2023湖南郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院?jiǎn)握袛?shù)學(xué)模擬試題(附答案解析)

一、填空題(每題4分，共64分)

1、已知全集1{0,2,4,6,8,10),集合4={2,4,6),5={10},則凱―

為(0,1,8,10}

2、函數(shù)y=/1的定義域是(-3,2)

yj6-X-X2

3、已知集合戶={必代1},"={a.若PUM=P,則a的取值范圍是-1,1]

4、對(duì)于函數(shù)y=/(x),xwR,"y=|/(x)|的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)"是"y=/(x)是奇函

數(shù)"的

必要非充分條件

5、下列四個(gè)不等式：?a<Q<b-@b<a<Q;③次0<a;④0<Zxa,其中能使：<叔

立的充分條件

有1,2,4(填序號(hào))

6、若函數(shù)~白一；為奇函數(shù)，則。=：

7、若不等式卜-4|+k-3卜。在R上的解集非空,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是____a>l

8、等差數(shù)列{&}中，S是其前〃項(xiàng)和，2=-11,普-目=2,則$i=31

9、若不等式Jx+a>x(a>0)的解集為{x|WxK”},且|加-〃|=2a,則a的取

值集合為

—{2}

10、已知集合2={>||>+3|+|x-4|S9,xcR},8={xx=4f+/-6,^(0,+

oo),xeR},則集合/nB={M-2<A<5}

11、《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等

差數(shù)列，上面4

節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為升

12、已知函數(shù)y=f(無(wú))的定義域?yàn)镽，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>l,且對(duì)隨意的,

等式

/(x)/(y)=/(x+y)成立.若數(shù)列｛凡｝滿意,《=/(。)/(??+1)=--7——7

(〃eN)

則生?！钡闹禐?021

13、已知點(diǎn)6(0,0).0(0,1)和點(diǎn)/?0(3,1),記Q4的中點(diǎn)為Pi,取Q)Pi和月島中的

一條，記其端點(diǎn)

為Q、凡，使之滿意(ld)(|O?|-2)<0,記Q/?i的中點(diǎn)為A,取Q片和

PiRi中的一條，記其端點(diǎn)為Q、R2，使之滿意(IOQ2\-2)(\O4|-2)<0.依次下

去，得到JR,,P?,，則1汕|2匕|=一百

M—KC-----

14、若X是一個(gè)集合，廠是一個(gè)以X的某些子集為元素的集合,且滿意：①X屬于T,

，屬于T]

②7中隨意多個(gè)元素的并集屬于r；③廠中隨意多個(gè)元素的交集屬于7■.則稱(chēng)7■是集

合X上的一個(gè)拓?fù)?已知集合X=(a,b,。，對(duì)于下面給出的四個(gè)集合r:

①T=O,{a},{4,{a,b,c}};②T=<(/),{/?),{c},{b,c},{a,b,?};

③7二{。,{a},{a,垃,{a,?};④T={。,{a,(},{b,{?,{a,b,?}.

其中是集合X上的拓?fù)涞募?的序號(hào)是_______2,4

二、選擇題（每題5分，共20分）

15、設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S“，若S4=8,Sg=20,Ma,,+a12+al3+a14=

(A)

A.18B.17C.16D.15

16、設(shè)/(x)=|2-|,若()＜。＜〃，且/(幻=f(b),則ah的取值范圍是

(A)

A.(0,2)B.(0,2]C.(0,4]D.(0,72)

17、已知函數(shù)/(x)是(-00,+00)上的偶函數(shù)，若對(duì)于x20,都有/(x+2)=/(x),且當(dāng)

xe[0,2)時(shí),

/(x)=log2(x+l),貝1」/(-2010)+/(2011)的值為(C)

A.-2B.-1C.1D.2

1

18、函數(shù)九（x）的定義域?yàn)镽,且定義如下：之（幻=:（其中附是實(shí)數(shù)集

R的非空真

子集），在實(shí)數(shù)集R上有兩個(gè)非空真子集48滿意AB=0,則函數(shù)

&￡x)+l

F(x)=的值域?yàn)?/p>

〃x)+/Q)+l

(B)

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.0

三、解答題（要有必要的解題步驟，共74分）

19、已知。＞0且"1,關(guān)于x的不等式優(yōu)＞1的解集是{?。?},

解關(guān)于X的不等式10g“U--XO

X

解：關(guān)于X的不等式相>1的解集是{中>0},所以。>1,故

1x-->01I—^/51+>/5

log,(x——)v0o(fo—lv尤v—或1<友<3

x「VI22

?:原不等式的解集是(-1,\5)(1，上手)。

20、已知集合A={x||x-l|<2),B={x|x2+ax-6<o},C={x|x2-2x-15<o}

(1)若AB=B,求a的取值范圍

(2)若AB=BC,求a的取值范圍

解：；A=(T,3),C=(-3,5)

⑴由AU8=8知令/(》)=/+“一6,則<“一“4°

?1/"(3)W0

f1-5<a<-2

(2)假設(shè)存在a的值使AB=BC,由AB=BC=8知A=

又B=AB=BC知B=C,，AqBcC.

