云南省昆明市盤龍區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

盤龍區(qū)2023-2024學(xué)年上學(xué)期期末檢測高二數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答題前，考生務(wù)必用碳素筆或鋼筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號在答題卡上填寫清楚.2．考生必須把所有答案填寫在答題卡上，答在試卷上的答案一律無效.3．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，其余試題用碳素筆或鋼筆作答.4．考試結(jié)束后將本試卷及答題卡交監(jiān)考教師方可離開教室.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的交運算直接運算即可.【詳解】因為集合，，所以，故選：C.2.已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義進行計算即可.【詳解】設(shè)點,則，則，故選：B.3.等比數(shù)列中，已知，則（）A.1 B.3 C.9 D.27【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件求得公比，利用通項公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，則，所以，故選：C.4.已知兩個單位向量與的夾角為，若，，且，則實數(shù)（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的條件，向量數(shù)量積的定義及運算可得結(jié)果.【詳解】因為兩個單位向量與的夾角為，且，所以，即，故選：C.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取特殊值，結(jié)合單調(diào)區(qū)間即可判斷.【詳解】由，排除BD，，由，可得，解得，由，可得，解得或，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為，故排除C.故選：A6.直線與曲線有公共點，則實數(shù)的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用直線的截距、直線與圓的位置關(guān)系及數(shù)形結(jié)合的思想計算即可.【詳解】由，即曲線為以原點為圓心的半圓，如圖所示，因為直線與曲線有公共點，而，即為直線在縱軸上的截距，易知當(dāng)直線與相切時縱截距最大，即，所以；過時縱截距最小，即，所以.故選：B7.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合三角函數(shù)圖象變換可得出結(jié)論.【詳解】因為，所以，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，故選：D.8.已知正三棱柱的底面邊長為，高為6，經(jīng)過上底面棱的中點與下底面的頂點截去該三棱柱的三個角，如圖1，得到一個幾何體，如圖2所示，若所得幾何體的六個頂點都在球的球面上，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)幾何體特征、勾股定理及其外接球體積公式計算即可.【詳解】設(shè)分別為正棱柱上下底面的中心，即，由幾何體的特征易知其外接球球心在上，如圖所示，根據(jù)正三角形的中心性質(zhì)可知，同理，設(shè)外接球半徑為則，所以有，則外接球體積.故選：D【點睛】思路點睛：對于幾何體外接球問題，第一步先確定球心位置，可以先通過確定一面的外接圓圓心去確定，本題幾何體比較規(guī)則，容易得出球心在上下中心連線上；第二步，由點在球上及球體的特征結(jié)合勾股定理構(gòu)建方程組解方程求半徑即可.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的虛部為 B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限C.的共軛復(fù)數(shù) D.【答案】CD【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的乘、除法運算化簡復(fù)數(shù)可判斷A；由復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷B；由共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷C；由復(fù)數(shù)的模長公式可判斷D.【詳解】，對于A，的虛部為，故A錯誤；對于B，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第四象限，故B錯誤；對于C，的共軛復(fù)數(shù)，故C正確；對于D，，故D正確.故選：CD.10.多項選擇題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．小樂同學(xué)在面對一道多項選擇題時，僅能明確的排除一個錯誤選項A，于是她選擇在B、C、D三個選項中隨機填涂答案提交，若該題在B、C、D中只有兩個選項正確，則（）A.若小樂填涂三個選項，則該題得2分的概率為B.若小樂隨機填涂一個選項，則該題得0分的概率為C.若小樂隨機填涂兩個選項，則該題得5分的概率為D.若小樂隨機填涂兩個選項，則該題得0分的概率為【答案】BC【解析】【分析】對選項逐個分析，分別計算出對應(yīng)的概率，即可得出答案.【詳解】對于A，若小樂填涂三個選項，則為，而該題在B、C、D中只有兩個選項正確，故該題得2分的概率為，故A錯誤；對于B，若小樂隨機填涂一個選項，共有種方法，該題得0分的概率為，故B正確；對于C，若小樂隨機填涂兩個選項，共有種方法，該題得5分的概率為，故C正確；對于D，若小樂隨機填涂兩個選項，共有種方法，則該題得0分的概率為，故D錯誤.故選：BC.11.已知、分別為雙曲線的左、右焦點，過、作漸近線的垂線，垂足分別為P、Q，若，則下列選項正確的是（）A. B.的面積為C.的漸近線方程為 D.的離心率為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的基本量之間的關(guān)系進行計算判斷.【詳解】如圖：因為，漸近線，化成，所以.在中，，，，所以，同理，所以，故A正確；，故B錯；因為，所以，所以雙曲線的漸近線方程為：，故C正確；因為，故D正確.故選：ACD12.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先由基本不等式，將等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于不等式，求解即可.【詳解】因為，對于選項A，，當(dāng)且僅當(dāng)??