機(jī)械控制工程基礎(chǔ)-第四章-系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)與誤差分析

機(jī)械控制工程基礎(chǔ)-第四章-系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)與誤差分析第4章系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)與誤差分析本章考點(diǎn)：1、時(shí)間響應(yīng)：概念及瞬態(tài)響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的定義。2、脈沖響應(yīng)函數(shù)：定義、與傳函的關(guān)系及任意輸入下的脈沖響應(yīng)。3、一階系統(tǒng)：傳遞函數(shù)及增益、時(shí)間常數(shù)的計(jì)算；一階系統(tǒng)的單位脈沖、單位階躍、單位斜坡響應(yīng)函數(shù)的計(jì)算。4、二階系統(tǒng)：傳遞函數(shù)及無(wú)阻尼自然頻率、阻尼自然頻率、阻尼比的計(jì)算；特征方程及臨界阻尼系數(shù)的含義；5、三階和高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)：主導(dǎo)極點(diǎn)的概念及其與相應(yīng)的關(guān)系。6、瞬態(tài)響應(yīng)：性能指標(biāo)的定義；二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)的計(jì)算以及二級(jí)系統(tǒng)的阻尼比、無(wú)阻尼自然頻率與各性能指標(biāo)的關(guān)系。7、系統(tǒng)誤差分析：誤差和穩(wěn)態(tài)誤差的概念及計(jì)算；系統(tǒng)類(lèi)型的定義；系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)類(lèi)型、開(kāi)環(huán)增益及輸入信號(hào)之間的關(guān)系；靜態(tài)誤差系數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差。引言：動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的研究方法動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的研究方法有兩種：1、時(shí)域分析法：根據(jù)系統(tǒng)的微分方程或傳遞函數(shù)，求出系統(tǒng)的輸出量隨時(shí)間的變化規(guī)律，從而確定系統(tǒng)的性能2、頻域分析法：以拉氏變換為工具將時(shí)域轉(zhuǎn)換為頻域，研究系統(tǒng)對(duì)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，分析系統(tǒng)與過(guò)程在不同頻率的輸入信號(hào)作用下的響應(yīng)特性。

本章采用第1種方法。4-1時(shí)間響應(yīng)1、時(shí)間相應(yīng)的概念（1）定義：系統(tǒng)在外加激勵(lì)下，其輸出量隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系叫做系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。（2）時(shí)間響應(yīng)=瞬態(tài)響應(yīng)（0<t<t1)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(t→∞）（3）系統(tǒng)微分方程的解=系統(tǒng)時(shí)間相應(yīng)的表達(dá)式（4）四種典型輸入信號(hào)：階躍函數(shù)脈沖函數(shù)斜坡函數(shù)加速度函數(shù)2、脈沖響應(yīng)函數(shù)（1）定義：系統(tǒng)受到一個(gè)單位脈沖激勵(lì)（輸入）時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)叫做單位脈沖響應(yīng)。（2）圖示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)即為其脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)的像函數(shù).系統(tǒng)X(t)Y(t)輸入函數(shù)圖4-2單位脈沖響應(yīng)函數(shù)4-2一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)1、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（1）一階系統(tǒng)：能用一階微分方程描述的系統(tǒng)。（2）RC電路一階系統(tǒng)傳函的一般形式

2、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)（1）輸入：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)（2）輸出：（3）響應(yīng)曲線(xiàn)Laplace3、一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)（1）輸入：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)（2）輸出：（3）響應(yīng)曲線(xiàn)

Laplace4、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)（1）輸入:（2）輸出：（3）響應(yīng)曲線(xiàn)Laplace圖4-11表一一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)輸入信號(hào)輸入信號(hào)輸出響應(yīng)傳遞函數(shù)單位脈沖R(s)=1單位階躍

1(t)單位斜坡

t加速度函數(shù)等價(jià)關(guān)系：系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分；積分常數(shù)由零初始條件確定。4-3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)1、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（1）定義：由二階微分方程描述的系統(tǒng)。（2）典型例題：彈簧—質(zhì)量—阻尼系統(tǒng)（3）微分方程

