2023年遼寧省阜新市統(tǒng)招專升本數(shù)學自考真題(含答案帶解析)

2023年遼寧省阜新市統(tǒng)招專升本數(shù)學自考

真題（含答案帶解析）

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題（30題）

微分方程學=e'+，的通解為（

）

OX

A.x-y=CB.ex+ey=C

1C.e-x+ey=CD.ex+e-J，=C

2.

設函數(shù)z=/+y-e"',則一=（）

dx

A.2x-e?B.2x-C.2x2+D.y-xe^

3.

.微分方程竺+⑥=的通解是

o（

yx

A.x2+丁=25B.3x+4v=C

CM=cD./-V=7

4.

莉*，冽A

HOII

f（Io）

A.

2/(jr0)

B.

0

C.

5.

設函數(shù)在①=1處可導，則lim八1+2八)；/(1一3小)=()

ioh

A.5/(1)B.-/(I)C.2/(1)D.

6.

.導數(shù)Harcsin.rdz=)

d.rJa

A.aresinJ-13.0

C.arcsinZ?-arcsinuD-7rb

7.

設有級數(shù)E>".s*=

%收斂的)

A.充分條件必要條件

C.充分必要條件).既非充分條件也非

8.

函數(shù)七=/(?,)，)在點(.3。)處有兩個偏導數(shù)言和式存在.則它在點心…)處

()

A.連續(xù)B.可微C.不一定連續(xù)D.-定不連續(xù)

設1=(呵ff(%y心,交換積分次序得i=(）o

A.（?。荩骸皡^(qū)的由'B.￡dx￡f（x,y）dy

9c?Wf^y）名D-1dxl*f（x,y）dy

27.

10.

?

若/⑴=A+C朋/⑴

x

X

A.

1

X

B.

1

X2

c.

1

11.

已知/⑺=京華,則/，（）是

4()

A.—3eB.--

e

C—D.3

3e

12.

如果級數(shù)?”（&收斂，則必有()

cntr.

A.級數(shù)一l）"u.收斂B.級數(shù)X???I收斂

11

coee>

c.級數(shù)￡—發(fā)散D.級數(shù)+-)收斂

?=1n?=1"

13.

定積分3;產(chǎn)的值是()

A.21n~B.In2-1C.%2D.1-ln2

14.

曲線y=好|的漸近線()

A.僅有水平漸近線B.既有水平又有垂直漸近線

C.僅有垂直漸近線D.既無水平也無垂直漸近線

15.

已知函數(shù)y—/（工）在閉區(qū)間上連續(xù),且/（工）20.則由曲線y=/（J）與直線

上=a._r==0所圍成的平面圖形的面積是（）

A.J/(j)d.rB.f/(j')(Lr

Jb

C.|/(/?)—/(〃)I(b—a)D.不確定

16.

與：=(2,-1,2)共線且滿足:;=-18的向量；為()

A.(-4,2,-4)B.(-2,1-2)C.(4,2,4)D.(2-1,2)

17.

j2.r3e-J，'d.r=)

A.1B.OC.1-2e-,D.e-1-1

18.

已知函數(shù)z=Mjr.y)由方程——3yz十/一2=0所確定,則會，=1=()

。左y=O

A.-1B.OC.1D.2

19.

.下列微分方程中可進行分離變量的是

^.y，=(x+y)^

C.y=外十D.y"=+

20.

函數(shù)/(J)=er—e-J的一個原函數(shù)是

A.F(z)=e'-e'B.F(JT)=er+e~r

C.F(.r)=e-"—e*D.F(才)=-er-e-r

21.

i

y(x)=l=，則x=0是/(x)的()

e*+l

A.可去間斷點B.跳躍間斷點C.第二類間斷點D.連續(xù)點

22.

設+C,則/(x)=

A.xezB.x-xer

r

C.jre'+xD.(T+l)e

23.

.方程d一之一1=o在下列區(qū)間中至少存在一個實根的是()

A.(0-B./y?1\C.(1.2)D.(2.3)

24.

