第五章 統(tǒng)計與概率（知識梳理熱考題型）（解析版）

第五章統(tǒng)計與概率單元復(fù)習(xí)【知識梳理】一、普查與抽樣調(diào)查(1)普查①定義：一般地，對總體中每個個體都進(jìn)行考察的方法稱為普查(也稱為全面調(diào)查).②優(yōu)點(diǎn)：普查能夠了解總體中每個個體的情況，從而能準(zhǔn)確地掌握總體的特征.③適用條件：在總體包含的個體總數(shù)不大，或有特殊需要的情況下，可以采用普查的方法.(2)抽樣調(diào)查①定義：只抽取樣本進(jìn)行考察的方法稱為抽樣調(diào)查.②適用條件：普查的方法有時會因為各種原因而無法實(shí)施，例如成本太高、時間上不容許、考察方法具有破壞性等，此時就采用抽樣調(diào)查.二、簡單隨機(jī)抽樣(1)定義：一般地，簡單隨機(jī)抽樣就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等完全隨機(jī)地抽取個體.(2)特點(diǎn)：總體中的每一個個體都有相等的機(jī)會被抽到.(3)適用范圍：當(dāng)總體中的個體之間差異程度較小和總體中個體數(shù)目較少時，通常采用這種方法.(4)常見的簡單隨機(jī)抽樣方法有抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法.①抽簽法的優(yōu)缺點(diǎn)抽簽法的優(yōu)點(diǎn)是簡單易行，缺點(diǎn)是當(dāng)總體的容量非常大時，操作起來就比較麻煩，而且如果抽取之前攪拌不均勻，可能導(dǎo)致抽取的樣本不具有代表性.②隨機(jī)數(shù)表法用隨機(jī)數(shù)表進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣的一般步驟為：(ⅰ)對總體進(jìn)行編號.(ⅱ)在隨機(jī)數(shù)表中任意指定一個開始選取的位置.位置的確定可以隨機(jī)確定，也可用其他方式隨機(jī)確定.(ⅲ)按照一定規(guī)則選取編號.例如，若編號是兩位，規(guī)則可以是每次從左往右選取兩個數(shù)字，也可以是每次只選取每一組的前兩個數(shù)字，還可以是每次只選取下面一行同一位置對應(yīng)的兩個數(shù)字，等等.規(guī)則一經(jīng)確定，就不能更改.在選取過程中，遇到超過編號范圍或已經(jīng)選取了的數(shù)字，應(yīng)該舍棄.(ⅳ)按照得到的編號找出對應(yīng)的個體.三、分層抽樣(1)定義：一般地，如果相對于要考察的問題來說，總體可以分成有明顯差別的、互不重疊的幾部分時，每一部分可稱為層，在各層中按層在總體中所占比例進(jìn)行隨機(jī)抽樣的方法稱為分層隨機(jī)抽樣(簡稱為分層抽樣).(2)作用：通過分層抽樣所得到的樣本，一般更具有代表性，可以更準(zhǔn)確地反映總體的特征.四、最值、平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)(1)最值一組數(shù)據(jù)的最值指的是其中的最大值與最小值，最值反映的是這組數(shù)最極端的情況.(2)平均數(shù)①定義：如果給定的一組數(shù)是x1，x2，…，xn，則這組數(shù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn).這一公式在數(shù)學(xué)中常簡記為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi，②性質(zhì)：一般地，如果x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，且a，b為常數(shù)，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均數(shù)為aeq\o(x,\s\up6(－))＋b.(3)中位數(shù)、百分位數(shù)①中位數(shù)：一般地，如果一組數(shù)有奇數(shù)個數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n＋1，則稱xn＋1為這組數(shù)的中位數(shù)；如果一組數(shù)有偶數(shù)個數(shù)，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n，則稱eq\f(xn＋xn＋1,2)為這組數(shù)的中位數(shù).②百分位數(shù)：設(shè)一組數(shù)按照從小到大排列后為x1，x2，…，xn，計算i＝np%的值，如果i不是整數(shù)，設(shè)i0為大于i的最小整數(shù)，取xi0為p%分位數(shù)；如果i是整數(shù)，取eq\f(xi＋xi＋1,2)為p%分位數(shù).特別地，規(guī)定：0分位數(shù)是x1(即最小值)，100%分位數(shù)是xn(即最大值).(4)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中，某個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為這個數(shù)據(jù)的頻數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).五、極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差(1)極差：一組數(shù)的極差指的是這組數(shù)的最大值減去最小值所得的差.極差反映了一組數(shù)的變化范圍.(2)方差①定義：如果x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則方差可用求和符號表示為②性質(zhì)：如果a，b為常數(shù)，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.(3)標(biāo)準(zhǔn)差①定義：方差的算術(shù)平方根s表示，即樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差為②性質(zhì)：如果a，b為常數(shù)，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的標(biāo)準(zhǔn)差為|a|s.③作用：如果一組數(shù)中，各數(shù)據(jù)值都相等，則標(biāo)準(zhǔn)差為0，表明數(shù)據(jù)沒有波動，數(shù)據(jù)沒有離散性；若各數(shù)的值與平均數(shù)的差的絕對值較大，則標(biāo)準(zhǔn)差也較大，表明數(shù)據(jù)的波動幅度也較大，數(shù)據(jù)的離散程度較高，因此標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)描述了數(shù)據(jù)相對于平均數(shù)的離散程度.六、柱形圖、折線圖、扇形圖和莖葉圖(1)柱形圖①柱形圖(也稱為條形圖)可以形象地比較各種數(shù)據(jù)之間的數(shù)量關(guān)系.②特點(diǎn)：柱形圖(也稱為條形圖)中，一條軸上顯示的是所關(guān)注的數(shù)據(jù)類型，另一條軸上對應(yīng)的是數(shù)量、個數(shù)或者比例，柱形圖中每一矩形都是等寬的.(2)折線圖一般地，如果數(shù)據(jù)是隨時間變化的，想了解數(shù)據(jù)的變化情況，可將數(shù)據(jù)用折線圖來表示.(3)扇形圖扇形圖可以形象地表示出各部分?jǐn)?shù)據(jù)在全部數(shù)據(jù)中所占的比例情況.扇形圖中，每一個扇形的圓心角以及弧長，都與這一部分表示的數(shù)據(jù)大小成正比.(4)莖葉圖一般來說，莖葉圖中，所有的莖都豎直排列，而葉沿水平方向排列.莖葉圖也可以只表示一組數(shù).“葉”是從“莖”的旁邊生長出來的數(shù).莖葉圖通常用來記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，把兩位數(shù)的十位數(shù)字作為“莖”，個位數(shù)字作為“葉”，莖相同者共用一個莖，莖按從小到大的順序從上往下排列.將一組數(shù)整理成莖葉圖后，如果每一行的數(shù)都是按從大到小(或從小到大)順序排列，則從中可以方便地看出這組數(shù)的最值、中位數(shù)等數(shù)字特征.七、頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖(1)頻數(shù)與頻率①頻數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為頻數(shù)，某個區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)稱為區(qū)間對應(yīng)的頻數(shù).②頻率：在一組數(shù)據(jù)中，數(shù)據(jù)的頻數(shù)與這組數(shù)據(jù)總個數(shù)的比稱為頻率，區(qū)間對應(yīng)的頻數(shù)與這組數(shù)據(jù)總個數(shù)的比稱為區(qū)間對應(yīng)的頻率.(2)頻數(shù)、頻率分布直方圖及其折線圖①頻率分布直方圖制作的方法步驟eq\x(\a\al(找出最值，,計算極差))eq\o(→,\s\up7(決定),\s\do5())eq\x(\a\al(合理分組，,確定區(qū)間))eq\o(→,\s\up7(決定),\s\do5())eq\x(\a\al(整理,數(shù)據(jù)))eq\o(→,\s\up7(列出),\s\do5())eq\x(作出有關(guān)圖示)②③頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖的區(qū)別頻數(shù)分布直方圖的縱坐標(biāo)是頻數(shù)，每一組數(shù)對應(yīng)的矩形高度與頻數(shù)成正比；頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是eq\f(頻率,組距)，每一組數(shù)對應(yīng)的矩形高度與頻率成正比，而且每個矩形的面積等于這一組數(shù)對應(yīng)的頻率．