)數(shù)的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出即可得解.【詳解】數(shù)列中，，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，整理得，而，因此數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，，不滿足上式，則，當(dāng)時(shí)，，，而，依題意，，所以實(shí)數(shù)的最小值為.故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：給出與的遞推關(guān)系，求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與n之間的關(guān)系，再求.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.箱線圖是用來表示一組或多組數(shù)據(jù)分布情況的統(tǒng)計(jì)圖，因形似箱子而得名.在箱線圖中（如圖1），箱體中部的粗實(shí)線表示中位數(shù)；中間箱體的上?下底，分別是數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)（75%分位數(shù)）和下四分位數(shù)（25%分位數(shù)）；整個(gè)箱體的高度為四分位距；位于最下面和最上面的實(shí)橫線分別表示最小值和最大值（有時(shí)候箱子外部會(huì)有一些點(diǎn)，它們是數(shù)據(jù)中的異常值）.圖2為某地區(qū)2023年5月和6月的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）箱線圖.AQI值越小，空氣質(zhì)量越好；AQI值超過200，說明污染嚴(yán)重.則（）A.該地區(qū)2023年5月有嚴(yán)重污染天氣B.該地區(qū)2023年6月的AQI值比5月的AQI值集中C.該地區(qū)2023年5月的AQI值比6月的AQI值集中D.從整體上看，該地區(qū)2023年5月的空氣質(zhì)量略好于6月【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定信息，結(jié)合圖示，逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于A，圖2所示中5月份有AQI值超過200的異常值，A正確；對(duì)于B，C，圖2中5月份的箱體高度比6月份的箱體高度小，說明5月的AQI值比6月的AQI值集中，B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于D，雖然5月有嚴(yán)重污染天氣，但從圖2所示中5月份箱體整體上比6月份箱體偏下且箱體高度小，AQI值整體集中于較小值，說明從整體上看，該地區(qū)2023年5月的空氣質(zhì)量略好于6月，D正確.故選：ACD10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)（原點(diǎn)除外）反射，則反射光線平行于軸.經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸的直線交拋物線于兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸的直線交軸于點(diǎn)；拋物線在點(diǎn)處的切線與軸分別交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，得到各線段的長(zhǎng)度，從而判斷AB，利用拋物線光學(xué)性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義判斷CD.【詳解】對(duì)于AB，設(shè)點(diǎn)，則，，則，而，所以，故A錯(cuò)誤；又，則，故B正確；對(duì)于C，如下圖所示，過點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，又題意所給拋物線的光學(xué)性質(zhì)可得，又，所以，從而，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，即為的角平分線，又由拋物線定義知，結(jié)合，可得四邊形為菱形，而軸經(jīng)過線段中點(diǎn)，從而與軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，所以，故D正確.故選：BCD11.已知點(diǎn)均在半徑為的球面上，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，則三棱錐的體積可以為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用線線垂直構(gòu)造面面垂直結(jié)合三棱錐的外接球特征分類討論計(jì)算即可.【詳解】取的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐的外接球球心為O，半徑，作于E，連接，易知平面，因?yàn)?，所以平面，又平面，所以平面平面，作于G點(diǎn)，平面平面，則平面，故三棱錐的體積為，由題意可知，即，若在直線的下方，則，若在直線的上方，則，綜上所述或.故選：BC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先根據(jù)條件得出球心與S點(diǎn)所在平面垂直于底面，再根據(jù)三棱錐的外接球性質(zhì)及勾股定理計(jì)算夾角，最后分類討論S點(diǎn)的位置計(jì)算三棱錐的高即可.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.從中任意選1個(gè)數(shù)字，從中任意選2個(gè)數(shù)字，得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).在所組成的三位數(shù)中任選一個(gè)，則該數(shù)是偶數(shù)的概率為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及古典概型計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意可知：若從中任意選1個(gè)不為0的數(shù)字有種選法，從中任意選2個(gè)數(shù)字有種選法，由選出的3個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)有！種組法，共種方法，其中偶數(shù)有個(gè)；若從中選0，再從中任意選2個(gè)數(shù)字有種選法，由選出的3個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)有種組法，共種方法，其中偶數(shù)有個(gè)；所以該數(shù)為偶數(shù)的概率為.故答案為：13.若函數(shù)為偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性計(jì)算即可.【詳解】由題意可知關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于中心對(duì)稱，，所以，故，所以，即是的一個(gè)正周期，則由，且，則，故答案為：14.過雙曲線的右焦點(diǎn)的直線分別在第一?第二象限交的兩條漸近線于兩點(diǎn)，且.若，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)漸近線的斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合正切二倍角的公式、正切的定義、勾股定理、雙曲線離心率的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知該雙曲線的漸近線方程為，如圖所示：令，于是有，由雙曲線和兩條漸近線的對(duì)稱性可得：，因，所以，即，在直角三角形中，設(shè)，根據(jù)勾股定理可得：，或舍去，即，在直角三角形中，，由勾股定理可知：，因，所以，或舍去，由，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用二倍角的正切公式、由已知等式化簡(jiǎn)成為的齊次方程，進(jìn)而求出雙曲線的離心率.