設函數(shù)/(x)在工=工?？蓪?且f(x0)=1,則lim/5+31/5-2〃)=

&T>fl

()

A.1B.2C.3D.5

25.

設/(l)=/(1+1)行+3),則/"(i)=0有________個根.()

A.3B.2C.1D.O

26.

已知函數(shù)八2工一1)的定義域為[0,1],則函數(shù)/(x)的定義域為(

A.[;,1]B.[-1,1]

C.[0,1]D.C-1,2]

27.

,設二元函數(shù)之=/+<yZ+丫3,則=()

t)X<Jy

A.3yzB.C.2yD.2x

28.

曲線y=?二+”的漸近線(只考慮水平和垂直漸近線)共有()

X-—3x+2

A.1條B.2條

C.3條D.4條

29.

,12、,10\,52、,

已知4=(。3bB=QJ旦期=(63卜則工=()

A.-1B.1C.-2D.2

30.

出口線y=x+1.x=1,x岫及y軸用成的圖形繞x軸旋禮周所存的旋行體積

為().

二、填空題(20題)

pdr

3］廣義積分5是的(填“收斂”或“發(fā)散").

32.

設隨機變量X?N(1.4).5>(0.5)=0.6915,0(1.5)=0.9332,則P(|X|>2)

33.

設隨機變量X~B(n,p),且數(shù)學期望EX=4,方差DX=2.4,則口=

34.

已知函數(shù)/(］)=Inz為可導函數(shù)，則/Cr)在點#=1.01處的近似值為

線性方程組［再-2)=°，只有零解，則左=

2%+優(yōu)=0

設函數(shù)/⑺=1噸口做>°),則螞八］空/⑺

交換二次積分I=「$，廣/(工，3，)<17的積分次序，則I=

JuJ0

lim（二”=

38.L8X

函數(shù)y=[ln（1—父）丁的微分dy=

39._____

40微分方程y~4丁’+5y=0的通解為

4]曲線L為./+V=/，則，j'/777ds=

lim=

42…〃，1

43.

設直線一~^==匚戶與平面21r—y—=+5=0平行，則p=

1-Lp

8OOOO

若XU”=5,X%=10,則￡（10〃”—3q）=

44.0=1"=1"=i

45函數(shù)-的拉氏變換為

皿已知極限史（一占’=「,則常數(shù)2

不定積分11=

J工十sinx

.2-2Idr=

48.

yr+4y+4v=o,

設函數(shù)y=Mx）滿足條件則JoM'g

49.y(0)=2,y(0)=T,

flfl

50交換積分次序=------------------

三、計算題（15題）

51.

討論函數(shù)y=2丁-的單調(diào)性.

bo

52.

玉+*2+均=L

.設非齊次線性方程組?2玉+々+工3=2,已知（1,-1,1）7是方程組的一個解.

3xt+x2+ax3=b,

（1）問a）為何值時方程組有唯一解?

（2）問a,6為何值時方程組有無窮多解？并求出導出組的基礎解系表示的通解.

求曲線N=arciamr丁的凹凸區(qū)間及拐點.

53.

54.

求微分方程7+2.y'+》=0滿足初始條件j（0）=4和/（0）=-2的特解.

55求不定積分，片等萼d#

*…+-------

1-22-3314?(w+1)?

已知,具有二階連續(xù)偏導數(shù)，若2—3戶，求整痣.

100,

設函數(shù)/(])=V用導數(shù)定義計算/（0）.

求定積分F學空蘭&r.

J。y/\—X2

根據(jù)〃的取值情況，討論級數(shù)￡區(qū)亙二■"上的斂散件.

■=2打

求極限Hm粵江土.

XTOxsinx

62.將函數(shù)/（1'）=Ini展開成（1—2）的幕級數(shù),并指出其收斂域.

設方程arctan±=InJx?+丁」確定y是x的函數(shù),求y'.

求(JT+1)sinjrdjr.

64.

65.

