江蘇省南通市如皋市2023-2024學年高二上學期教學質(zhì)量調(diào)研數(shù)學試題（解析版）

PAGEPAGE1江蘇省南通市如皋市2023-2024學年高二上學期教學質(zhì)量調(diào)研數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.等軸雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得若等軸雙曲線方程為，則，則其漸近線方程為，若等軸雙曲線方程為，則，則其漸近線方程為，故等軸雙曲線的漸近線方程為，故選：C.2.已知等差數(shù)列，記為數(shù)列的前項和，若，，則數(shù)列的公差（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項和，，由可得，即，解得.故選：D.3.已知拋物線的焦準距(焦點到準線的距離)為2，則拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為拋物線的焦點為，準線為，由題意可知：焦準距，所以拋物線的焦點坐標為.故選：C.4.直線與雙曲線交于兩點，線段的中點為，則直線的斜率為（）A.3 B.6 C.8 D.12【答案】B【解析】設(shè)，則有，化簡得，即.故選：B.5.已知為橢圓和雙曲線的公共焦點，P為它們的公共點，且，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意如下圖所示：利用橢圓定義可知，由雙曲線定義可知，解得，由三角形面積公式可得，即的面積為.故選：C.6.已知等差數(shù)列的前n項和為，，則使得不等式成立的最大的n的值為（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】因為等差數(shù)列中，，則，則，因為，，即，所以使得不等式成立的最大的n的值為9，故選：B.7.已知為橢圓的焦點且，M，N是橢圓上兩點，且，以為直徑的圓經(jīng)過M點，則的周長為（）A.4 B.6 C.8 D.12【答案】D【解析】由于為直徑的圓經(jīng)過M點，所以，不妨設(shè)則，由橢圓定義可得由勾股定理可得和，即和，解得，故的周長為，故選：D.8.直線與直線相交于點P，對任意實數(shù)m，直線,分別恒過定點A，B，則的最大值為（）A.4 B.8 C. D.【答案】A【解析】直線，當，得，即點，直線，當，得，即點，且兩條直線滿足，所以，即，，，當時，等號成立，所以的最大值為4.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知，動點P滿足，則下列結(jié)論中正確的是()A.平面上有一點，則的最小值為0B.平面上有一點，則的最大值為1C.平面上有一點，則的最小值為3D.平面上有一點，則的最大值為【答案】BCD【解析】由橢圓的定義有，所以標準方程為，點A坐標代入橢圓方程有，所以點在橢圓內(nèi)部，當、、共線時，把代入橢圓方程得點坐標為，若點坐標為，則，所以A項錯誤.若點坐標為，則，當、、不共線時，三角形兩邊之差小于第三邊，所以，故B項正確.點B坐標代入橢圓方程有，所以點在橢圓外部，當、、共線時，把代入橢圓方程得點坐標為坐標為，若點坐標為，則，若點坐標為，則，當、、不共線時，三角形兩邊之和大于第三邊，所以，故C項正確.此時，，同B項分析可知：當、、位置如圖時，取得最大值，故D項正確.故選：BCD.10.已知數(shù)列的前n項和為，則“數(shù)列為等差數(shù)列”的充要條件是()A.當時，(常數(shù))B.數(shù)列的通項公式可以表示為的形式，其中k，b為常數(shù)C.數(shù)列的前項n和可以表示為的形式，其中a，b為常數(shù)D.當時，是和的等差中項【答案】BC【解析】對于A，數(shù)列為等差數(shù)列等價于（常數(shù)），，故A錯誤；對于B，數(shù)列為等差數(shù)列可得，符合形式，而數(shù)列滿足，則（常數(shù)），即等差數(shù)列，所以數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列的通項滿足形式，故B正確；對于C，數(shù)列為等差數(shù)列可得，符合形式，若數(shù)列的前項和滿足，則當時，，當時，，所以，由B知是等差數(shù)列，所以數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列的前項和滿足，故C正確；對于D，當時，是與的等差中項，即數(shù)列的奇，偶數(shù)項各自成等差數(shù)列，如數(shù)列：0,5,1,6,2,7,3,8,滿足上面條件，但數(shù)列不成等差數(shù)列，故D錯誤.故選：BC.11.已知曲線與直線:()A.曲線C為y軸右邊的半圓（含y軸上的點）B.曲線C與直線有且僅有一個公共點，則C.曲線C與直線有兩個不同的公共點，則D.