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文檔簡介
2024屆甘肅省天水市太京中學數(shù)學高三第一學期期末檢測試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知實數(shù),則下列說法正確的是()A. B.C. D.2.已知點,點在曲線上運動,點為拋物線的焦點,則的最小值為()A. B. C. D.43.已知函數(shù)(表示不超過x的最大整數(shù)),若有且僅有3個零點,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知f(x),g(x)都是偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞增,設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|,若a>0,則()A.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)B.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)C.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)D.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)5.過雙曲線左焦點的直線交的左支于兩點,直線(是坐標原點)交的右支于點,若,且,則的離心率是()A. B. C. D.6.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A.6 B.5 C.4 D.37.已知數(shù)列的通項公式為,將這個數(shù)列中的項擺放成如圖所示的數(shù)陣.記為數(shù)陣從左至右的列,從上到下的行共個數(shù)的和,則數(shù)列的前2020項和為()A. B. C. D.8.如圖是計算值的一個程序框圖,其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()A.B.C.D.9.是的()條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要10.在等差數(shù)列中,若為前項和,,則的值是()A.156 B.124 C.136 D.18011.定義在上的函數(shù)滿足,則()A.-1 B.0 C.1 D.212.下列函數(shù)中,值域為的偶函數(shù)是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)(R,)滿足,且的最小值等于,則ω的值為___________.14.若點在直線上,則的值等于______________.15.已知實數(shù),滿足,則的最大值為______.16.已知變量x,y滿足約束條件x-y≤0x+2y≤34x-y≥-6,則三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,設(shè),過點的直線與圓相切,且與拋物線相交于兩點.(1)當在區(qū)間上變動時,求中點的軌跡;(2)設(shè)拋物線焦點為,求的周長(用表示),并寫出時該周長的具體取值.18.(12分)若不等式在時恒成立,則的取值范圍是__________.19.(12分)如圖,已知橢圓C:x24+y2=1,F(xiàn)為其右焦點,直線l:y=kx+m(km<0)與橢圓交于P(x1(I)試用x1表示|PF|(II)證明:原點O到直線l的距離為定值.20.(12分)在中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且向量與向量共線.(1)求B;(2)若,,且,求BD的長度.21.(12分)已知向量,函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在中,三內(nèi)角的對邊分別為,已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點,成等差數(shù)列,且,求a的值.22.(10分)已知點,直線與拋物線交于不同兩點、,直線、與拋物線的另一交點分別為兩點、,連接,點關(guān)于直線的對稱點為點,連接、.(1)證明:;(2)若的面積,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
利用不等式性質(zhì)可判斷,利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】解:對于實數(shù),,不成立對于不成立.對于.利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增性質(zhì),即可得出.對于指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減性質(zhì),因此不成立.故選:.【點睛】利用不等式性質(zhì)比較大小.要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件.解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外,還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法.2、D【解析】
如圖所示:過點作垂直準線于,交軸于,則,設(shè),,則,利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示:過點作垂直準線于,交軸于,則,設(shè),,則,當,即時等號成立.故選:.【點睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題,意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.3、A【解析】