若函數(shù)f\x)是連續(xù)函數(shù)，/(2)=3,/'⑵=0,￡f(x)dx=2,求(x2f(2x)dx.

四、證明題(10題)

“已知fO)=—3.r—1.求：

OO.、

(1)函數(shù)/(1)的凹凸區(qū)間；

(2)證明方程f(1)=0在(1,2)內(nèi)至少有一個實根.

67證明：當0V才W式時,,rsinj-I2COSJT<2.

68.

設函數(shù)/(.r)在閉區(qū)間［0.0上連續(xù)，在開區(qū)間(o?“)內(nèi)可導，證明在開區(qū)間(0,灰)內(nèi)至

少存在一點￡,使得/(^)sin$=—/(f)cos^.

69.

設八4)在［a,6］上連續(xù)，且八才)>0.證明：

/(x)d/)；d.r{b—aY.

JaJaj\JC/

70.

證明不等式：竺二NVin%〈”二H其中n<m為正整數(shù).

myin

71.

設/(x)在區(qū)間［0,。］上連續(xù)，證明：「/(x2)±r=2「_/(/)cLr.

J—aJ0

72.

設函數(shù)F（J）=/（￡）_/（。）（z>0）,其中/（.r）在區(qū)間［a.+8）上連續(xù)，）在

2、-a

（a,+8）內(nèi)存在且大于零,求證：FQ）在（a?+8）內(nèi)單調(diào)遞增.

證明：當01時—①）>21.

73.

74.

設平面圖形D由曲線工=24y^y=/一Z與直線y=1圍成，試求：

（1）平面圖形D的面積；

（2）平面圖形D繞工軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

75.

求拋物線y=1-.r:及其在點（1,0）處的切線和y軸所圍成圖形的面積,并計算該圖

形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積.

五、應用題（10題）

76.

靠?堵充分長的墻邊.增加三面墻圍成一矩形場地.在限定場地面積為64m：的條件

下.問增加的三面墻氏各多少時.其總長最小.

77.

已知曲線1y=aG（a>0）與曲線N=Inc在點（10，義）處有公切線?試求：

（1）常數(shù)a和切點Qo，y>）；

（2）兩曲線與1軸圍成的平面圖形的面積S.

78.

將周長為22的矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)而構成一個圓柱體.矩形的邊長各為多少時.才可

使圓柱體的體積最大？

79.

某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租.當月租金定為2000元時.公寓會全部租出去，當月

租金每增加100元時?就會多一套公寓租不出去.而租出去的公寓每月需花費200元的維修

強?試問租金定為多少可獲得最大收入？最大收入是多少？

80.

設平面圖形D由曲線），=:和直線y=九①=2及/軸圍成.求：

（1）平面圖形D的面積；

（2）這圖形繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體枳.

81.

某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租.當月租金定為2000元時,公寓會全部租出去.當月

租金每增加100元時.就會多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花費20（）元的維修

費,試問租金定為多少可獲得最大收入？最大收入是多少？

82.

設義工）在0,公二階可導，且/"）=0,又設F（x）=（工一。產(chǎn)”工），證明在（叫外內(nèi)

至少存在一點3使尸（￡）=0.

83.

求曲線段y=合（04￡&］）上一點處的切線.使該切線與直線y=0,工=1和曲線

所圍成圖形的面積最小.

84.

求由曲面z=M，與平面.r+y=1.及三個坐標面所圍成立體的體積.

85.

求曲線y=Inw在區(qū)間(2.6)內(nèi)的一點，使該點的切線與直線N=2.1=6以及

y=瓜下所圍成的平面圖形面積最小.

六、綜合題(2題)

設函數(shù)八］)=齊黑在點z=1處取得極值一試求：

(1)常數(shù)a/的值；

(2)曲線)=/(a)的凹凸區(qū)間與拐點；

(3)曲線y=JW的水平和垂直漸近線.

86.

