2024屆新教材二輪復(fù)習(xí) 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 作業(yè)

橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是8,離心率是34,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(A.x216+y27=C.x264+y228=2.橢圓x2+2y2=2與2x2+y2=1的關(guān)系為()A.有相同的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)B.有相同的焦距C.有相同的焦點(diǎn)D.有相同的離心率3.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2均在x軸上,面積為23π,且短軸長(zhǎng)為23,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x212+y2=1 B.xC.x23+y24=4.焦點(diǎn)在x軸上,右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2,到最左的點(diǎn)的距離為3的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.x24+y23=1 BC.x22+y2=1 D.x2+y5.以橢圓y29+x24A.16 B.12 C.8 D.66.(2023新高考Ⅰ,5)設(shè)橢圓C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的離心率分別為e1,e2.若e2=3e1A.233 B.2 C.3 D7.(多選題)若橢圓C:x2m+yA.m=2 B.C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3C.C的短軸長(zhǎng)為2 D.C的離心率為38.若橢圓x2+my2=1的焦點(diǎn)在y軸上,且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,則實(shí)數(shù)m的值為.

9.已知橢圓C的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,C的離心率為12,且點(diǎn)P(1,1)到C的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為10,求C的標(biāo)準(zhǔn)方程B級(jí)關(guān)鍵能力提升練10.在手工課上,王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似鳥(niǎo)巢的金屬模型,其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同,扁平程度相同的橢圓,已知大橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為40cm,短軸長(zhǎng)為20cm,小橢圓的短軸長(zhǎng)為10cm,則小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()A.30cm B.20cm C.10cm D.103cm11.若將一個(gè)橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90°,所得橢圓的短軸兩頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點(diǎn),這樣的橢圓稱為“對(duì)偶橢圓”.下列橢圓是“對(duì)偶橢圓”的是()A.x28+y24=C.x26+y22=12.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F2(c,0),點(diǎn)P在橢圓上,且∠PF1F2=30°,∠A.2-1 B.3-1 C.3+2213.如圖,橢圓的中心在原點(diǎn)O,頂點(diǎn)是A1,A2,B1,B2,焦點(diǎn)為F1,F2,延長(zhǎng)B1F2與A2B2交于P點(diǎn),若∠B1PA2為鈍角,則此橢圓的離心率的取值范圍為()A.(0,5+14) B.(5C.(0,5-12) D.14.(多選題)若橢圓上存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之比為2∶1,則稱該橢圓為“倍徑橢圓”,則下列橢圓中為“倍徑橢圓”的是()A.x216+y215=C.x225+y221=15.如圖,橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)橢圓上的點(diǎn)P作y軸的垂線,垂足為Q,若四邊形F16.已知橢圓E的中心為原點(diǎn)O,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為A(-1,0),B(1,0),一個(gè)頂點(diǎn)為H(2,0).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)對(duì)于x軸上的點(diǎn)P(t,0),橢圓E上存在點(diǎn)M,使得MP⊥MH,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練17.如圖,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P是以F1F2為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn),延長(zhǎng)PF2與橢圓交于點(diǎn)Q.若|PF1|=4|QF2|,則直線PF2的斜率為()A.-2 B.-1 C.-12 D.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1.A由題意知2a=8,解得a=4.又e=34,即c4=3所以b2=a2-c2=7.