拉氏變換傳遞函數(shù)特征根

S(S+2ξωn)ωn2圖4-13

標(biāo)準(zhǔn)形式的二階系統(tǒng)方塊圖_－自然頻率（或無(wú)阻尼振蕩頻率）－阻尼比（相對(duì)阻尼系數(shù)）

Xi（S）Xo（s)(4)二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式及方塊圖x++2、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)（1）輸入（2）傳遞函數(shù)（簡(jiǎn)化形式）特征方程特征根f(t)t10單位階躍函數(shù)特征根有三種情況：①欠阻尼，，特征根有一對(duì)共軛復(fù)根此時(shí)，此為衰減振蕩函數(shù),t,c(t)1∞∞②臨界阻尼，，特征根為一負(fù)實(shí)根。此為衰減振蕩的極限。

③過(guò)阻尼，，系統(tǒng)有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)圖4-16不同值的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線(xiàn)3、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)（1）輸入信號(hào)

（2）傳遞函數(shù)

輸出特征方程特征根

特征根有三種情況：①欠阻尼，，特征根有一對(duì)共軛復(fù)根(2)臨界阻尼（3）過(guò)阻尼

4-4高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析1、三階系統(tǒng)（1）傳遞函數(shù)（2）對(duì)應(yīng)方程（3）單位階躍響應(yīng)令，作拉氏逆變換，得（4）閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)若實(shí)極點(diǎn)位于共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的右側(cè)，且距原點(diǎn)很近，則響應(yīng)表現(xiàn)出明顯的慣性環(huán)節(jié)特性，共軛極點(diǎn)只增加曲線(xiàn)初始段的波動(dòng)。若實(shí)極點(diǎn)遠(yuǎn)離共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，位于它們的左側(cè)較遠(yuǎn)處，則實(shí)數(shù)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)影響較小，響應(yīng)特性主要決定于復(fù)數(shù)極點(diǎn)?？傊A系統(tǒng)的響應(yīng)特性主要決定于距虛軸較近的閉環(huán)極點(diǎn)，這類(lèi)極點(diǎn)叫做系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)2、高階系統(tǒng)（1）主導(dǎo)極點(diǎn)：系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)中，距虛軸最近，且周?chē)鸁o(wú)閉環(huán)零點(diǎn)的極點(diǎn)。主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)起主導(dǎo)作用，其它極點(diǎn)在近似分析中可以忽略不計(jì)。一般的，閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)總以共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的形式出現(xiàn)。（2）高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)4-5瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)性能要求：穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性、靈敏性1、瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)（1）前提條件：①系統(tǒng)受單位階躍信號(hào)作用；②零初始條件。（2）瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)①延遲時(shí)間td：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)c(t)達(dá)到其穩(wěn)態(tài)值的50%時(shí)所需要的時(shí)間。②上升時(shí)間tr：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)c(t),叢穩(wěn)態(tài)值的10%——90%（對(duì)于過(guò)阻尼），或從0——100%（對(duì)于欠阻尼）所需要的時(shí)間。③峰值時(shí)間tp：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)c(t)超過(guò)其穩(wěn)態(tài)值而到達(dá)第一個(gè)峰值時(shí)所需要的時(shí)間。④超調(diào)量Mp:單位階躍響應(yīng)c(t)第一次越過(guò)穩(wěn)態(tài)值而達(dá)峰值時(shí)對(duì)穩(wěn)態(tài)值的偏差與穩(wěn)態(tài)值之比。⑤調(diào)整時(shí)間ts:單位階躍響應(yīng)c(t)與穩(wěn)態(tài)值之差進(jìn)入允許的誤差范圍所需要的時(shí)間。通常取5%或2%。相對(duì)性指標(biāo)——Mp；靈敏性指標(biāo)——td，tr，ts。瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)的圖示2、二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)的推證（1）上升時(shí)間tr：由（4-28）式，當(dāng)t=tr時(shí)C(tr)=1,即令可得（4——43）（2）峰值時(shí)間將（4-28）式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并令其為零，即（3）超調(diào)量Mp：已知代入超調(diào)量的定義式。可得可見(jiàn)，超調(diào)量?jī)H與阻尼比有關(guān)。