④頻數(shù)分布折線圖和頻率分布折線圖的制作方法把每個矩形上面一邊的中點(diǎn)用線段連接起來．為了方便看圖，折線圖都畫成與橫軸相交，所以折線圖與橫軸的左右兩個交點(diǎn)是沒有實(shí)際意義的．八、用樣本估計總體用樣本的分布估計總體的分布（1）一般情況下，如果樣本的容量恰當(dāng)，抽樣方法又合理的話，樣本的特征能夠反映總體的特征.特別地，樣本平均數(shù)（也稱為樣本均值）、方差（也稱為樣本方差）與總體對應(yīng)的值相差不會太大.（2）在容許一定誤差存在的前提下，可以用樣本的數(shù)字特征去估計總體的數(shù)字特征.（3）分層抽樣的平均數(shù)、方差假設(shè)第一層有m個數(shù)，分別為x1，x2，…，xm，平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2；第二層有n個數(shù)，分別為y1，y2，…，yn，平均數(shù)為eq\o(y,\s\up6(－))，方差為t2.如果記樣本均值為eq\o(a,\s\up6(－))，樣本方差為b2，則eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(1,m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i＝1))xi＋\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi))＝eq\f(m\o(x,\s\up6(－))＋n\o(y,\s\up6(－)),m＋n)，b2＝eq\f(m[s2＋（\o(x,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))）2]＋n[t2＋（\o(y,\s\up6(－))－\o(a,\s\up6(－))）2],m＋n)＝eq\f(1,m＋n)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（ms2＋nt2）＋\f(mn,m＋n)（\o(x,\s\up6(－))－\o(y,\s\up6(－))）2)).九、概率（1）必然現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象①一定條件下，發(fā)生的結(jié)果事先不能確定的現(xiàn)象就是隨機(jī)現(xiàn)象.②發(fā)生的結(jié)果事先能夠確定的現(xiàn)象就是必然現(xiàn)象.（2）樣本點(diǎn)和樣本空間①隨機(jī)試驗把在相同條件下，對隨機(jī)現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察或?qū)嶒灧Q為隨機(jī)試驗Ｗ.②樣本點(diǎn)和樣本空間把隨機(jī)試驗中每一種可能出現(xiàn)的結(jié)果，都稱為樣本點(diǎn)，把由所有樣本點(diǎn)組成的集合稱為樣本空間.（3）隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件①隨機(jī)事件：如果隨機(jī)試驗的樣本空間為Ω，則隨機(jī)事件A是Ω的一個非空真子集.而且，若試驗的結(jié)果是A中的元素，則稱A發(fā)生；否則，稱A不發(fā)生.②必然事件：任何一次隨機(jī)試驗的結(jié)果，一定是樣本空間Ω中的元素，因此可以認(rèn)為每次試驗中Ω一定發(fā)生，從而稱Ω為必然事件；③不可能事件：因為空集?不包含任何樣本點(diǎn)，因此可以認(rèn)為每次試驗中?一定不發(fā)生，從而稱?為不可能事件Ｗ.④事件的表示與基本事件（?。┎豢赡苁录?、隨機(jī)事件、必然事件都可簡稱為事件，通常用大寫英文字母A，B，C，…來表示.（ⅱ）基本事件：只含有一個樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件Ｗ.（4）隨機(jī)事件發(fā)生的概率①事件A發(fā)生的概率通常用P（A）表示.②我們將不可能事件?發(fā)生的概率規(guī)定為0，將必然事件Ω發(fā)生的概率規(guī)定為1，即P（?）＝0，P（Ω）＝1Ｗ.③對于任意事件A來說，顯然應(yīng)該有P（?）≤P（A）≤P（Ω），即0≤P（A）≤1.十、事件之間的包含、相等、和與積(1)事件的包含與相等定義表示法圖示包含關(guān)系一般地，如果事件A發(fā)生時，事件B一定發(fā)生，則稱A包含于B(或B包含A)A?B(或B?A)相等關(guān)系A(chǔ)?B且B?AA＝B(2)事件的和與積定義表示法圖示和由所有A中的樣本點(diǎn)與B中的樣本點(diǎn)組成的事件稱為A與B的和(或并)A＋B(或A∪B)積由事件A，B中的公共樣本點(diǎn)組成的事件稱為A與B的積(或交)AB(或A∩B)十一、事件的互斥與對立及概率加法公式(1)事件的互斥與對立定義表示法圖示互斥若事件A與B不能同時發(fā)生，則稱A與B互斥AB＝?(或A∩B＝?)對立由樣本空間Ω中所有不屬于事件A的樣本點(diǎn)組成的事件稱為A的對立事件事件A的對立事件記為eq\o(A,\s\up6(－))如果B＝eq\o(A,\s\up6(－))，則稱A與B相互對立.(2)互斥事件的概率加法公式①互斥事件的概率加法公式：當(dāng)A與B互斥(即AB＝?)時，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B).②一般地，如果A1，A2，…，An是兩兩互斥的事件，則P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).③P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1.十二、古典概型(1)古典概型一般地，如果隨機(jī)試驗的樣本空間所包含的樣本點(diǎn)個數(shù)是有限的(簡稱為有限性)，而且可以認(rèn)為每個只包含一個樣本點(diǎn)的事件(即基本事件)發(fā)生的可能性大小都相等(簡稱為等可能性)，則稱這樣的隨機(jī)試驗為古典概率模型，簡稱為古典概型.(2)古典概型概率公式古典概型中，假設(shè)樣本空間含有n個樣本點(diǎn)，如果事件C包含有m個樣本點(diǎn)，則P(C)＝eq\f(m,n).十三、頻率與概率用頻率估計概率(1)在大量重復(fù)的試驗過程中，一個事件發(fā)生的頻率會很接近于這個事件發(fā)生的概率，而且試驗的次數(shù)越多，頻率與概率之間的差距很小的可能性越大.(2)一般地，如果在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗中，事件A發(fā)生的頻率為eq\f(m,n)，則當(dāng)n很大時，可以認(rèn)為事件A發(fā)生的概率P(A)的估計值為eq\f(m,n).此時也有0≤P(A)≤1.十四、相互獨(dú)立事件的定義和性質(zhì)(1)定義：一般地，當(dāng)P(AB)＝P(A)P(B)時，就稱事件A與B相互獨(dú)立(簡稱獨(dú)立).(2)性質(zhì)：如果事件A與B相互獨(dú)立，則eq\o(A,\s\up6(－))與B，A與eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))也相互獨(dú)立.(3)n個事件相互獨(dú)立“A1，A2，…，An相互獨(dú)立”的充要條件是“其中任意有限個事件同時發(fā)生的概率都等于它們各自發(fā)生的概率之積”.十五、獨(dú)立事件的概率公式(1)若事件A，B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)×P(B)；(2)若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An).事件A，B的各種情形概率公式A，B同時發(fā)生P(AB)＝P(A)P(B)A，B都不發(fā)生P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)A，B至少有一個不發(fā)生1－P(AB)＝1－P(A)P(B)A，B至少有一個發(fā)生1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)A，B恰好有一個發(fā)生P(Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)十六、統(tǒng)計與概率的應(yīng)用概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，它已經(jīng)滲透到人們的日常生活中，成為一個常用的詞匯，任何事件的概率是0～1(包含0，1)之間的一個數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性.小概率事件(概率接近0)很少發(fā)生，而大概率事件(概率接近1)則經(jīng)常發(fā)生.【熱考題型】【考點(diǎn)1】統(tǒng)計一、單選題1．（2023上·貴州六盤水·高二統(tǒng)考期中）某校有教師360人，其中高級及以上職稱教師240人，一級職稱教師80人，其他職稱教師40人，現(xiàn)采用分層抽樣從中抽取18人參加某項調(diào)研活動，則高級及以上職稱教師應(yīng)抽取的人數(shù)是（