根據(jù)[x]的定義先作出函數(shù)f(x)的圖象,利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f(x)與g(x)=ax有三個不同的交點,利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可.【詳解】當時,,當時,,當時,,當時,,若有且僅有3個零點,則等價為有且僅有3個根,即與有三個不同的交點,作出函數(shù)和的圖象如圖,當a=1時,與有無數(shù)多個交點,當直線經(jīng)過點時,即,時,與有兩個交點,當直線經(jīng)過點時,即時,與有三個交點,要使與有三個不同的交點,則直線處在過和之間,即,故選:A.【點睛】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)的范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域(最值)問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.4、A【解析】試題分析:由題意得,F(xiàn)(x)=2g(1-x),f(x)≥g(1-x)∴F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)≥g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)<g(1+a),∵a>0,∴(a+1)2-(a-1)∴若f(a)>g(1+a):F(-a)=2g(1+a),F(xiàn)(a)=2g(1-a),∴F(-a)>F(a),若g(1-a)≤f(a)≤g(1+a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(xiàn)(a)=2g(1-a),∴F(-a)≥F(a),若f(a)<g(1-a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(xiàn)(a)=2f(a),∴F(-a)=F(a),綜上可知F(-a)≥F(a),同理可知F(1+a)≥F(1-a),故選A.考點:1.函數(shù)的性質(zhì);2.分類討論的數(shù)學思想.【思路點睛】本題在在解題過程中抓住偶函數(shù)的性質(zhì),避免了由于單調(diào)性不同導致1-a與1+a大小不明確的討論,從而使解題過程得以優(yōu)化,另外,不要忘記定義域,如果要研究奇函數(shù)或者偶函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性等問題,通常先在原點一側(cè)的區(qū)間(對奇(偶)函數(shù)而言)或某一周期內(nèi)(對周期函數(shù)而言)考慮,然后推廣到整個定義域上.5、D【解析】
如圖,設(shè)雙曲線的右焦點為,連接并延長交右支于,連接,設(shè),利用雙曲線的幾何性質(zhì)可以得到,,結(jié)合、可求離心率.【詳解】如圖,設(shè)雙曲線的右焦點為,連接,連接并延長交右支于.因為,故四邊形為平行四邊形,故.又雙曲線為中心對稱圖形,故.設(shè),則,故,故.因為為直角三角形,故,解得.在中,有,所以.故選:D.【點睛】本題考查雙曲線離心率,注意利用雙曲線的對稱性(中心對稱、軸對稱)以及雙曲線的定義來構(gòu)造關(guān)于的方程,本題屬于難題.6、A【解析】
根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、B兩點的坐標,再求出向量的坐標,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算求出結(jié)果.【詳解】由圖象得,令=0,即=kπ,k=0時解得x=2,令=1,即,解得x=3,∴A(2,0),B(3,1),∴,∴.故選:A.【點睛】本題考查正切函數(shù)的圖象,平面向量數(shù)量積的運算,屬于綜合題,但是難度不大,解題關(guān)鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖象求出坐標,再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算可得結(jié)果,屬于簡單題.7、D【解析】
由題意,設(shè)每一行的和為,可得,繼而可求解,表示,裂項相消即可求解.【詳解】由題意,設(shè)每一行的和為故因此:故故選:D【點睛】本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.8、B【解析】
根據(jù)計算結(jié)果,可知該循環(huán)結(jié)構(gòu)循環(huán)了5次;輸出S前循環(huán)體的n的值為12,k的值為6,進而可得判斷框內(nèi)的不等式.【詳解】因為該程序圖是計算值的一個程序框圈所以共循環(huán)了5次所以輸出S前循環(huán)體的n的值為12,k的值為6,即判斷框內(nèi)的不等式應(yīng)為或所以選C【點睛】本題考查了程序框圖的簡單應(yīng)用,根據(jù)結(jié)果填寫判斷框,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
利用充分條件、必要條件與集合包含關(guān)系之間的等價關(guān)系,即可得出。【詳解】設(shè)對應(yīng)的集合是,由解得且對應(yīng)的集合是,所以,故是的必要不充分條件,故選B?!军c睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關(guān)系法。設(shè),如果,則是的充分條件;如果B則是的充分不必要條件;如果,則是的必要條件;如果,則是的必要不充分條件。10、A【解析】
因為,可得,根據(jù)等差數(shù)列前項和,即可求得答案.【詳解】,,.故選:A.【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列前項和,解題關(guān)鍵是掌握等差中項定義和等差數(shù)列前項和公式,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