87.

g

設數(shù)列｛aj.｛“｝滿足0<%<自,0<611Vy,cosa.-cos/>.=a,,且級數(shù)收

斂.證明：

(1)lim%=0；

19

⑵級數(shù)￡受收斂.

|??1*

參考答案

1.D

D

【評注】分離變量得：6->砂=6、心兩邊積分卜7砂=卜*匕，-e-y=ex+C

e+e=C.

2.B

B

【評注】本題考查多元函數(shù)求偏導數(shù)，等號左右兩邊對x求偏導數(shù)得：匕■=2x-e個y.

dx

3.C

【精析】由必?+*'=0.得"=一業(yè).分離變量一％d.r=.yd.y.

y#y才

兩邊積分.得一另2+c,=ly.即/+丁=(、為原微分方程的通解.故選c.

4.B

［精析］A=lim/"+=；/"一公

joh

../(.r(>+A)—/(.r0)—［/(.r0—h)—/(.->)］

=；lini---------------------------：---------------------------

n

v+〃)一/(1(>),r/(?Q—h)—/(.r())

=lini-----------：-------------rlini-----------------------

/?-?()liA-*i>-Il

=f(x())+f'(x(,)=2f'(x.>),

故應選B.

5.A

［答案1A

［精析］HmA】+2〃)；-3/，)=2lim二①)+3lim△匕當,二S

A-*OhioZhh—Q—3/i

=2/⑴+3/'⑴=5/(1),

6.B

【精析】因為定積分「arcsinj：&t的f宜為常數(shù).常數(shù)的導數(shù)等于0.所以arcsiazdz=

0.故應選B.

7.B

n「【精析】偏導存在不一定連續(xù)?故應選c.

o.C

9.C

10.C

［iff］裁/⑴Uir=e—+CffiW；r求導得，/⑴e—二e一1微/⑴二

ll.D

【精析】/'(?r)=-e-3，，/〃Q)=3e7',則/'(+)==3e-.本題選D.

12.C

[答案JC

【精析】因為#o)收斂?所以lima=0>1淅工=8,所以方-發(fā)散,故

-ILB13o-l

選c.

13.D

【精析】=j(l—戶/=[x—ln(l+x)J=1—ln2.

14.B

【精析】lim2j]=0.lim+：1,=8.

jrx-3x.±73JT-3

所以V=0是水平漸近線,.r=土"是垂直漸近線,故應選B.

15.A由定積分的幾何意義可知A正確.

16.A

A

【評注】2=二1=2,；與：共線，2x(—4)+(-l)x2+2x(-4)=-18,故選A.

—42一4

［答案］A

【精析】方程/一3"十二-2=o兩邊分別對工求偏導,

3d善―3>竺+3/=0—等=上二

oxojrdxy-z

當.r=l,y=0時.z=1.所以十1,故選A.

18.A

19.B

【精析】對于B項,)，'=XVeT?e-v,分離變量得分；=.r-d.r,故應選B.

ve,

20.B

【精析】C/'(a')clj-=pe'—e1)d.r=e'd.r+je'd(—j)=e'+e'+(',結合選項

可知B正確.

21.B

22D【精析】兩邊同時求導，得fl)=(i+De，.故選D.

23.C

利用零點定理去驗證?只有選項C中區(qū)間兩端點函數(shù)值異號.故應選C.

24.D

../(xo+3A)-/(x)+/(r)-/(x-2/i)_,../(x+3/9-/(x)

【精析】urn-----------------0--------0---------c--------?5um----0----r-r-------0-

A-*Oh20oh

2/i)fg

+2lim以紅=5/(Zo)=5.

；i-?0^2h

25.B

【精析】函數(shù)/(丁)在定義域內(nèi)連續(xù)可導，且/(0)=/(-1)=/(-3)=函故由羅爾

定理可得至少存在兩點&€(T,O),&e(-3,—1)使得/'(&)=o,『(&)=0,又

/"(z)=0為二次方程,因此/'(①)=0有兩個根.

26.B

【精析】由/(2x-l)的定義域為［0.1］,可知一1427一141.所以fCr)的定義域

為［-1,1］，故應選B.

