第4章 實數(shù)（單元測試·基礎卷）-2023-2024學年八年級數(shù)學上冊基礎知識專項突破講與練（蘇科版）

第4章實數(shù)（單元測試·基礎卷）【要點回顧】【要點一】平方根和立方根類型項目平方根立方根被開方數(shù)非負數(shù)任意實數(shù)符號表示性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負數(shù)沒有平方根；一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零；重要結(jié)論【要點二】實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

1.實數(shù)的分類按定義分：實數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實數(shù)2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應.數(shù)軸上的任何一個點都對應一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應.3.實數(shù)的三個非負性及性質(zhì)：

在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)。我們已經(jīng)學習過的非負數(shù)有如下三種形式：

（1）任何一個實數(shù)的絕對值是非負數(shù)，即||≥0；

（2）任何一個實數(shù)的平方是非負數(shù)，即≥0；

（3）任何非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即().

非負數(shù)具有以下性質(zhì)：

（1）非負數(shù)有最小值零；

（2）有限個非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；

（3）幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0.4.實數(shù)的運算：數(shù)的相反數(shù)是－；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.5.實數(shù)的大小的比較：

有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1.實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；法則2．正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而??；法則3.兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023春·云南曲靖·七年級?？计谥校┫铝兴膫€實數(shù)中，最小的是（

）A．－1 B． C． D．22．（2021春·福建福州·七年級統(tǒng)考期中）下列實數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（）A． B． C．0 D．3．（2019秋·浙江杭州·七年級期末）下列運算正確的（

）A． B． C． D．4．（2023春·全國·七年級專題練習）已知，，下列運算正確的是（）A． B． C． D．5．（2023秋·全國·八年級專題練習）我國古代的數(shù)學著作《九章算術(shù)》第四章“少廣”中的“開方術(shù)”特指開平方運算．將2開平方，結(jié)果是（

）A． B． C． D．6．（2023春·山東濟寧·七年級統(tǒng)考期中）的立方根是（

）A．3 B． C． D．7．（2023春·山東德州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，數(shù)軸上，兩點對應的實數(shù)分別為1和，若點為的中點，則點所對應的實數(shù)為（

）

A． B． C． D．8．（2022秋·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）對于實數(shù)a，b，定義運算：，如：，照此定義的運算方式計算的值為（

）A．0 B．1 C． D．29．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）下列各式計算正確的是（

）A． B．C． D．10．（2021秋·四川巴中·七年級?？计谥校┰O[m）表示大于m的最小整數(shù)，如[5.5）＝6，[﹣1.2）＝﹣1，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．[2）﹣2＝0 B．若[m）﹣m＝0.5，則m＝0.5C．[m）﹣m的最大值是1 D．[m）﹣m的最小值是0二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2019春·七年級單元測試）4的平方根是．12．（2022秋·山東濟南·八年級山東省濟南實驗初級中學?？茧A段練習）的絕對值是，的倒數(shù)是．13．（2022春·吉林·七年級統(tǒng)考期末）比較下列實數(shù)的大?。?(填>、<或=)．14．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）一塊面積為的正方形桌布，其邊長為．15．（2023春·四川涼山·七年級?？茧A段練習）已知一個正數(shù)的平方根是和，則．16．（2022秋·八年級單元測試）若的整數(shù)部分是，小數(shù)部分為，則．17．（2022秋·山東東營·六年級校考開學考試）觀察：，即；，即；猜想：18．（2023春·九年級課時練習）閱讀材料：如果兩個正數(shù)a、b，即，，則有下面的不等式，當且僅當a=b時取到等號．我們把叫做正數(shù)a、b算術(shù)平均數(shù)，把叫做正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)，于是上述不等式可表述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù)．它在數(shù)學中有廣泛的應用，是解決最大(小)值問題的有力工具．根據(jù)上述材料，若，則y最小值為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2020春·重慶忠縣·七年級?？茧A段練習）解方程：（1）