推導出,由此能求出的值.【詳解】∵定義在上的函數(shù)滿足,∴,故選C.【點睛】本題主要考查函數(shù)值的求法,解題時要認真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用,屬于中檔題.12、C【解析】試題分析:A中,函數(shù)為偶函數(shù),但,不滿足條件;B中,函數(shù)為奇函數(shù),不滿足條件;C中,函數(shù)為偶函數(shù)且,滿足條件;D中,函數(shù)為偶函數(shù),但,不滿足條件,故選C.考點:1、函數(shù)的奇偶性;2、函數(shù)的值域.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
利用輔助角公式化簡可得,由題可分析的最小值等于表示相鄰的一個對稱中心與一個對稱軸的距離為,進而求解即可.【詳解】由題,,因為,,且的最小值等于,即相鄰的一個對稱中心與一個對稱軸的距離為,所以,即,所以,故答案為:1【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的對稱性的應(yīng)用,考查三角函數(shù)的化簡.14、【解析】
根據(jù)題意可得,再由,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,得,又,解得,當時,則,此時;當時,則,此時,綜上,.故答案為:.【點睛】本題考查誘導公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
畫出不等式組表示的平面區(qū)域,將目標函數(shù)理解為點與構(gòu)成直線的斜率,數(shù)形結(jié)合即可求得.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下所示:因為可以理解為點與構(gòu)成直線的斜率,數(shù)形結(jié)合可知,當且僅當目標函數(shù)過點時,斜率取得最大值,故的最大值為.故答案為:.【點睛】本題考查目標函數(shù)為斜率型的規(guī)劃問題,屬基礎(chǔ)題.16、-5【解析】
畫出x,y滿足的可行域,當目標函數(shù)z=x-2y經(jīng)過點A時,z最小,求解即可。【詳解】畫出x,y滿足的可行域,由x+2y=34x-y=-6解得A-1,2,當目標函數(shù)z=x-2y經(jīng)過點A【點睛】本題考查的是線性規(guī)劃問題,解決線性規(guī)劃問題的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結(jié)合思想。需要注意的是:一,準確無誤地作出可行域;二,畫目標函數(shù)所對應(yīng)的直線時,要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進行比較,避免出錯;三,一般情況下,目標函數(shù)的最大值或最小值會在可行域的端點或邊界上取得。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)的周長為,時,的周長為【解析】
(1)設(shè)的方程為,根據(jù)題意由點到直線的距離公式可得,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得,設(shè)?坐標分別是?,利用韋達定理以及中點坐標公式消參即可求解.(2)根據(jù)拋物線的定義可得,由(1)可得,再利用弦長公式即可求解.【詳解】(1)設(shè)的方程為于是聯(lián)立設(shè)?坐標分別是?則設(shè)的中點坐標為,則消去參數(shù)得:(2)設(shè),,由拋物線定義知,,∴由(1)知∴,,的周長為時,的周長為【點睛】本題考查了動點的軌跡方程、直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線的定義、弦長公式,考查了計算能力,屬于中檔題.18、【解析】
原不等式等價于在恒成立,令,,求出在上的最小值后可得的取值范圍.【詳解】因為在時恒成立,故在恒成立.令,由可得.令,,則為上的增函數(shù),故.故.故答案為:.【點睛】本題考查含參數(shù)的不等式的恒成立,對于此類問題,優(yōu)先考慮參變分離,把恒成立問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的新函數(shù)的最值問題,本題屬于基礎(chǔ)題.19、(I)|FP|=2-32x【解析】
(I)直接利用兩點間距離公式化簡得到答案.(II)設(shè)Ax3,y3,Bx4【詳解】(I)橢圓C:x24|FP|=x(II)設(shè)Ax3,y3,B4k2+1x2OA=OB,故y3PA=PF,故1+k由已知得:x3<x故1+k即1+k2?故原點O到直線l的距離為d=m【點睛】本題考查了橢圓內(nèi)的線段長度,定值問題,意在考查學生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.20、(1)(2)【解析】
(1)根據(jù)共線得到,利用正弦定理化簡得到答案.(2)根據(jù)余弦定理得到,,再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】(1)∵與共線,∴.即,∴即,∵,∴,∵,∴.(2),,,在中,由余弦定理得:,∴.則或(舍去).∴,∵∴.在中,由余弦定理得:,∴.【點睛】本題考查了向量共線,正弦定理,余弦定理,意在考查學生的綜合應(yīng)用能力.21、(1),(2)【解析】
(1)利用向量的數(shù)量積和二倍角公式化簡得,故可求其周期與單調(diào)性;(2)根據(jù)圖像過得到,故可求得的大小,再根據(jù)數(shù)量積得到的乘積,最后結(jié)合余弦定理和構(gòu)建關(guān)于的方程即可.【詳解】(1),最小正周期:,由得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由可得:,所以.又因為成等差數(shù)列,所以而,.22、(1)見解析;(2).【解析】
(1)設(shè)點、,求出直線、的方程,與拋物線的方程聯(lián)立,求出點、的坐標,利用直線、的斜率相等證明出;(2)設(shè)點到直線、的距離分
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