4+*2,_2_±_=3.N+了2)=2了.故應選C.

27QJi3①3yv

28.C

［答案］C

2.+2Hx+j)

【精析】因為》=/(工)=2"=7——,,,9，,lim/(x)=2,從而y=2

X—3XT2(X1)(X4)A8

是水平漸近線=8=8,從而/=1,/=2是垂直漸近線.故選C.

29.B

30.A

31.收斂

【精析】flimf1而2萬「=lim(2-2后)=2,所以該廣義積分收斂.

J0&=-()-J“y/jc?-*0+'"“i+

［答案］0.3753

【精析】P(X|>2)=P(X>2)+PCX<-2)

=1-P(j-<2)+尸<-2)

32.0=16(0.5)+中(1.5)

=1一①(0.5)+1—?(］.5)

=2-0.6915-0.9332

=0.3753.

33.10

34.

0.01

【精析】由/(Xo+A.r)??故/(l+0.01)&/(D+，(l)-0.01=

Ini+(Y|J?0.01=0.0L

35.

H-4

【評注】方程組只有零解的充要條件為1-2工即4+4/o,%。_4.

2k

36.

1

jc\r\2

38.

e-2

【精析】lim(^------)2j=lim(1H------)2j=lim(1-----=c

-1一。上-.r

39.

21n(1—2?)j

---------------djr

JC—1

【精析】因，二21n(1—1)?4?(-1)二辿一澈小，=膽?此

1-II-1JC-1

40.

y=e"(GcosiIC2sinx)(C),C2為任意常數(shù))

41.

2nae*

【精析】由題意可知.積分曲線L可表示為X=acosd.

y=asin8.0W。&2式.

故

$e小=feu_asin^)2+(acos/?)2d^=aeadO=2i^uea.

JLJt)J0

42.e-3

[答案1e-,

【精析】lirn(^4)-=lim(l——，)"=lim(l——六川=e

?1/2,1k?fl*1It?)1I1

43.

4

【精析】直線的方向向量為S=(1.—2,?),平面的法向量為"=(2.-1.-1).

V直線與平面平行.二s?〃=0,即2+2一力=0.解得。=4.

44.20

L答案」20

OO?08

【精析】七(10un—30”)=10un—3￡口=10X5—3X10=20.

n—1n-1n-1

45.

[答案1J

4T【精析】L[sim]=

46.

1

47.

In|jr+sinT|+C

【精析】dr=——U——d(x+sinr)=In|x+siru|+C.

Jx‘1+sinzJx+sirw

［答案］4

【精析】II.r—21dz_4|.r—2|d.r

=|'(2-.r)dr+PQ—2)dr

2H+(2

48.4f--

49.

1

50.

y

dv/(w,.y)dw

o'Jo,

【精析】作出積分區(qū)域如右圖,故交換積分次序得

原式=dy［/（.r.y）d.r.

JoJo

51.

【精析】函數(shù)的定義域為（一8,十°0）,因為“=1,一才？=/（久一1）（支+1）,所以,

令＜/=。，得駐點.門=—1，12=。，了3=1.列表討論如卜：

(-8,—1)-1(一1,0)0(0,1)1(1,+8)

/

y+0—0—0+

y/

所以，函數(shù)八①）在區(qū)間（-8,—1）與（］,+8）上單調(diào)增加,在區(qū)間（一1,1）上單調(diào)減少.

52.

>.解:因為(1,-1,1)7是方程組的一個解，所以6=4+2,對方程組的增廣矩陣/

作初等行變換

1](1001、

0->0110

b-3)100a-1b-3.

1)要使方程組有唯一解，必須?用=「(才=3,所以a-l*0,awl,

由b=a+2,得6x3,即當awl且力。3時，方程組有唯一解；

2)要使方程組有無窮多解，必須?/)=?7)=2<3,所以a-l=b-3=0

得到a=l,b=3,即當a=1,6=3時，方程組有無窮多解.此時方程組的一般解為:

*=】，(其中七是自由未知量)，得方程組的一個特解是丁=(1,0,0尸，方程組

導出組的基礎解系為方程組的通解為刀=(1,0,0),+上(0,-1,1),(其中左為

任意常數(shù)).