）A．2 B．4 C．9 D．12【答案】D【分析】根據(jù)分層抽樣的定義求解即可.【詳解】由題意知，高級及以上職稱教師應(yīng)抽取的人數(shù)為人.故高級及以上職稱教師應(yīng)抽取的人數(shù)為12人.故選：D.2．（2023上·湖南邵陽·高三?？茧A段練習(xí)）假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案每天的回報如圖所示．橫軸為投資時間，縱軸為每天的回報，根據(jù)以上信息，若使回報最多，下列說法錯誤的是（

）A．投資3天以內(nèi)（含3天），采用方案一B．投資4天，不采用方案三C．投資6天，采用方案一D．投資9天，采用方案三【答案】D【分析】由統(tǒng)計圖形，判斷投資期限內(nèi)每天回報累積最大的方案.【詳解】由圖可以看出，從每天回報看，投資3天以內(nèi)（含3天），方案一每天的回報都最多，所以三天回報累積也最多，故A正確；投資4天，方案三每天的回報都最少，所以三天回報累積也最少，故B正確；投資6天，方案一每天回報累積約為元，方案二每天回報累積約為元，方案三每天回報均少于40元，故每天回報累積小于元，所以方案一每天回報累積最多，故C正確；投資9天，方案三前6天均小于20，第7天小于40，第8天小于60，第9天大約100，故每天回報累積小于，方案一每天回報累積約為元，所以方案三9天累積回報不是最多，故D不正確.故選：D3．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）工業(yè)生產(chǎn)者出廠價格指數(shù)(PPI)是反映工業(yè)企業(yè)產(chǎn)品第一次出售時的出廠價格的變化趨勢和變動幅度．根據(jù)下面提供的我國2020年1月－2021年12月的工業(yè)生產(chǎn)者出廠價格指數(shù)的月度同比(將上一年同月作為基期進(jìn)行對比的價格指數(shù))和月度環(huán)比(將上月作為基期進(jìn)行對比的價格指數(shù))漲跌情況的折線圖判斷，以下結(jié)論中正確的是（

）A．2020年各月的PPI在逐月增大B．2020年各月的PPI均高于2019年同期水平C．2021年1月～12月各月的PPI在逐月減小D．2021年1月～12月各月的PPI均高于2020年同期水平【答案】D【分析】根據(jù)圖像可判斷AC，根據(jù)同比增長線與線的比較可判斷BD.【詳解】由圖可看出，選項A，C指的是“環(huán)比”，2020年各月不是逐月增大，2021年也不是逐月減小，故A，C錯誤；選項B，D是指“同比”，由于2021年1～12月同比增長線均在0.0%的上方，所以2021年1～12月各月的PPI均高于2020年同期水平，故D正確；而2020年1～12月同比增長線不均在0.0%的上方，故B錯誤．故選：D4．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）某校高一年級1000名學(xué)生的血型情況如圖所示.某課外興趣小組為了研究血型與飲食之間的關(guān)系，決定采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個容量為50的樣本，則從高一年級A型血的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)是（）A．11 B．22 C．110 D．220【答案】A【分析】根據(jù)扇形圖中A型血的學(xué)生占比進(jìn)行求解即可.【詳解】由圖中數(shù)據(jù)可知高一年級A型血的學(xué)生占高一年級學(xué)生總體的，所以抽取一個容量為50的樣本，從A型血的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)是.故選：A5．（2023上·天津河北·高三統(tǒng)考期中）某班的全體學(xué)生參加數(shù)學(xué)測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為，，，.若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是（