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知分別是三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.（1）求；（2）若，將射線和分別繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，旋轉(zhuǎn)后相交于點(diǎn)（如圖所示），且，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合兩角和的正弦公式、輔助角公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦定理，結(jié)合余弦定理、兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】根據(jù)正弦定理，由，因?yàn)?，所以，所以由，因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，因?【小問2詳解】由（1）可知，由題意可知，而，所以，在中，由正弦定理可知：在中，由正弦定理可知：，在中，由余弦定理可知：16.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，.（1）求證：平面平面；（2）若二面角的大小為，點(diǎn)在棱上，且，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理求出，再利用勾股定理逆定理和面面垂直的判定即可；（2）建立合適的空間之間坐標(biāo)系，求出相關(guān)法向量，根據(jù)線面角的空間向量求法即可.【小問1詳解】證明:由余弦定理得，所以，因此，又因?yàn)槠矫?，所以面，又因?yàn)槠矫?，故平面平?【小問2詳解】由于，所以二面角的平面角為，即，在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線，交于，由平面平面，且平面，平面平面，得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為，，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，由于則，即，令，則，所以設(shè)直線與平面所成角為，，，因此直線與平面所成角的正弦值為.17.某產(chǎn)品的尺寸與標(biāo)準(zhǔn)尺寸的誤差絕對(duì)值不超過4即視為合格品，否則視為不合格品.假設(shè)誤差服從正態(tài)分布且每件產(chǎn)品是否為合格品相互獨(dú)立.現(xiàn)隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，誤差的樣本均值為0，樣本方差為4.用樣本估計(jì)總體.（1）試估計(jì)100件產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)（精確到1）；（2）在（1）的條件下，現(xiàn)出售隨機(jī)包裝的100箱該產(chǎn)品，每箱均有100件產(chǎn)品.收貨方對(duì)每箱產(chǎn)品均采取不放回地隨機(jī)抽取方式進(jìn)行檢驗(yàn)，箱與箱之間的檢驗(yàn)相互獨(dú)立.每箱按以下規(guī)則判斷是否接受該箱產(chǎn)品：如果抽檢的第1件產(chǎn)品不合格，則拒絕該箱產(chǎn)品；如果抽檢的第1件產(chǎn)品合格，則再抽1件，如果抽檢的第2件產(chǎn)品合格，則接受該箱產(chǎn)品，否則拒絕該箱產(chǎn)品.若該箱產(chǎn)品通過檢驗(yàn)后生產(chǎn)方獲利1000元；該箱產(chǎn)品被拒絕，則虧損89元.求100箱該產(chǎn)品利潤(rùn)的期望值.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，【答案】（1）約為5件；（2）元.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的概率求出這批產(chǎn)品的合格率即可得估計(jì)值.（2）利用互斥事件的概率及條件概率公式求出一箱產(chǎn)品通過的概率，再利用二項(xiàng)分布的期望公式及期望的性質(zhì)計(jì)算即得.【小問1詳解】分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)正態(tài)分布的參數(shù)和，得產(chǎn)品的尺寸誤差，，因此估計(jì)這批產(chǎn)品的合格率為，樣本的不合格品率為，所以估計(jì)100件產(chǎn)品中有件不合格品.【小問2詳解】設(shè)“抽檢的第1件產(chǎn)品不合格”，“抽檢的第2件產(chǎn)品不合格”，則一箱產(chǎn)品被拒絕的事件為，因此，設(shè)100箱產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的箱數(shù)為，則，因此100箱利潤(rùn)，所以平均利潤(rùn)（元）.18.已知矩形中，分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，以矩形中心為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.直線上的動(dòng)點(diǎn)滿足.（1）求直線與直線交點(diǎn)的軌跡方程；（2）當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的直線（與軸不重合）和點(diǎn)軌跡交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn).設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】（1）不含點(diǎn)；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，借助向量共線用表示點(diǎn)，再求出直線的方程，聯(lián)立消去參數(shù)即得.（2）設(shè)出直線的方程，與點(diǎn)的軌跡方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出點(diǎn)坐標(biāo)，再建立三角形面積的函數(shù)關(guān)系，并求出最大值即得.【小問1詳解】依題意，，設(shè)點(diǎn)，由，得，即，由，得，即，當(dāng)時(shí)，直線，直線，聯(lián)立消去參數(shù)得，即，當(dāng)時(shí)，得交點(diǎn)，滿足上述方程，所以直線與直線交點(diǎn)的軌跡方程:不含點(diǎn).【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線可設(shè)為，由消去x得：，即，設(shè)，則，依題意，，直線，令，得點(diǎn)橫坐標(biāo)，又，則，因此直線過定點(diǎn)，顯然，而，令，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，此時(shí)，所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動(dòng)點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.19.已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù).（1）證明：在上存在唯一零點(diǎn)；（2）設(shè)函數(shù).①當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】（1）證明見解析；（2）①答案見解析；②只一個(gè)零點(diǎn)【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，構(gòu)造利用其單調(diào)性