由(1)知若仁8,則我[-5,-1]

當(dāng)B=C時(shí)，???△=〃+24>0，:

7(-3)>0

<a<1

\/(5)>0

19

故存在ae-y,-l滿意條件

21、已知函數(shù)/(x)=log2*+f)，且/(0)J⑴,/(3)成等差數(shù)列，點(diǎn)尸是函數(shù)

y=/(x)圖像上任

意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。的軌跡是函數(shù)y=g(x)的圖像

(1)解關(guān)于x的不等式2/(x)+g(x)20

(2)當(dāng)xe[0,1)時(shí)，總有2/(x)+g(x)Nm恒成立，求m的取值范圍

解：由/(0)J(l)J⑶成等差數(shù)列，得210g2(l+f)=log2f+bg2(3+f),

2

即(t+1)=t(t+3)(r>0),/.?=1/.f(x)-log2(x+1),

由題意知：P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)Q(x,y)函數(shù)y=g(x)圖像上任一點(diǎn)，則

P(-x,-y)是/(x)=log2(x+1))上的點(diǎn),所以一y=log2(—x+1),于是

g(x)=-log2(l-x)

l+x>0

(1)2/(x)+g(x)>0<=><1-JC>0/.0<x<1

(1+x)-21—x

此不等式的解集是附《x<1}(2)

y=2f(x)+g(x)=21og2(l+x)-log2(l-x),當(dāng)xe[0,1)時(shí)

2/(x)+g(x)>m恒成立，

m

即在當(dāng)xe[0,1)時(shí)log2>log22恒成立,即2"Y,

fr-uB24

設(shè)夕(x)=-----=(l-x)+------4,v0<x<11-x>0,

\-x\-x

???y=e(x)在[0,1)上單增

r.e(x)min=I,--"a"'W1=a(\:.m<0

22、某企業(yè)在第1年初購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)價(jià)值為120萬(wàn)元的設(shè)備M,聞的價(jià)值在運(yùn)用過(guò)程中逐

年削減，從第

2年到第6年，每年初聞的價(jià)值比上年初削減10萬(wàn)元；從第7年起先,每年初M

的價(jià)值為上年初的75%

(1)求第〃年初聞的價(jià)值&的表達(dá)式

dl+力+…+力

(2)設(shè)4=---------------,若4大于80萬(wàn)元，則“接著運(yùn)用，否則須在第〃年

初對(duì)聞更新.

問(wèn)：該企業(yè)必需在第幾年的年初對(duì)設(shè)備M更新？請(qǐng)說(shuō)明理由

【解答】(1)當(dāng)“W6時(shí)，數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為120,公差為一10的等差數(shù)列.

斯=120-10(”-1)=130-10小

當(dāng)〃26時(shí)，數(shù)列｛“■｝是以期為首項(xiàng)，公比為j3的等比數(shù)列，又“6=70,所以飆=

70x(；)廠6.

因此，第〃年初，M的價(jià)值0,的表達(dá)式為

130-lOn,wW6,

a?=\("S\

70X(/"6,心7.

(2)設(shè)S,表示數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得

當(dāng)1W〃W6時(shí),&=120"—5〃("-1),

X?=120-5(n-l)=125-5n；當(dāng)”27時(shí)，由于$6=570,故

S“=S6+(47+a8+…+a”)=570+70X；X4X1一?)'廠6=780-210X弓｝",

780-210X(J)"-6

4=n，

780-210xg)

因?yàn)椋梗沁f減數(shù)列，所以｛4｝是遞減數(shù)列.又A8=--------------——=82^>80,

780-210Xg)

A9=------o------=76在<80,所以須在第9年初對(duì)M更新.

23、(1)等比數(shù)列｛4｝中，對(duì)隨意〃22,〃￡村時(shí)都有4,1，見(jiàn)山,凡成等差，求公比

4的值

(2)設(shè)S”是等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，當(dāng)S’,Sg4成等差時(shí)，是否有的，4，%

肯定也成等差數(shù)列？說(shuō)明理由

(3)設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,前〃項(xiàng)和為S“，是否存在正整數(shù)攵，使

Sm+k,S,“成等差且an_k,an+k,%也成等差，若存在，求出Z與q滿意的關(guān)系；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

解：(1)當(dāng)時(shí)有??_1+an=2a?+l=1+q=2q?

解得q=l或q=.............................................5分

(2)當(dāng)q=1時(shí)S.=,明顯3%,9ar6r不是等差數(shù)列,

cr-p|](_(1一9)

所以qw1/Sn--

"q

由注,S“S6成等差得.,―/)+aq_/)=2"，一/)

1-<7]-qi-q

/+/=2/=43=_：或/=1(不合題意)所以/=_(；

t

所以1+/=2/zz>?,+a2q^=2a2q,a2+a5=2as

即肯定有的，％，生