）A．40 B．45 C．50 D．60【答案】C【分析】由頻率分布直方圖可得低于60分的人的頻率，結(jié)合低于60分的人數(shù)即可求得答案.【詳解】由頻率分布直方圖可得低于60分的人的頻率為，由于低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是，故選：C6．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩班舉行電腦漢字錄入比賽，參賽學(xué)生每分鐘錄入漢字的個數(shù)經(jīng)統(tǒng)計計算后填入下表：班級參加人數(shù)中位數(shù)方差平均數(shù)甲55149191135乙55151110135下列結(jié)論中，不正確的是（

）A．甲、乙兩班學(xué)生成績的平均水平相同B．乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)（每分鐘輸入漢字?jǐn)?shù)個為優(yōu)秀）C．甲班的成績比乙班的成績波動大D．甲班成績的眾數(shù)小于乙班成績的眾數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)平均數(shù)大小判斷選項A；根據(jù)中位數(shù)大小判斷選項B；根據(jù)方差大小判斷選項C；根據(jù)眾數(shù)定義，題中數(shù)據(jù)無法得出眾數(shù)，故選項D無法判斷.【詳解】甲、乙兩班成績的平均數(shù)都是135，故兩班成績的平均水平相同，故A正確；甲、乙兩班人數(shù)相同，但甲班成績的中位數(shù)為149，乙班成績的中位數(shù)為151，則甲班每分鐘輸入漢字?jǐn)?shù)個的人數(shù)至多為人，乙班每分鐘輸入漢字?jǐn)?shù)個的人數(shù)人，則乙班每分鐘輸入漢字?jǐn)?shù)個的人數(shù)要多于甲班，故B正確；，則甲班成績不如乙班穩(wěn)定，即甲班成績波動較大，故C正確；由題表看不出兩班學(xué)生成績的眾數(shù)，故D不正確.故選：D.二、多選題7．（2023上·高一課時練習(xí)）下面的抽樣方法不是分層隨機(jī)抽樣的是（

）A．在某年明信片銷售活動中，規(guī)定每100萬張為一個開獎組，通過隨機(jī)抽取的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎B．某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其重量是否合格C．某學(xué)校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見D．用抽簽法從10件產(chǎn)品中抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗【答案】ABD【分析】根據(jù)分層抽樣的定義逐個分析判斷【詳解】對AB，不是分層隨機(jī)抽樣，因為抽取的個體間的間隔是固定的；對于C，是分層隨機(jī)抽樣，因為總體的個體有明顯的層次；對于D，是簡單隨機(jī)抽樣．故選：ABD8．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)，要堅持健康第一的教育理念，加強(qiáng)學(xué)校體育工作，推動青少年文化學(xué)習(xí)和體育鍛煉協(xié)調(diào)發(fā)展．某學(xué)校對高一年級學(xué)生每周在校體育鍛煉時長(單位：小時)進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如下頻率分布表：分組頻率則下列關(guān)于高一年級學(xué)生每周體育鍛煉時長的說法中正確的是（

）【答案】BCD【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義，中位數(shù)的定義，平均數(shù)的定義，百分位數(shù)的定義即可求解．【詳解】對A，因為最大頻率的組的中點(diǎn)值為3.5，則眾數(shù)大約為3.5，故A錯誤；對B，由表可知，中位數(shù)在第二組中，設(shè)其為，則，解得，故B正確；對C，因為平均數(shù)為，故C正確；對D，因為前三組的頻率和為0.75，則第80百分位數(shù)位于第4組，設(shè)其為，可得，解得，故D正確．故選：BCD．三、填空題9．（2023上·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？计谥校┮阎嘲嗳w學(xué)生在某次數(shù)學(xué)考試中的成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示，則圖中a所代表的數(shù)值是.【分析】根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合頻率和為1運(yùn)算求解.【詳解】由頻率分布直方圖可知每組頻率依次為：，則，解得.故答案為：0.015.10．（2023下·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，若它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同，則圖中m，n的比值．【答案】【分析】先分別計算甲組和乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)，再根據(jù)它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同，求出m，n，從而得解.【詳解】由莖葉圖得到甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組的中位數(shù)為，所以，解得；甲組的平均數(shù)=乙組的平均數(shù)，所以，解得；所以；故答案為：.11．（2023上·上海黃浦·高三統(tǒng)考期中）某校共有400名學(xué)生參加了趣味知識競賽（滿分：150分），且每位學(xué)生的競賽成績均不低于90分．將這400名學(xué)生的競賽成績分組如下：，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則這400名學(xué)生中競賽成績不低于120分的人數(shù)為．【答案】【分析】由頻率分布直方圖的面積和為求出，再計算出結(jié)果即可.【詳解】由頻率分布直方圖可知，解得，這400名學(xué)生中競賽成績不低于120分的人數(shù)為，故答案為：四、解答題12．（2023上·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）某市政府為了倡議市民節(jié)約用電，計劃對居民生活用電費(fèi)用實(shí)施階梯式電價制度，即確定一戶居民月均用電量標(biāo)準(zhǔn)a，用電量不超過a的部分按照平價收費(fèi)，超出部分按議價收費(fèi)．為了確定一個合理的標(biāo)準(zhǔn)，從某小區(qū)抽取了100戶居民進(jìn)行用電量調(diào)查單位，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：(1)求x的值：(2)求被調(diào)查用戶的月用電量平均值：同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表(3)若使居民用戶的水費(fèi)支出不受影響，應(yīng)確定a值為多少？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接根據(jù)概率和為1計算得到答案.（2）直接根據(jù)平均值公式計算得到答案.（3）確定分位數(shù)在之間，計算得到答案.【詳解】（1），解得；（2）；（3）；；故分位數(shù)在之間，設(shè)為，，解得.13．（2023上·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中校考期中）某研究小組發(fā)現(xiàn)某藥物X對神經(jīng)沖動的產(chǎn)生有明顯的抑制作用，稱為“麻醉”.該研究小組進(jìn)行大量實(shí)驗，刺激突觸前神經(jīng)元時，記錄未加藥物X和加藥物X后突觸前神經(jīng)元的動作電位（單位：mV），在大量實(shí)驗后，得到如下頻率分布直方圖.利用動作電位的指標(biāo)定一個判斷標(biāo)準(zhǔn)，需要確定一個臨界值c.當(dāng)動作電位小于c時判定為“麻醉”，大于或等于c時判定為“未麻醉”.該檢測漏判率是將添加藥物X的被判定為“未麻醉”的概率，記為；誤判率是將未添加藥物X的被判定為“麻醉”的概率，記為.(1)當(dāng)漏判率為時，求臨界值c；(2)令函數(shù)，當(dāng)時，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意由第二個頻率分布直方圖的頻率可求出；（2）根據(jù)題意得出的解析式，再根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）依題可知，漏判率為，右邊第二個頻率分布直方圖圖形中后兩個小矩形的面積分別為，因為，所以，所以，解得；（2）當(dāng)時，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以在區(qū)間的最小值為.14．（2023上·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，，記.試驗結(jié)果如下：試驗序號i12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536(1)求甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率的中位數(shù)和極差；(2)設(shè)的樣本平均數(shù)為z，樣本方差為.判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.【答案】(1)中位數(shù)：546.5；極差：74(2)有顯著提高【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和極差的定義計算即可；（2）根據(jù)平均數(shù)與方差公式計算z與，計算比較大小即可.【詳解】（1）根據(jù)表格將這十次試驗中甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率按大小順序排列，可得中位數(shù)為，極差位；（2）由表格可知序號i123456789109688151119182012故，，所以，顯然有顯著提高.【考點(diǎn)2】概率一、單選題1．（2023下·北京通州·高一統(tǒng)考期中）拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，該試驗的樣本空間中樣本點(diǎn)的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】利用基本事件的定義，列舉即可．【詳解】先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，有先后順序，則此試驗的樣本空間為（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）．故選：C.2．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（