53.

【精析】函數(shù)定義域為(-8,+8),>'=7-^-1,/=一右2土,

1-rx~十JT)-

令7=0,得工=。，且函數(shù)無二階不可導點，

則當Z<0時,y">0.曲線在(-8,0)上是凹的；

當彳>0時?y”V0.曲線在(0,十8)上是凸的.

且拐點為(0?0).

54.

【精析】特征方程為/-2「+1=0.特征根為r,=r2=一1,因此所給方程的通解為

x

y=(C)—C3x)e?

-,r

對通解求導.得y'=(C--Ct—C:j-)c.

’4=C|?

將初始條件y(0)==2代人上而兩式.得J

2=C2—Ct,

解方程組，得G=4c=2.

于是所求特解為y=(4十2工)e：

55.

【精析】f中用?如=c-dx+i誓孕日

J1+JTJI+N，J1-r-Xs

=-^-j]〉.?d(]-f-x')+，arctanzd(arctanjr)

=}ln(1+/)+-^-arctan'JT+C.

56.

解：原式+

n->oo2)

f,iu

=rlim1-----=1?

n+lj

57.

.【精析】/,cosj-4-/2.丁，

a、

fit?2xy?COSJF+色?2iy?丁+f?2y

djcdy

3

=Zjcycosxf^t+2xyfu+2yft.

58.

,/n,.、“八、A?sin「+sin2Al

【精析】/(0)=lim八°?Ai)-/(。)=lim---更-------

AIOA.r立虱Ai

=lim(ArsinZ+%辿)=O+lim皿辿

Ar-0A.rAjA,r-0、JC

oi-sin2Ar

=zlim----=L.0

Ar-?OZAT

59.

arccosj-d(y1—x2)

7tT汽—耳=5冗_翼

衣2-2=衣一T'

60.

【精析】將級數(shù)的一般項進行分子有理化.得到

_，力+2—x/〃-2_4

江(vV+T+"F

所以有l(wèi)im4-=2.

eo

(1)當a＞十時,由于XW收斂，

因此級數(shù)t五三2三五三2收斂,

7-i〃

(2)當。(春時,由于工;二下發(fā)散?

2U

因此級數(shù)W五三三返三Z發(fā)散.

?=2M

61.

wvtanx-xx..tanx-x..se(？x-12sedx?tanx

解：原式=hm——：----------=lim__：-=hm-----：—=lim--------------

x-*o￡sinxx-*°xf3x*-^06x

1..tanx

=-hm-----1_

3XTOx3

62.

【精析】7(r)=Irtr=In[2+(N—2)J

=叩(1+三)]=ln2—ln(1+土二）

因為ln(l+#)=?(1)”.三-J1<.r<1),

仁〃+1

故/(a-)=ln2+二(T)'?(:十])"。V/44.

63.

解：方程化為arctan±=LlnQ2+y2),兩邊對％求導數(shù)，得

y2

1\-y-x-y'11刖L-W—x+W出

7

—「一=彳-77TQ+2R)，即；7777r^得

xy2x+yy+xx+y

]42

y

y-xy'^x+yy',解得y=

y+x

64.

【精析】原式=-(父+Ddcosjr=-(T+DCOST+cosjrdj-

Ja

=-(T+1)COST+sinj?+C.

65.

解：令“=2x,戶2/3)&彳口27(〃)山=式2陽/,?

■,"I2

■」0

=一，叭〃)]：+白；/(〃)九=一%/2=-1.

66.

【證明】(1)f(r')=5才'—3./'(工)=20.，.令/'(1)=0*得=0,

當1>0時./'(1)>0；當上V0時，/'(H)<0.

故/(r)在凹區(qū)間為(0,+8).凸區(qū)間為(一8,0).

(2)/(x)="-3l—1,知fS在［1,2］上連續(xù).

