甘肅省武威市涼州區(qū)2024屆高三第三次診斷考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1甘肅省武威市涼州區(qū)2024屆高三第三次診斷考試數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、單選題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由解得：，得集合，又，，從而.故選:B．2.復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，可得，∴.故選：C．3.內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則一定是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.故選：C4.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，則故為偶函數(shù)，排除C、D；又時，，排除A故選：B.5.已知，則的最小值是（）A.1 B. C. D.10【答案】C【解析】，即且，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選：.6.若，則等于（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，所以，故選：A.7.點A是曲線上任意一點，則點A到直線的最小距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨設(shè)，定義域為：對求導(dǎo)可得：令解得：（其中舍去）當(dāng)時，，則此時該點到直線的距離為最小根據(jù)點到直線的距離公式可得：解得：故選：A.8.定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，都有，則滿足的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以不等式等價于，即，解得或，所以滿足的x的取值范圍是．故選：B．二、多選題9.下列命題是真命題的是（）A.， B.，C.， D.方程的實根有三個【答案】CD【解析】對于A，當(dāng)時，，因為，所以，所以，故A錯誤；對于B，由反函數(shù)的性質(zhì)可知，由于與的圖象關(guān)于對稱，且的圖象恒在圖象的下方，所以恒成立，故B錯誤；對于C，，，即恒成立，故C正確；對于D，與有且僅有三個交點，故D正確.故選:CD.10.下列等式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】A選項，，A正確；B選項，，B正確；C選項，，C正確；D選項，，D錯誤.故選：ABC.11.若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)a的取值可能是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】BCD【解析】函數(shù)有2個零點等價于在時，直線與有2個交點，，顯然當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在x=1處，取得最小值=1，圖像如下：若與有2個交點，則；故選：BCD.12.若函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列敘述正確的是（）A.是函數(shù)圖象的一個對稱中心B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖像可由的圖象向左平移個單位得到【答案】AD【解析】根據(jù)函數(shù)，的部分圖像，可得，結(jié)合五點法作圖可得，，故函數(shù)．令，求得，可得，是函數(shù)圖象的一個對稱中心，故A正確；令，求得，不是最值，可得不是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故B錯誤；在區(qū)間，上，，，函數(shù)沒有單調(diào)性，故C錯誤；由的圖象向左平移個單位，可得的圖象，故D正確，故選：AD．第II卷（非選擇題）三、填空題13.若直線與曲線相切，則_________．【答案】【解析】設(shè)直線與曲線相切于點，由得：，，，又，，解得：，.故答案為：.14.若，則______．【答案】【解析】因為，所以．故答案為：15.△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若△ABC的面積為，則______．【答案】【解析】由題意可得，則可得∴故答案為：．16.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，則不等式的解集為________.【答案】【解析】由題意，令，則，因為時，，則，故在上單調(diào)遞減，又是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，即是上的偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，可知在上單調(diào)遞增，且，所以時，.故答案為：.四、解答題17.已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；（Ⅱ）若當(dāng)時，關(guān)于的不等式______，求實數(shù)的取值范圍．請選擇①和②中的一個條件，補全問題（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．（Ⅰ）解：因為．所以函數(shù)的最小正周期；因為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，所以，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；（Ⅱ）解：若選擇①由題意可知，不等式有解，即；因為，所以，故當(dāng)，即時，取得最大值，且最大值為，所以；若選擇②由題意可知，不等式恒成立，即．因為，所以．故當(dāng)，即時，取得最小值，且最小值為．所以．18.如圖，在△ABC中，∠A=30°，D是邊AB上的點，CD=5，CB=7，DB=3（1）求△CBD的面積；（2）求邊AC的長.解：（1）在中，由余弦定理可得，則，；（2）在中，由正弦定理得，即，解得.19.已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，若,且成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，若數(shù)列前n項和，證明.解：（Ⅰ）由題意知：解，故數(shù)列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，則20.已知等比數(shù)列中，，且成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）當(dāng)數(shù)列為正項數(shù)列時，若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，試比較與的大?。猓海?）記的公比為，由可得，解得或，又由，可得，即，當(dāng)時，可解得，此時有當(dāng)時，可解得，此時有綜上，數(shù)列的通項公式為或.（2）由（1）知：，則，從而，，由，故．21.若函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)有極值．（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)的極值點并求出函數(shù)的極值.解：（1）因為，由題意知，解得，

所以所求的解析式為;

（2）由（1）可得，令,得或,則當(dāng)或時,，在和單調(diào)遞增；當(dāng)時,，在單調(diào)遞減,

因此,當(dāng)時,有極大值,

當(dāng)時,有極小值;所以當(dāng)時，有極大值，當(dāng)時，有極小值。22.已知函數(shù)，其中．（1）討論單調(diào)性；（2）若，，求的最大值．解：（1），當(dāng)時，當(dāng)恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)