）A．至少有一個黑球與都是黑球 B．至少有一個黑球與都是紅球C．恰有一個黑球與恰有兩個黑球 D．至少有一個黑球與至少有一個紅球【答案】C【分析】先寫出從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球所包含的基本事件，再根據(jù)選項寫出各事件的基本事件，利用互斥事件與對立事件的定義判斷即可.【詳解】根據(jù)題意，記2個紅球分別為A、B，2個黑球分別為a，b，則從這4個球中任取2個球的總基本事件為AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab：A、都是黑球的基本事件為ab，至少有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，兩個事件有交事件ab，所以不為互斥事件，故A錯誤；B、至少有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，都是紅球的基本事件為AB，兩個事件不僅是互斥事件，也是對立事件，故B錯誤；C、恰有兩個黑球的基本事件為ab，恰有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，兩個事件是互斥事件，但不是對立事件，故C正確；D、至少有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，至少有一個紅球的基本事件為AB，Aa，Ba，Ab，Bb，兩個事件不是互斥事件，故D錯誤.故選：C.3．（2023上·四川·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某同學(xué)計劃在四大名著《三國演義》《水滸傳》《西游記》《紅樓夢》中隨機(jī)選一本作為課外讀本，則《紅樓夢》恰好被選中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接計算概率即可.【詳解】《紅樓夢》恰好被選中的概率為.故選：D.4．（2023上·北京·高二北京五十五中?？计谥校┲Ц兑呀?jīng)成為人們幾乎最常用的付費(fèi)方式.某大型超市為調(diào)查顧客付款方式的情況，隨機(jī)抽取了100名顧客進(jìn)行調(diào)查，記錄結(jié)果整理如下表.從這100名顧客中隨機(jī)抽取1人，則該顧客年齡在內(nèi)且未使用支付的概率為（

）.顧客年齡（歲）20歲以下70歲及以上支付人數(shù)31214132790其他支付方式人數(shù)0029551A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，算出100名顧客中，顧客年齡在且未使用支付的的人數(shù)，結(jié)合古典概型的概率公式，進(jìn)而可以得到未使用支付的概率.【詳解】在隨機(jī)抽取的100名顧客中，顧客年齡在內(nèi)且未使用支付的共有（人），所以從該超市隨機(jī)抽取1名顧客，估計該顧客年齡在內(nèi)且未使用支付的概率為.故選：D.5．（2023上·浙江·高二蕭山二中校聯(lián)考期中）將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，設(shè)事件“第一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件“第二次點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”，則（

）A．與是互斥事件 B．與是互為對立事件C． D．【答案】C【分析】利用古典概型的概率公式，結(jié)合互斥事件與對立事件的定義即可得解.【詳解】依題意，一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次的基本事件有件，事件的基本事件有件，事件的基本事件有件，事件的基本事件有件，事件的基本事件有件，所以，故，，所以與不是互斥事件，更不是對立事件，故ABD錯誤，C正確.故選：C.6．（2023上·廣東佛山·高二華南師大附中南海實(shí)驗高中校考期中）下列命題中正確的是（

）A．有一批產(chǎn)品的次品率為0.05，則從中任意取出200件產(chǎn)品中必有10件是次品C．隨機(jī)事件發(fā)生的概率就是這個隨機(jī)事件發(fā)生的頻率【答案】D【分析】根據(jù)頻率與概率的區(qū)別，概率的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷．【詳解】對于A，實(shí)驗中，出現(xiàn)的某種事件的頻率總在一個固定的值的附近波動，并不是一個確定的值，一批產(chǎn)品次品率為0.05，則從中任取200件，次品的件數(shù)在10件左右，而不一定是10件，A錯誤；對于B，100次并不是無窮多次，只能說明這100次試驗出現(xiàn)正面朝上的頻率為，故B錯誤；對于C，根據(jù)定義，隨機(jī)事件的頻率只是概率的近似值，它并不等于概率，C錯誤；對于D，頻率估計概率，頻率為出現(xiàn)的次數(shù)與重復(fù)試驗的次數(shù)的比值，拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是6的結(jié)果有20次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是，D正確.故選：D.二、多選題7．（2023·全國·模擬預(yù)測）下列說法中正確的是（

）A．用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有60個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則個體mB．已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是C．?dāng)?shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23D．若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為32【答案】AB【分析】A選項，根據(jù)分層抽樣的定義和概率性質(zhì)得到答案；B選項，根據(jù)平均數(shù)公式得到方程，求出，再利用方差公式計算出結(jié)果；C選項，先對數(shù)據(jù)從小到大排序，再根據(jù)百分位數(shù)定義計算即可；D選項，先得到的方差，根據(jù)方差性質(zhì)得到的方差，進(jìn)而得到其標(biāo)準(zhǔn)差.【詳解】A選項，個體m被抽到的概率為，A正確；B選項，已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則，解得，，則這組數(shù)據(jù)的方差是，B正確；C選項，數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10個數(shù)，從小到大排列為12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于，故選擇第7和第8個數(shù)的平均數(shù)作為第70百分位數(shù)，即，所以第70百分位數(shù)是23.5，C錯誤；D選項，若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則的方差為64，設(shè)的平均數(shù)為，則，，又，故，則的標(biāo)準(zhǔn)差為，D錯誤．故選：AB8．（2023上·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學(xué)校?？计谥校⒁幻顿|(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，記下骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“記下的點(diǎn)數(shù)為3”，事件“記下的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件“記下的點(diǎn)數(shù)小于3”，事件“記下的點(diǎn)數(shù)大于2”，則（