又/(I)=-3<0./(2)=25>0.即/(1)?/(2)<0.

由零點存在定理知?/加)在(1.2)內(nèi)至少有一點3使/(。=0.即=0在(］.2)

內(nèi)至少有一實根.

67.

【證明】令/(1)=xsinr+2cosx—2.

則/’(1)=sinz-rJFCOSX—2sin>r=1COST—sinj-,

/"(z)=c0S4—Nsinz-COSJC=-zsin］.

當0VzVn時V0.于是,(力單調(diào)遞減，

且7(x)在［o,“］上連續(xù),所以/(工)<Z(o)=o,于是f(1)單調(diào)遞減.

所以/1(J)<./'(0)=0,即Jsinjr+2cosz—2<0.結論成立.

68.

【證明】令F(.T)=y(x)sinjr?

則F(0)=/(0)sinO=0=y(K)sin?r=F'(TT),

且F(w)在［0?兀］上連續(xù)，在(0,穴)內(nèi)可導.

由羅爾定理知.在(0，n)內(nèi)至少存在一點￡使得尸'(6)=0?

即/"(W)sin￡=—/(c)cosc.

69.

ff(^r)dx—^―d1dxdy

Ja.w⑴?春必力斗八力fh

D"D

70.

【證明】設/(力=Inz,易知/(z)在區(qū)間［〃,,〃］上滿足拉格朗日中值定理條件,

即至少存在一點EG(〃,〃?)，使得

ln?n-ln〃_1

---------——，

m—nW

又因為0<7，<名</〃,故_^_<!<,，從而有

1/In/z?—ln〃1?1

—<---------=1V—，

mm-ngn

整理得生二口<ln-<生二口.

mnn

71.

【證明】「/(x2)dT=「/(〃)d/+1/Cr2)di,

J—aJ~a0

令x=-t?則

Jf(x2)dx=J/[(—Z)2]d(—t)=—Jf(F)df

f(產(chǎn))df=/(工2)(1r.

則1/(/)cLr

fXx2)dx+/(x2)dx=2f(x2)da-.

72.

【證明】???/(])=△力士一盤;"舁2二￡他-]

(J,—a)

rtlL呷ran?學理.(I)(1一a)一/'(g)Q-a)(?<e<j)

/(x)—/(a)=/(￡)(^-a)(w—a)2C*

=/&)-『(?，岳?，〕上小〉/"5)(TT)>0(e<n<r)

7

X—a應用Lagrange定理X~a/'

/.F(x)在(a,+oo)內(nèi)單調(diào)遞增.

73.

【證明】令/(J)=(x2)ln(1JT')2x./'(X)=ln(1x)1—r.

jr-1

/'(?r)=—^+7~當0〈工<1時,，(工)>0,

X-1(4一])”

所以f'Q：)在0&才<1內(nèi)單調(diào)遞增.又/(0)=0,所以/(a-)>0,

故f⑺單調(diào)遞增,又因為/(0)=0,所以當0〈才V1時，/”)>0,

即當OVzVl時，(才2)ln(lJT)>2x.

74.

【精析】平面圖形D區(qū)域如圖所示.

(DS=f(2\/y—y2)dy=(2?至/

JoO0

⑵V1=nJ11—(，一/)"](!/j口-仔），

中十豹;87r_217r

虧一而.

75.

【精析】平面圖形如圖所示，因y=一2工.所以歸=

從而經(jīng)過點（1,0）的切線方程為y=-2工|2.

所求平面圖形的面積為

S=j'［（-2工+2）一（1一

=0/-2工+1）業(yè)

=J_

一手

該圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積為

V=-yJT?I2?2—TtJ（1—3）dy

=%中一知）|:

71

76.

【精析】設與已知墻面平行的墻的長度為/ni.則另兩面墻的長為?m.

故三面墻的總長為/=,r+—（^->0）.

JC

令r=1一摯=0.解得唯一駐點I=8.叵.且廣=冬>0.

故當《r=8.叵m時./取值最小，

此