（4）調(diào)整時(shí)間ts對(duì)欠阻尼二階系統(tǒng)，瞬態(tài)響應(yīng)為其包絡(luò)線(xiàn)方程為設(shè)允許誤差為δ%，則調(diào)整時(shí)間滿(mǎn)足用包絡(luò)線(xiàn)近似代替C(t),可得例題4-1，4-2，4-3p87-89

C(ts)-1=δ/100R(s)(-)C(s)?化為標(biāo)準(zhǔn)形式?即有2

n=1/Tm=5,

n2=K/Tm=25

解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為?解得

n=5,ζ=0.5

例1

已知圖中Tm=0.2，K=5，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)指標(biāo)。[解]：①③當(dāng)T不變時(shí)，T=0.25，②[例2]：如圖所示系統(tǒng)，試求：①和;②和③若要求時(shí)，當(dāng)T不變時(shí)K=?R(s)(-)C(s)?化為標(biāo)準(zhǔn)形式?即有2

n=1/Tm=5,

n2=K/Tm=25

解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為?解得

n=5,ζ=0.5

例3

已知圖中Tm=0.2，K=5，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)指標(biāo)。4-6系統(tǒng)誤差分析引論：

(1)時(shí)間響應(yīng)=瞬態(tài)分量+穩(wěn)態(tài)分量

(2)誤差產(chǎn)生原因：①系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不同，輸入信號(hào)不同，使輸出值偏離輸入值。②外界的干擾作用。③系統(tǒng)存在摩擦、間隙、零件變形。1、誤差與誤差的概念（1）誤差

測(cè)量值與真值之差異稱(chēng)為誤差；測(cè)量值偏離真值的大小，稱(chēng)為絕對(duì)誤差；相對(duì)誤差，是絕對(duì)誤差與測(cè)量值或多次測(cè)量均值的比值。①誤差信號(hào)E(S)=R(s)-H(s)C(s)Fig.4-24②誤差

(2)穩(wěn)態(tài)誤差①時(shí)域分析中：誤差通常是時(shí)間t的函數(shù)，以e(t)表示；穩(wěn)態(tài)誤差定義為誤差信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量，以ess表示

②計(jì)算公式：

C(s)=E(s)G(s)E(s)=R(s)-E(s)G(s)H(s)∴由終值定理

E(S)=R(s)-H(s)C(s)，F(xiàn)ig.4-242、系統(tǒng)的類(lèi)型（1）開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

①定義②一般地，K—開(kāi)環(huán)增益；Ta,Tb,--Tm;T1,T2,--Tp---時(shí)間常數(shù)；

----傳遞函數(shù)在原點(diǎn)有λ重極點(diǎn)。（2）按積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)分類(lèi)：

λ=0，0型系統(tǒng)；λ=1，Ⅰ型系統(tǒng)；λ=2，Ⅱ型系統(tǒng)（3）影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素可見(jiàn)，影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素為系統(tǒng)的類(lèi)型λ

、開(kāi)環(huán)增益K和輸入信號(hào)R(s)3、靜態(tài)誤差系數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差

（1）靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp：由（4-50）式，對(duì)單位階躍輸入其中①②位置誤差單位階躍輸入的響應(yīng)曲線(xiàn)0型系統(tǒng)1型及以上系統(tǒng)（2）靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv①定義：系統(tǒng)對(duì)單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差叫做速度誤差，即靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv定義為②速度誤差為

特例（3）靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka①定義：系統(tǒng)對(duì)單位加速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差叫做加速度誤差，即