曲線C與直線沒有公共點，則或【答案】AC【解析】因為曲線，所以，解得，曲線可化為，兩邊同時平方有：，即，所以曲線是以為圓心，2為半徑的圓的一部分，A正確；而:，所以直線是斜率為1的直線，畫圖象如下：由于直線與曲線只有一個交點，當直線過時，即，解得：，當直線過時，即，解得：，由圖象可知，當直線與圓相切時：，解得或，而即為在軸上的截距，由圖象可知，故曲線C與直線有且僅有一個公共點，則或，B錯誤；有兩個公共點時，C正確；曲線C與直線沒有公共點，或，D錯誤.故選：AC.12.已知的面積為，下面說法正確的是()A.若，則S的最大值為1B.若，則S的最大值為C.若，則S的最大值為D.若，則S的最大值為【答案】ABD【解析】在中，令內(nèi)角所對邊分別為，即有，對于A，由，得，則，于是，當且僅當時取等號，A正確；對于B，，即，由余弦定理得，即，則，于是，當時，，B正確；對于C，建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)，，由，得點C的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的左支（除點外），顯然該雙曲線實半軸長為，半焦距為1，虛半軸長為，因此軌跡方程為，顯然，無最大值，C錯誤；對于D，由選項C中直角坐標系知，直線都不垂直于x軸，其斜率分別為，并且，則，整理得，于是，因此，即S的最大值為，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知橢圓的焦距為2，則實數(shù)m的值為________.【答案】3【解析】因為，所以橢圓的焦點在軸上，所以，，，所以，解得.故答案為：3.14.數(shù)列的首項，且對任意，恒成立，則______．【答案】【解析】依題意可得，得，又，則，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，即，所以．故答案為：．15.過點向拋物線引兩條切線，切點分別為A，B，直線恒過的定點為____.【答案】【解析】設(shè)過點的切線方程為，代入拋物線方程得：,其判別式，即，故得，，又的解為，所以切點的橫坐標為，代入拋物線方程可求得切點坐標為，設(shè)，令，則，即切點的坐標為;令，則，即切點的坐標為，故直線的斜率故直線的方程為，當時，即直線過定點.16.已知是雙曲線的左，右焦點，關(guān)于雙曲線的漸近線的對稱點在以為圓心，為半徑的圓上，則雙曲線的離心率________．【答案】【解析】不妨取雙曲線漸近線一支，設(shè)點關(guān)于漸近線的對稱點為點，且與直線交于點，則為線段的中垂線，所以，設(shè)漸近線的傾斜角為，則，則，由點在以為圓心，4b為半徑的圓上，則，所以在，根據(jù)余弦定理得，又，所以，得，又，則，則，所以，得，所以，得．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.17.數(shù)列的前n項和為，對任意，點在直線上.（1）求.（2）求的最小值及此時n的值.解：（1）因為在上，可得，所以，則，所以數(shù)列是等差數(shù)列，所以.（2）由數(shù)列的通項公式為，令，解得且，即當時，；當時，；時，，所以當或時，的最小值為.18.已知拋物線與坐標軸交于點，圓M為的外接圓.（1）求圓M的方程.（2）過點作直線與圓M相交于兩點，當時，求直線的方程.解：（1）令，則，令，則或，圓經(jīng)過點，以及，設(shè)圓的方程為，則，，圓的方程為.（2）圓的方程為，可得圓心為，圓的的半徑為，當直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即：，設(shè)圓心到直線的距離為，則，，又，，，無解，當直線斜率不存在時，可得直線的方程為，此時，滿足題意，直線為.19.數(shù)列的前n項和為，數(shù)列為等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：是和的等差中項.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，于是，即，當時，，而滿足上式，所以數(shù)列的通項公式.（2）由（1），則，又，因此，所以是和的等差中項.20.已知拋物線，點在拋物線C上，且，直線與拋物線C相交于A，B兩點(A，B均異于坐標原點).（1）求拋物線C的方程；（2）若以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點，證明直線恒過定點.解：（1），，拋物線C的方程為.（2）如圖，設(shè)：代入，得：，則，即，設(shè)，，則，，由題意，，，或，異于原點，，滿足，，故直線恒過定點.21.雙曲線C經(jīng)過兩點.過點的直線與雙曲線C交于P，Q，過點的直線與直線相交于點S且.（1）求雙曲線C的方程；（2）若，求直線的斜率.解：（1）設(shè)雙曲線方程為，代入可得，解得，所以雙曲線的方程為.（2）若直線的斜率不存在時，則，，不符合，所以直線斜率存在，設(shè)直線，，，聯(lián)立方程，消去y得，則且，可得，則，又因為，可知，則，由題意可知：，即，整理得，解得或，且或均符合且，所以直線的斜率或.22.已知橢圓的離心率為，短軸長為2，橢圓與圓相交于點.（1）當四邊形面積最大值時，求圓的半徑；（2）直線與（1）中的圓