）A．事件與互斥 B．事件與互斥C．事件與對立 D．事件與對立【答案】ABD【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義判斷即可.【詳解】依題意骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)可能為、、、、、共個基本事件，則事件“記下的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”包含、、共個基本事件，事件“記下的點(diǎn)數(shù)小于3”包含、共個基本事件，事件“記下的點(diǎn)數(shù)大于2”包含、、、共個基本事件，所以事件與互斥，故A正確；事件與互斥，故B正確；事件與不互斥也不對立，故C錯誤；事件與互斥且對立，故D正確；故選：ABD三、填空題9．（2022上·高一單元測試）（1）隨機(jī)現(xiàn)象的發(fā)生能夠人為控制其發(fā)生或不發(fā)生；（2）隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果是可以預(yù)知的；（3）不可能事件反映的是確定性現(xiàn)象；.【答案】（3）【分析】根據(jù)隨機(jī)事件、確定性事件的定義逐項判斷，可得出結(jié)果.【詳解】隨機(jī)現(xiàn)象不能人為控制，結(jié)果無法預(yù)知，所以（1）（2）錯誤；不可能事件反映的是確定性現(xiàn)象，所以（3）正確；已經(jīng)發(fā)生的事件以后不一定發(fā)生，所以（4）錯誤.故答案為：（3）.10．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？计谥校┰谝淮文凶佑鹈騿未虮荣愔校\(yùn)動員甲和乙進(jìn)入了決賽（比賽采用3局2勝制），假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計甲獲得冠軍的概率，先由計算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3表示一局比賽中甲勝，4，5表示一局比賽中乙勝?經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：334221433551454452315142331423212541121451231414312552324115據(jù)此估計甲獲得冠軍的概率為.【答案】【分析】由13組數(shù)據(jù)表示甲獲得冠軍，從而估計出概率.【詳解】20組數(shù)據(jù)中，共13組數(shù)據(jù)表示甲獲得冠軍，故估計甲獲得冠軍的概率為.故答案為：11．（2023上·四川綿陽·高二綿陽南山中學(xué)實(shí)驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）甲、乙兩名運(yùn)動員進(jìn)入男子羽毛球單打決賽，假設(shè)比賽打滿3局，贏得2局或3局者勝出，用計算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1，2，3時，表示一局比賽甲獲勝；否則，乙獲勝.由于要比賽3局，所以每3個隨機(jī)數(shù)為一組，產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354據(jù)此估計甲獲得冠軍的概率為；【答案】/【分析】根據(jù)題意找出甲獲勝的情況，然后利用古典概型的概率公式求解.【詳解】由題意得甲獲勝的情況有:423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，共13種，所以估計甲獲得冠軍的概率為.故答案為：四、解答題12．（2023上·湖北鄂州·高二校聯(lián)考期中）一題多解是由多種途徑獲得同一數(shù)學(xué)問題的最終結(jié)論，一題多解不但達(dá)到了解題的目標(biāo)要求，而且讓學(xué)生的思維得以拓展，不受固定思維模式的束縛．學(xué)生多角度、多方位地去思考解題的方案，讓解題增添了新穎性和趣味性，并在解題中解放了解題思維模式，使得枯燥的數(shù)學(xué)解題更加豐富而多彩．假設(shè)某題共存在4種常規(guī)解法，已知小紅使用解法一、二、三、四答對的概率分別為，且各種方法能否答對互不影響，小紅使用四種解法全部答對的概率為．(1)求的值；(2)求小紅不能正確解答本題的概率；(3)求小紅使用四種解法解題，其中有三種解法答對的概率．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件的概率公式計算得解.（2）利用對立事件及相互獨(dú)立事件的概率公式計算得解.（3）利用互斥事件及相互獨(dú)立事件的概率公式計算得解.【詳解】（1）記小紅使用解法一、二、三、四答對分別為事件，則，因為各種解法能否答對互不影響，且全部答對的概率為，于是，解得，所以.（2）若小紅不能正確解答本題，則說明小紅任何方法都不會，所以小紅不能正確解答本題的概率是．（3）記事件為小紅使用四種解法解題，其中有三種解法答對，則，所以小紅使用四種解法解題，其中有三種解法答對的概率為．13．（2023·全國·模擬預(yù)測）魯班鎖是一種廣泛流傳于中國民間的智力玩具，相傳由春秋末期到戰(zhàn)國初期的魯班發(fā)明，它看似簡單，卻凝結(jié)著不平凡的智慧，易拆難裝，十分巧妙，每根木條上的花紋是賣點(diǎn)，也是手工制作的關(guān)鍵．某玩具公司開發(fā)了甲、乙兩款魯班鎖玩具，各生產(chǎn)了100件樣品，樣品分為一等品、二等品、三等品，根據(jù)銷售部市場調(diào)研分析，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下（單件成本利潤率＝利潤÷成本）：甲款魯班鎖玩具一等品二等品三等品單件成本利潤率10%8%4%頻數(shù)106030乙款魯班鎖玩具一等品二等品三等品單件成本利潤率7.5%5.5%3%頻數(shù)503020(1)用頻率估計概率，從這200件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，求該產(chǎn)品是一等品的概率；(2)若甲、乙兩款魯班鎖玩具的投資成本均為20000元，且每件的投資成本是相同的，分別求投資這兩款魯班鎖玩具所獲得的利潤．【答案】(1)(2)甲魯班鎖玩具所獲得的利潤1400元；乙魯班鎖玩具所獲得的利潤1200元【分析】（1）用頻率估計概率,利用頻率公式即可求；（2）分別求出甲、乙兩種魯班鎖一等品、二等品、三等品的利潤，進(jìn)而得到兩款魯班鎖玩具所獲得的利潤.【詳解】（1）用頻率估計概率，從這200件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，該產(chǎn)品是一等品的概率為．（2）甲款魯班鎖玩具一等品的利潤為（元），二等品的利潤為（元），三等品的利潤為（元），故100件甲款魯班鎖玩具的利潤為（元）．乙款魯班鎖玩具一等品的利潤為（元），二等品的利潤為（元），三等品的利潤為（元），故100件乙款魯班鎖玩具的利潤為（元）．14．（2023上·云南·高二校聯(lián)考期中）某新能源汽車制造公司，為鼓勵消費(fèi)者購買其生產(chǎn)的新能源汽車，約定從今年元月開始，凡購買一輛該品牌汽車，在行駛?cè)旰?，公司將給予適當(dāng)金額的購車補(bǔ)貼．某調(diào)研機(jī)構(gòu)對已購買該品牌汽車的消費(fèi)者，就購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得其樣本頻率分布直方圖如圖所示．其中．(1)估計已購買該品牌汽車的消費(fèi)群體對購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù)；（精確到0.01）(2)現(xiàn)在要從購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在間用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查，求抽到2人中購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在間的概率．【答案】(1)平均數(shù)的估計值為萬元，中位數(shù)的估計值為萬元；(2)．【分析】（1）由于，利用頻率分布直方圖中每組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值乘以相應(yīng)頻率相加可求得平均數(shù)，判斷中位數(shù)對應(yīng)的區(qū)間，求出頻率對應(yīng)的值即為中位數(shù)；（2）先算出從購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在的6人中，在間的有4人，然后根據(jù)列舉法列出所有可能的基本事件15種，選出都在預(yù)期值間的情況6種，利用古典概型計算公式，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，因為，結(jié)合頻率分布直方圖中的平均數(shù)的計算公式，可得數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值為：萬元，因為，則中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)的估計值為萬元．（2）解：從購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在[3，5）間用分層抽樣的方法抽取6人，則購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在[3，4）間的有4人，記為a，b，c，d，購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值在[4，5）間的有2人，記為A，B，則基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，A），（b，B），（c，d），（c，A），（c，B）（d，A），（d，B），（A，B），共15種情況，其中購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在[3，4）間有（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6種情況，所以抽到2人中購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值都在間的概率．【考點(diǎn)3】統(tǒng)計與概率的應(yīng)用一、單選題1．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）2022年7月15日，國家統(tǒng)計局發(fā)布了2022年上半年居民人均消費(fèi)支出及構(gòu)成情況如圖所示，根據(jù)圖中的信息，針對2022年上半年，下列結(jié)論不正確的是（）A．居民在“教育文化娛樂”上的人均消費(fèi)支出的占比為9.8%B．居民人均消費(fèi)支出為11440元C．居民在“居住”“生活用品及服務(wù)”“醫(yī)療保健”上的人均消費(fèi)支出之和大于在“食品煙酒”上的人均消費(fèi)支出D．居民在“衣著”上的人均消費(fèi)支出比在“交通通信”上的人均消費(fèi)支出的一半少【答案】D【分析】根據(jù)餅狀圖的信息可對各個選項進(jìn)行分析運(yùn)算即可判斷，從而得出結(jié)論.【詳解】對于A，由題中餅狀圖可知，居民在“教育文化娛樂”上的人均消費(fèi)支出的占比為：，故A正確；對于B，居民在“其他用品及服務(wù)”上的人均消費(fèi)支出為286元，占比2.5%，所以居民人均消費(fèi)支出為（元），故B正確；對于C，居民在“居住”“生活用品及服務(wù)”“醫(yī)療保健”上的人均消費(fèi)支出之和占比為，在“食品煙酒”上的人均消費(fèi)支出占比為30.8%，，故C正確；對于D，居民在“衣著”上的人均消費(fèi)支出的占比為6.5%，在“交通通信”上的人均消費(fèi)支出的占比為12.7%，，故D錯誤.故選：D.2．（2023下·四川成都·高二校聯(lián)考期中）2023年2月28日國家統(tǒng)計局發(fā)布《2022年國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》，其中對近幾年國內(nèi)生產(chǎn)總值及其增長速度（如圖1）和三次產(chǎn)業(yè)增加值占國內(nèi)生產(chǎn)總值比重（如圖2）做了統(tǒng)計，下列說法錯誤的是（