時等號成立；得，解得或（舍去）故，選項A正確；對于選項B，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；得，且，解得，故，選項B正確；對于選項C，，且，得，結(jié)合選項A中正確結(jié)果，得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；選項C不正確；對于選項D，，且，所以，結(jié)合選項B中正確結(jié)果，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，選項D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若是的一個充分不必要條件，請寫出滿足條件的一個為______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】化簡，寫出一個范圍比小的即可.【詳解】由，解得或，故，因為是的一個充分不必要條件，寫出一個范圍比小的即可，故.故答案為：（答案不唯一）14.把離心率為的橢圓稱為“正橢圓”．已知、為“正橢圓”的左、右焦點，過的直線交橢圓于兩點，若周長為16，則“正橢圓”方程為______．【答案】【解析】【分析】由題意可得出，，解方程求出，即可得出答案.【詳解】由題意可得：，則，又因為周長為16，所以，則，故“正橢圓”方程為.故答案為：.15.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】先求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，再利用是單調(diào)增區(qū)間的子集，確定的取值范圍.【詳解】由，，.由.又，，所以，所以.故答案為：16.如圖，公園要在一塊圓心角為，半徑為的扇形草坪中修建一個內(nèi)接矩形文化景觀區(qū)域，若，則文化景觀區(qū)域面積的最大值為______．【答案】【解析】【分析】取中點，連結(jié)，交于點，交于點，連結(jié)，設(shè)，推導(dǎo)出和，從而得出文化景觀區(qū)域面積，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，解出面積最大值．【詳解】取中點，連結(jié)，交于點，交于點，連結(jié)，設(shè)，則，，，文化景觀區(qū)域面積：，當(dāng)，即時，文化景觀區(qū)域面積取得最大值為．故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是找到變量，從而表示得，再熟練掌握三角恒等變換進行化簡即可得解.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.記為等差數(shù)列的前項和，已知．（1）求的通項公式；（2）求．【答案】17.18.【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前項和公式求解即可.【小問1詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，由，所以公差，所以.【小問2詳解】由（1）得：，，所以.18.在中，角所對的邊分別為，．（1）求；（2）已知的面積為，為的中點，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理化簡條件，代入，即可求解；（2）根據(jù)三角形面積可求得，再利用，建立方程解出后，結(jié)合條件即可求解.【小問1詳解】因為，由余弦定理，得化簡得，所以，又，所以.【小問2詳解】由的面積為，可得，則，在中，,,則，化簡為又，所以即，解得.19.某市為了解高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考情況，該市教研部門組織了一次檢測考試，隨機抽取100名學(xué)生的檢測成績（滿分：150分），并以此為樣本繪制了如下頻率分布直方圖：（1）估計該市高三年級檢測成績的第80百分位數(shù)；（2）為進一步了解市內(nèi)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，由頻率分布直方圖，成績在和的兩組中，用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生進行問卷調(diào)查，求抽取的這2名學(xué)生恰有1人成績在內(nèi)的概率．【答案】19.11520.（或）【解析】【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的概念結(jié)合頻率分布直方圖求解即可；（2）利用古典概型求解即可.【小問1詳解】由，可得.樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)考試成績在110分以下所占比例為，在130分以下所占比例為，因此，第80百分位數(shù)一定位于內(nèi)，由，所以樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約為.【小問2詳解】因為分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為：人，分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為：人，從這兩組中用分層抽樣的方法抽取5人，則2人來自分?jǐn)?shù)段，記為，，3人來自分?jǐn)?shù)段，記為，，.從這5人中隨機抽取2人的方法種數(shù)有：共10種，抽取的這2名學(xué)生恰有1人成績在內(nèi)的方法有：共6種，所以，所求事件的概率為：.20.如圖，在四棱柱中，底面為正方形，平面．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，求四棱錐的高．【答案】（1）證明見解析；（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及判定、面面垂直的判定證明即可；（2）根據(jù)幾何圖形特征轉(zhuǎn)化求出到平面的距離即可.【小問1詳解】因為底面為正方形，平面，平面,所以，又平面，所以平面，因為平面，所以平面平面；【小問2詳解】易知平面，故到平面的距離即到平面的距離，過作，平面平面，由上結(jié)論可知平面，由題意面為正方形，平面，平面，則，所以,顯然是等腰直角三角形，又四邊形為平行四邊形，故是等腰直角三角形，所以,故四棱錐的高為1.21設(shè)，令，，．（1）求，的表達式，并猜想；（2）若數(shù)列滿足：，求的前項和；（3）若數(shù)列滿足：，求的前項和．【答案】（1）；；；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求出，，歸納猜想即可；（2）應(yīng)用分組求和及等比數(shù)列公式求和即可（3）應(yīng)用裂項相消法即可.【小問1詳解】因為，，，則，，，猜想；【小問2詳解】由，則，則則的前項和；【小問3詳解】，則的前項和22.已知拋物線上的點到焦點的距離為．（1）求拋物線的方程；（2）點在拋物線上，直線與拋物線交于兩點（第一象限），過點作軸的垂線交于點，直線與直線、分別交于點（為坐標(biāo)原點），且，證明：直線過定點．【答案】22.