黑龍江省齊齊哈爾市五校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1黑龍江省齊齊哈爾市五校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以或，所以，因，即：，，解得：，因?yàn)?，所以，所以．故選：B2.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的模為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵∴.故選：C.3.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，且,所以.故選:B.4.在中，，，，則邊上的高的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，，，得，由余弦定理得：，邊上的高的長(zhǎng)度為．故選：A.5.已知函數(shù)，則“”是“在上單調(diào)遞增”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以是的必要不充分條件，即是“在上單調(diào)遞增”的必要不充分條件，故選：C.6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，解得：，即，，，則由得：，解得：.故選：C.7.已知函數(shù)存在減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知,因?yàn)楹瘮?shù)存在減區(qū)間,則有解,即有解,令,,令,解得;令,解得,所以在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,所以,因有解,所以,解得.故選:D.8.已知，，，則（）A B.C. D.【答案】B【解析】易知，，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，故，所以設(shè)，則，所以單調(diào)遞減，所以，即，所以，綜上，.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題9.已知，則函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由于當(dāng)時(shí)，，排除B，C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的圖形可能為A，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的的圖形可能為D.故選：AD.10.已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，B.函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為C.函數(shù)的值域D.恒成立【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，令可得，有，可知函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，由上可知，時(shí)，，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，令，有，令可得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，可得，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．11.已知為銳角，且，則（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】由得：，；對(duì)于A，由得：，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，，則，解得：，又，，B正確；對(duì)于C，，，，，，；，又，，，，，C正確；對(duì)于D，，，，，，解得：，，則，，D錯(cuò)誤.故選：BC.12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.對(duì)于數(shù)列及數(shù)列，若，下列說(shuō)法正確的是（）A.存在數(shù)列，使得與都為等比數(shù)列B.存在數(shù)列，使得與都為等差數(shù)列C.存在數(shù)列，使得為等比數(shù)列，且為等差數(shù)列D.存在數(shù)列，使得為等差數(shù)列，且為等比數(shù)列【答案】BCD【解析】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，令，則，，又為奇函數(shù)，所以，所以，若為等比數(shù)列，由，可知公比，設(shè)，則，所以不為定值，且為定值，設(shè)，則，所以也不為定值，即A錯(cuò)誤，C正確；若為等差數(shù)列，由，可知公差，所以可取，即，此時(shí)令，則，解得，此時(shí)，，，滿(mǎn)足為等差數(shù)列，即B正確；令，則，解得，此時(shí)，，，，滿(mǎn)足為等比數(shù)列，即D正確.故選：BCD.三、填空題13.已知，，則向量，的夾角的余弦值為_(kāi)______.【答案】【解析】.故答案為：14.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，兩式相減，整理得，設(shè)公差為，則，即，所以，所以.故答案為：.15.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，則___________.【答案】【解析】，故為上的奇函數(shù)，，則，，，為周期為4的周期函數(shù)，.故答案為：16.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，均有．當(dāng)時(shí)，．若的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍為_(kāi)_____．（可參考的不等式結(jié)論：恒成立）【答案】【解析】，，，易知當(dāng)時(shí)，，若當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)顯然的值域不為，不符題意，又，所以不等式在內(nèi)有解，且恒成立，即在內(nèi)有解，且恒成立，設(shè)，則，綜上，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，設(shè)，則，易知，即，綜上．故答案為：．四、解答題17.已知為銳角，且滿(mǎn)足.（1）求的值；（2）求的值.（1）解：因?yàn)闉殇J角，所以，所以，所以，所以；（2）解：由（1）知，，所以.18.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若的面積為，，求的值.解：（1）因?yàn)?，所以，即，所以，又，所?（2）由正弦定理知，，所以，所以，解得，所以.19.已知函數(shù)且.（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；（2）若在上的最大值大于，求的取值范圍.解：（1）由得：，則的定義域?yàn)?；?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，則的值域?yàn)?（2）；令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，的值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，，，解得：（舍）；當(dāng)時(shí)，，，解得：；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.20.在數(shù)列，中，已知，，且，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)的和.（1）證明：由題意可知，，則，且，所以數(shù)列是以8為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；（2）解：由（1）可知，，所以，所以，又，所以，又，即是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2，所以，即，所以，即.21.已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）若，證明：函數(shù)的極小值為0；（2）若存在兩條直線與曲線和曲線均相切，求的取值范圍．解：（1）依題意，，求導(dǎo)得：，令，，由得，由得，因此函數(shù)在上遞減，在上遞增，而，則，又，即存在，使得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，取得極小值，所以函數(shù)的極小值為0.（2）令與曲線和曲線均相切的直線同曲線相切于點(diǎn)，而，有，因此該切線方程為，顯然直線與相切，由消去y并整理得：，因此，整理得，令，依題意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，因此函數(shù)在上的取值集合為，當(dāng)時(shí)，令，，令，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，則當(dāng)時(shí)，，顯然拋物線開(kāi)口向上，在上無(wú)最大值，因此函數(shù)在上的取值集合為，從而當(dāng)，即，存在，使得，于是得當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以的取值范圍是.22.已知函數(shù)，其中.（1）討論函數(shù)單調(diào)性；（2）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，，①當(dāng)時(shí)，，可得，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，增區(qū)間為R，沒(méi)有減區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，令，可得或，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）①當(dāng)時(shí)，由，當(dāng)時(shí)，有，，可得，令，有，令，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，有，可得，得，有，可知當(dāng)時(shí)，.由上知當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，方程可化為，兩邊取對(duì)數(shù)可得，整理為，令，有，令，有，可