）A．從2018年至2022年，國內(nèi)生產(chǎn)總值逐年增加B．從2018年至2022年，2021年的國內(nèi)生產(chǎn)總值的增長速度最大C．從2018年至2022年，第三產(chǎn)業(yè)增加值占國內(nèi)生產(chǎn)總值比重逐年減少D．從2018年至2022年，第三產(chǎn)業(yè)增加值逐年增加【答案】C【分析】根據(jù)已知的統(tǒng)計圖即可逐個選項判斷.【詳解】根據(jù)圖1看出，從2018年至2022年，國內(nèi)生產(chǎn)總值逐年增加，A正確；2021年的國內(nèi)生產(chǎn)總值的增長速度最大且為8.4，B正確；根據(jù)圖2看出，從2018年至2020年，第三產(chǎn)業(yè)增加值占國內(nèi)生產(chǎn)總值比重逐年增加，從2020年至2022年，第三產(chǎn)業(yè)增加值占國內(nèi)生產(chǎn)總值比重逐年減少，C錯；第三產(chǎn)業(yè)增加值，從2018年至2022年依次為：，，，，，第三產(chǎn)業(yè)增加值逐年增加，D正確.故選：C3．（2023下·四川成都·高二期末）七巧板又稱七巧圖，智慧板，是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具.據(jù)清代陸以湉《冷廬雜識》說：“宋黃伯思宴幾圖，以方幾七，長段相參，衍為二十五體，變?yōu)榱嗣?明嚴(yán)澈蝶幾圖，則又變通其制，以勾股之形，作三角相錯形，如蝶翅.其式三，其制六，其數(shù)十有三，其變化之式，凡一百有余.近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余.體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之.”如圖是一個用七巧板拼成的三角形（其中①②為兩塊全等的小型等腰直角三角形；③為一塊中型等腰直角三角形；④⑤為兩塊全等的大型等腰直角三角形；⑥為一塊正方形；⑦為一塊平行四邊形）.現(xiàn)從該三角形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】數(shù)形結(jié)合，通過對圖形的各點(diǎn)標(biāo)記，以及各塊幾何圖的性質(zhì),進(jìn)行邊長運(yùn)算即可得出結(jié)論.【詳解】如圖，為等腰直角三角形，連接,由題可知，分別為的中點(diǎn)，設(shè)，則,,,,則,陰影部分②的面積為,陰影部分⑦的面積為則從該三角形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為，故選：B.4．（2021·山西·統(tǒng)考一模）七巧板，又稱七巧圖、智慧板，是中國古代勞動人民的發(fā)明，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀(jì)，到了明代基本定型，于明、清兩代在民間廣泛流傳．某同學(xué)用邊長為4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如圖所示，包括5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形．若該同學(xué)從5個三角形中任取出2個，則這2個三角形的面積之和不小于另外3個三角形面積之和的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先逐個求解所有5個三角形的面積，再根據(jù)要求計算概率.【詳解】如圖所示，，，，，的面積分別為，，．將，，，，分別記為，，，，，從這5個三角形中任取出2個，則樣本空間，共有10個樣本點(diǎn)．記事件表示“從5個三角形中任取出2個，這2個三角形的面積之和不小于另外3個三角形面積之和”，則事件包含的樣本點(diǎn)為，，，共3個，所以．故選：D．5．（2021·高一課時練習(xí)）如圖所示是根據(jù)某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位：℃)的情況繪制的折線統(tǒng)計圖，由圖可知這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】利用百分位數(shù)的定義即可得解；【詳解】由折線圖可知，這10天的最低氣溫按照從小到大的順序排列為：，，，，0，0，1，2，2，2，因為共有10個數(shù)據(jù)，所以是整數(shù)，則這10天最低氣溫的第80百分位數(shù)是．故選：D6．（2019·福建·校聯(lián)考三模）為比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測驗（指標(biāo)值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述正確的是（