又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216+故選A.2.D橢圓x2+2y2=2可化為x22+y2=1,由此可得長(zhǎng)軸長(zhǎng)為22,短軸長(zhǎng)為2,焦距為2,離心率為22,且焦點(diǎn)在x軸上;2x2+y2=1可化為x212+y2=1,由此可得長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,短軸長(zhǎng)為2,焦距為2,離心率為22,且焦點(diǎn)在3.B由題意可得ab=2因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在x軸上,所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y24.A根據(jù)題意,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),若右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2,則c2+b2=又右焦點(diǎn)到橢圓最左的點(diǎn)的距離為3,則a+c=3,即c=1,則b2=a2-c2=4-1=3.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y25.D因?yàn)闄E圓y29+x24∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-4,1),∴16a2+19=1,解得a2因此,所求橢圓的焦距為6.故選D.6.A由題意,在C1:x2a2+y2=1中,a>1,b=1,∴e1=ca在C2:x24+y2=1中,a=2,b=1,c=a2-b2=∵e2=3e1,∴32=3×故選A.7.AD由已知可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1(舍去),∴橢圓C∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)為23,短軸長(zhǎng)為22,離心率為33故選AD.8.14∵橢圓x2+my2=1的焦點(diǎn)在y軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,∴1m=2,∴m=9.解①當(dāng)焦點(diǎn)F在x軸上時(shí),設(shè)F(m,0),則|PF|=(m解得m=4或m=-2,則c=4或c=2.當(dāng)c=4時(shí),由ca=12,得a=8,則b2=a2-c2=48,此時(shí)C當(dāng)c=2時(shí),由ca=12,得a=4時(shí),則b2=a2-c2=12,此時(shí),C的標(biāo)準(zhǔn)方程為②當(dāng)焦點(diǎn)F在y軸上時(shí),設(shè)F(0,m),則|PF|=(0解得m=4或m=-2,則c=4或c=2.當(dāng)c=4時(shí),由ca=12,得a=8,則b2=a2-c2=48,此時(shí),C當(dāng)c=2時(shí),由ca=12,得a=4,則b2=a2-c2=12,此時(shí)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為綜上,C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x264+y248=1或x216+10.B設(shè)小橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a小.因?yàn)閮蓚€(gè)橢圓的扁平程度相同,所以兩個(gè)橢圓的離心率相同,所以4020所以小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20cm.故選B.11.A因?yàn)樾D(zhuǎn)后橢圓的短軸兩頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點(diǎn),所以2b=2c,即b=c.A中,因?yàn)閍2=8,b2=4,所以c2=a2-b2=4,故b=c;B中,因?yàn)閍2=5,b2=3,所以c2=a2-b2=2≠3;C中,因?yàn)閍2=6,b2=2,所以c2=a2-b2=4≠2;D中,因?yàn)閍2=9,b2=6,所以c2=a2-b2=3≠6.故選A.12.B∵∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,∴△PF1F2是直角三角形,|PF2|=c,|PF1|=3c.∵由橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|=2a,∴3c+c=2a,∴e=ca=23+113.D因?yàn)椤螧1PA2為鈍角,所以F2B即(-c,-b)·(a,-b)<0,整理可得b2<ac?a2-c2-ac<0,可得e2+e-1>0,解得e>5-12或又e∈(0,1),所以5-12<e<114.BC假設(shè)橢圓上存在點(diǎn)P,使得|PF1|=2|PF2|,則|PF1|+|PF2|=2|PF2|+|PF2|=3|PF2|=2a,即|PF2|=2a3,|PF1|=因?yàn)閨PF2|≥a-c,所以2a3≥a-c,即a≤3經(jīng)檢驗(yàn),A,D不滿足要求,B,C滿足要求.故選BC.15.3-12根據(jù)題意可得|QF1|=|F1F2|=|PF2|=在直角三角形QF1O中,因?yàn)閨QF1|=2c,|F1O|=c,所以∠QF1O=60°,所以|PF1|=2×2c×cos30°=23c,所以|PF1|+|PF2|=23c+2c=2a,所以e=ca16.解(1)由題意可得,c=1,a=2,∴b=3.∴所求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+(2)設(shè)M(x0,y0)(x0≠±2),則x024+yMP=(t-x0,-y0),MH=(2-x0,-y0),由MP⊥MH可得MP·MH即(t-x0)(2-x0)+y02=0.由①②消去y0,整理得t(2-x0)=-14x02+2x∵x0≠2,∴t=-14x02∵-2<x0<2,∴-2<t<-1.∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為(-2,-1).17.A連接PF1,QF1,∵點(diǎn)P是以F1F2為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn),∴PF1⊥PF2.設(shè)|QF2|=m(m>0),∵|PF1|=4|QF2|,∴|PF1|=4m.∴|PF2|=2a-|PF1|