；（2）20．（8分）（2023春·河南許昌·七年級?？计谥校┯嬎悖海?）；（2）21．（10分）（2019春·江西·七年級?？茧A段練習）已知2a+1的平方根是，5a+2b-2的算術(shù)平方根是4，求的值22．（10分）（2020秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）已知與互為相反數(shù)，求與的值.23．（10分）（2019春·江西宜春·七年級?？计谥校┙Y(jié)合數(shù)軸先化簡，后求值：24．（12分）（2023春·廣西南寧·七年級?？计谥校╅喿x理解：∵，即．∴∴的整數(shù)部分為1，∴的小數(shù)部分為．解決問題：已知a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分．（1）求的值；（2）求的平方根，提示：．（3）若c是立方根等于本身的數(shù)，且的倒數(shù)是2，求的值．參考答案：1．C【分析】根據(jù)實數(shù)大小比較的方法將四個選項中的實數(shù)排列大小即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∴四個實數(shù)中，最小的是?．故選：C．【點撥】本題主要考查實數(shù)大小的比較，熟練掌握實數(shù)比較大小的方法是解題的關(guān)鍵．2．B【分析】根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，可得答案．【詳解】解：A．，2是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不符合題意；B．是無理數(shù)，故本選項符合題意；C．0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不符合題意；D．是分數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不符合題意．故選：B．【點撥】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如π，，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式．3．D【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方、平方根、立方根逐項判斷即可．【詳解】A、，此項錯誤B、，此項錯誤C、，此項錯誤D、，此項正確故選：D．【點撥】本題考查了有理數(shù)的乘方、平方根、立方根，熟記各運算法則是解題關(guān)鍵．4．A【分析】根據(jù)題目意思，找出題中規(guī)律即可求解．【詳解】解：∵，，A．符合題意；B．，選項不符合題意；C．，選項不符合題意；D．，選項不符合題意；故選：A．【點撥】本題主要考查了算術(shù)平方根，掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．D【分析】根據(jù)平方根的定義直接求解即可得到答案．【詳解】解：將2開平方，結(jié)果是，故選：D．【點撥】本題考查平方根，熟記平方根的定義是解決問題的關(guān)鍵．6．C【分析】先根據(jù)算術(shù)平方根的定義化簡，然后再根據(jù)立方根的定義求解即可．【詳解】解：，又的立方根是，的立方根是，故選：C【點撥】本題考查了算術(shù)平方根、立方根的定義，熟練掌握這兩個定義是解題的關(guān)鍵．7．A【分析】由題意可得，再根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系計算即可．【詳解】解：點為的中點，，點所對應的實數(shù)為，故選：A．【點撥】本題考查實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，結(jié)合已知條件求得是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】根據(jù)定義的運算方式進行計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得，．故選：B．【點撥】此題考查了實數(shù)新定義運算，讀懂題意，正確計算是解題的關(guān)鍵．9．D【分析】A．根據(jù)實數(shù)減法的運算方法判斷即可；B．根據(jù)絕對值的非負性判斷即可；C．根據(jù)一個數(shù)的算術(shù)平方根的求法判斷即可；D．根據(jù)一個數(shù)的立方根的求法判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴選項A不正確；B、∵，∴選項B不正確；C、∵，∴選項C不正確；D、∵，∴選項D正確；故選：D．【點撥】此題主要考查了實數(shù)的運算，在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行；另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用；熟練運用相應的法則來計算是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】根據(jù)新定義[m）表示大于m的最小整數(shù)，逐項進行算判斷即可．【詳解】解：A、[2）﹣2＝3﹣2＝1，故本選項不合題意；B、若[m）﹣m＝0.5，則m不一定等于0.5，故本選項不合題意；C、[m）﹣m的最大值是1，故本項符合題意；D、[m）﹣m＞0，但是取不到0，故本選項不合題意；故選：C．【點撥】本題考查了新定義運算，正確理解[m）表示大于m的最小整數(shù)是解題關(guān)鍵．11．±2【詳解】解：∵，∴4的平方根是±2．故答案為±2．12．//【分析】直接根據(jù)絕對值、倒數(shù)的概念解答即可．【詳解】解：的絕對值是，的倒數(shù)是，故答案為：，．【點撥】此題考查的是絕對值、倒數(shù)，掌握其概念與性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．13．＜【分析】根據(jù)立方根的運算法則得，，且正數(shù)開立方根，根指數(shù)相同，被開方數(shù)越大，結(jié)果越大，由此即可求出答案．【詳解】解：∵，且，∴，故答案是：．【點撥】本題考查的立方根比較大小的知識，熟練掌握立方根的性質(zhì)及運算法則是解題的關(guān)鍵．14．/米【分析】由正方形的邊長是其面積的算術(shù)平方根可得答案．【詳解】解：一塊面積為的正方形桌布，其邊長為，故答案為：【點撥】本題考查的是算術(shù)平方根的含義，理解題意，利用算術(shù)平方根的含義表示正方形的邊長是解本題的關(guān)鍵．15．/【分析】運用正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)進行求解．【詳解】解：由題意得，，解得，故答案為：．【點撥】此題考查了平方根性質(zhì)的應用能力，關(guān)鍵是能準確理解并運用以上知識．16．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義由得到，則，，然后計算．【詳解】∵∴∴，∴故答案為：．【點撥】本題考查了算術(shù)平方根，估算無理數(shù)的大小，利用完全平方數(shù)和算術(shù)平方根對無理數(shù)的大小進行估算．17．【分析】由，得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：由，得∴故答案為：【點撥】本題考查了與實數(shù)運算有關(guān)的規(guī)律題．根據(jù)題意確定規(guī)律是解題關(guān)鍵．18．【分析】根據(jù)“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù)”可得的最小值．【詳解】解∶∵如果兩個正數(shù)a、b，即，，則有下面的不等式，當且僅當時取到等號，∴即，當且僅當時，等號成立，∴y的最小值為．故答案為∶．【點撥】本題考查了新定義以及算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關(guān)系，正確理解新定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（1）x＝±5；（2）x＝5．【分析】（1）直接開平方求解；（2）方程兩邊同時開立方即可求解．【詳解】解：（1）x2＝25∴x＝±5（2）∵（x﹣1）3＝64∴x﹣1＝4∴x＝5【點撥】本題考查了平方根和立方根的概念．關(guān)鍵是熟記一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．立方根的性質(zhì)：一個正數(shù)的立方根式正數(shù)，一個負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0．20．(1)(2)【分析】（1）首先計算開平方、開立方和去絕對值，然后從左向右依次計算，求出算式的值即可；（2）首先計算實數(shù)的乘法以及開平方，然后從左向右依次計算，求出算式的值即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點撥】此題主要考查了實數(shù)的運算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．21．1【分析】先根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的定義得到2a＋1＝9，5a＋2b?2＝16，然后可求得a、b的值，再根據(jù)立方根的定義求解即可．【詳解】解：∵2a＋1的平方根是±3，∴2a＋1＝9，解得：a＝4，∵5a＋2b?2的算術(shù)平方根是4，∴5a＋2b?2＝16，解得：b＝?1，∴.【點撥】本題主要考查的是平方根、算術(shù)平方根、立方根的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．22．8，-4.【分析】根據(jù)立方根的定義和相反數(shù)的定義得到，然后解方程求出x，再把x的值代入和計算即可.【詳解】解：由題意可知解得.由此得.【點撥】本題考查了立方根：若一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫a的立方根，記作，也考查了算術(shù)平方根.23．.【分析】先由數(shù)軸可知c＜a＜0＜b，且|b|＞|a|，再