）A．乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于甲 B．乙的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C．甲的六大素養(yǎng)指標(biāo)值波動性比乙小 D．甲的六大素養(yǎng)中直觀想象最差【答案】C【分析】根據(jù)所給的六大素養(yǎng)雷達(dá)圖逐個分析即可.【詳解】A選項,甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為分,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為分,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)低于甲,選項錯誤;B選項,乙的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為分,乙的數(shù)學(xué)抽象為素養(yǎng)分,選項錯誤;C選項,甲的六大素養(yǎng)指標(biāo)值分別為,,,,,;乙的六大素養(yǎng)指標(biāo)值分別為,,,,,,甲的六大素養(yǎng)指標(biāo)值波動性比乙小,選項正確;D選項,由C可知,甲的六大素養(yǎng)中,數(shù)學(xué)抽象,數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算最差,直觀想象最最好,選項錯誤;故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假的判斷以及統(tǒng)計圖雷達(dá)圖的識別和應(yīng)用,考查學(xué)生簡單的推理,屬于基礎(chǔ)題.二、多選題7．（2023下·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）某校在開展的“體育節(jié)”活動中，為了解學(xué)生對“體育節(jié)”的滿意程度，組織學(xué)生給活動打分（分?jǐn)?shù)為整數(shù)，滿分100分），發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)均在內(nèi)，從中隨機(jī)抽取一個容量為300的樣本，并將這些數(shù)據(jù)分成6組并作出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形（如圖所示），則下列說法中正確的是（

）A．樣本中分?jǐn)?shù)落在的頻數(shù)為45人 B．樣本的眾數(shù)為75分C．樣本的平均數(shù)為75分 D．樣本的80百分位數(shù)為85分【答案】AB【分析】根據(jù)頻率分布直方圖得到各組概率，根據(jù)概率和為1得到分?jǐn)?shù)落在的頻率進(jìn)而求解其頻數(shù)，從而判斷A；根據(jù)頻率最高的區(qū)間得到眾數(shù)，從而判斷B；根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)與百分位數(shù)求法計算，從而判斷C和D.【詳解】設(shè)分?jǐn)?shù)落在的頻率為，由題意得，各組頻率依次為，，，，，，所以，解得.對于A，樣本中分?jǐn)?shù)落在的頻數(shù)為人，故A正確；對于B，由題意知，樣本中的頻率最高，所以眾數(shù)為75分，故B正確；對于C，樣本的平均數(shù)為分，故C錯誤；對于D，分?jǐn)?shù)小于80的頻率為，分?jǐn)?shù)小于90的頻率為，所以樣本的80百分位數(shù)位于，設(shè)為，則，解得，故D錯誤.故選：AB8．（2021下·高一單元測試）甲、乙兩人下棋，和棋的概率為，乙獲勝的概率為，則下列說法錯誤的是（

）A．甲獲勝的概率是 B．甲不輸?shù)母怕适荂．乙輸?shù)母怕适?D．乙不輸?shù)母怕适恰敬鸢浮緽CD【分析】由對立事件、互斥事件、并事件的概率計算公式代入計算，對選項逐一判斷.【詳解】“甲獲勝”是“和棋或乙獲勝”的對立事件，所以“甲獲勝”的概率是，故A正確；設(shè)甲不輸為事件A，則事件A是“甲獲勝”和“和棋”這兩個互斥事件的并事件，所以，故B錯誤；“乙輸”的概率即“甲獲勝”的概率，為，故C錯誤；設(shè)乙不輸為事件B，則事件B是“乙獲勝”和“和棋”這兩個互斥事件的并事件，所以，故D錯誤；故選：BCD三、填空題9．（2023·高一課時練習(xí)）口袋中裝有100個大小相同的紅球、白球和黑球，從中任意摸出一個，摸出紅球或白球的概率為，摸出白球或黑球的概率為，那么口袋中共有白球、紅球、黑球各個．【答案】35，40，25【分析】先根據(jù)概率計算對應(yīng)顏色球的個數(shù)，結(jié)合總數(shù)100可得.【詳解】由題意，紅球和白球的個數(shù)為，白球和黑球的個數(shù)為，所以白球個數(shù)為，紅球的個數(shù)為，黑球的個數(shù)為，故答案為：35，40，2510．（2020·高一課時練習(xí)）設(shè)有外形完全相同的兩個箱子，甲箱中有99個白球，1個黑球，乙箱中有1個白球，99個黑球.隨機(jī)地抽取一箱，再從取出的一箱中抽取一球，結(jié)果取得白球，我們可以認(rèn)為這球是從箱中取出的.【答案】甲.【解析】分別求出甲箱中取到白球的概率和乙箱中取到白球的概率，由此進(jìn)行判斷．【詳解】解：甲箱有99個白球1個黑球，隨機(jī)地取出一球，得白球的可能性是，乙箱中有1個白球和99個黑球，從中任取一球，得白球的可能性是，由此看到，這一白球從甲箱中抽出的概率比從乙箱中抽出的概率大得多．既然在一次抽樣中抽得白球，當(dāng)然可以認(rèn)為是由概率大的箱子中抽出的．我們作出推斷是從甲箱中抽出的．故答案為：甲【點(diǎn)睛】本題考查概率的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意概率的計算．11．（2023·四川自貢·統(tǒng)考二模）《定理匯編》記載了諸多重要的幾何定理，其中有一些定理是關(guān)于鞋匠刀形的，即由在同一直線上同側(cè)的三