2024屆新教材二輪復(fù)習(xí) 基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) 學(xué)案

第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程高頻考點(diǎn)高考預(yù)測(cè)基本初等函數(shù)的圖象、性質(zhì)在選擇、填空題中基本初等函數(shù)的圖象、性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，利用函數(shù)性質(zhì)比較大小是常見(jiàn)題型；函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān)的題目，常結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)綜合考查，注意該知識(shí)點(diǎn)易命制成多選題，也可以函數(shù)實(shí)際應(yīng)用呈現(xiàn).函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及所在區(qū)間判斷和已知零點(diǎn)求參數(shù)范圍函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1.(2023·全國(guó)新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝eq\f(1,2)，則下列判斷正確的是(C)A．c<b<a B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c【解析】a＝log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)＝log82eq\r(2)<log83＝b，即a<c<b.故選C．2.(2023·天津高考)設(shè)a＝log20.3，b＝logeq\f(1,2)0.4，c＝0.40.3，則a、b、c的大小關(guān)系為(D)A．a(chǎn)<b<c B．c<a<bC．b<c<a D．a(chǎn)<c<b【解析】∵a＝log20.3<log21＝0，b＝logeq\s\do10(\f(1,2))0.4＝－log20.4>－log20.5＝1,0<c＝0.40.3<0.40＝1，∴a<c<b，故選D．3.(2023·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，則4a－3b＝(C)A．25 B．5C．eq\f(25,9) D．eq\f(5,3)【解析】因?yàn)?a＝5，b＝log83＝eq\f(1,3)log23，即23b＝3，所以4a－3b＝eq\f(4a,43b)＝eq\f(2a2,23b2)＝eq\f(52,32)＝eq\f(25,9).故選C．4.(2023·全國(guó)Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y，則(A)A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0【解析】由2x－2y<3－x－3－y得：2x－3－x<2y－3－y，令f(t)＝2t－3－t，∵y＝2x為R上的增函數(shù)，y＝3－x為R上的減函數(shù)，∴f(t)為R上的增函數(shù)，∴x<y，∵y－x>0，∴y－x＋1>1，∴l(xiāng)n(y－x＋1)>0，則A正確，B錯(cuò)誤；∵|x－y|與1的大小不確定，故C、D無(wú)法確定．故選A．5.(2023·全國(guó)甲卷)青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L＝5＋lgV．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(eq\r(10,10)≈1.259)(C)A．1.5 B．1.2C．0.8 D．0.6【解析】在L＝5＋lgV中，L＝4.9，所以4.9＝5＋lgV，即lgV＝－0.1，解得V＝10－0.1＝eq\f(1,100.1)＝eq\f(1,\r(10,10))≈eq\f(1,1.259)≈0.8，所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.故選C．6.(2023·全國(guó)甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，則(A)A．a(chǎn)>0>b B．a(chǎn)>b>0C．b>a>0 D．b>0>a【解析】由9m＝10可得m＝log910＝eq\f(lg10,lg9)>1，而lg9lg11<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg9＋lg11,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg99,2)))2<1＝(lg10)2，所以eq\f(lg10,lg9)>eq\f(lg11,lg10)，即m>lg11，所以a＝10m－11>10lg11－11＝0.又lg8lg10<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg8＋lg10,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg80,2)))2<(lg9)2，所以eq\f(lg9,lg8)>eq\f(lg10,lg9)，即log89>m，所以b＝8m－9<8log89－9＝0.綜上，a>0>b.故選A．7.(多選)(2023·全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷)噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視．用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常數(shù)p0(p0>0)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，p是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車(chē)1060～90混合動(dòng)力汽車(chē)1050～60電動(dòng)汽車(chē)1040已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p1，p2，p3，則(ACD)A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2【解析】由題意可知：Lp1∈[60,90]，Lp2∈[50,60]，Lp3＝40，對(duì)于選項(xiàng)A：可得Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p0)－20×lgeq\f(p2,p0)＝20×lgeq\f(p1,p2)，因?yàn)長(zhǎng)p1≥Lp2，則Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p2)≥0，即lgeq\f(p1,p2)≥0，所以eq\f(p1,p2)≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：可得Lp2－Lp3＝20×lgeq\f(p2,p0)－20×lgeq\f(p3,p0)＝20×lgeq\f(p2,p3)，因?yàn)長(zhǎng)p2－Lp3＝Lp2－40≥10，則20×lgeq\f(p2,p3)≥10，即lgeq\f(p2,p3)≥eq\f(1,2)，所以eq\f(p2,p3)≥eq\r(e)且p2，p3>0，可得p2≥eq\r(e)p3，當(dāng)且僅當(dāng)Lp2＝50時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)長(zhǎng)p3＝20×lgeq\f(p3,p0)＝40，即lgeq\f(p3,p0)＝2，可得eq\f(p3,p0)＝100，即p3＝100p0，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p2)，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，則20×lgeq\f(p1,p2)≤40，即lgeq\f(p1,p2)≤2，可得eq\f(p1,p2)≤100，且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正確．故選ACD．核心考點(diǎn)1基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)核心知識(shí)·精歸納1.一般冪函數(shù)的圖象特征(1)所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)．(2)當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸．(3)當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．(4)冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)．(5)在第一象限作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列．2.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱(chēng)，它們的圖象和性質(zhì)分0<a<1，a>1兩種情況，著重關(guān)注兩函數(shù)圖象的異同．3.常見(jiàn)的幾個(gè)結(jié)論(1)已知a>0且a≠1，則ab>1?(a－1)b>0,0<ab<1?(a－1)b<0.(2)已知a>0且a≠1，b>0，則logab>0?(a－1)(b－1)>0，logab<0?(a－1)(b－1)<0.(3)指數(shù)型函數(shù)y＝k·amx＋n＋p(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(n,m)，k＋p)).(4)對(duì)數(shù)型函數(shù)y＝k·loga(mx＋n)＋p(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－n,m)，p)).多維題組·明技法角度1：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象1.(2023·海南一模)已知函數(shù)y＝xa，y＝bx，y＝logcx的圖象如圖所示，則(C)A．ea<ec<eb B．eb<ea<ecC．ea<eb<ec D．eb<ec<ea【解析】由圖象可知：a<0<b<1<c，∴ea<eb<ec.故選C．2.設(shè)y＝f(x)為指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)，函數(shù)y＝g(x)的圖象與y＝f(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)．在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))四點(diǎn)中，函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象的公共點(diǎn)只可能是(D)A．點(diǎn)P B．點(diǎn)QC．點(diǎn)M D．點(diǎn)N【解析】由于＝f(x)為指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)，函數(shù)y＝g(x)的圖象與y＝f(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)．故函數(shù)g(x)＝logax；當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，y＝eq\f(1,4)，整理得a＝eq\f(1,16)，故g(x)＝logeq\s\do10(\f(1,16))x，由于這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，當(dāng)x＝eq\f(1,4)時(shí)，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝eq\f(1,2)，其他的都不符合．故選D．3.(2023·攀枝花一模)若對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－2))，點(diǎn)B(8，t)，且p＝log0.1t，q＝0.2t，r＝t0.1.則(D)A．r<p<q B．q<p<rC．r<q<p D．p<q<r【解析】設(shè)f(x)＝logax(a>0且a≠1)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝logaeq\f(1,4)＝－2，所以a＝2，則f(x)＝log2x，又函數(shù)過(guò)點(diǎn)B(8，t)，所以f(t)＝log2t＝8，則t＝3，所以p＝log0.1t＝log0.13<0，q＝0.2t＝0.23，又0<0.23<0.20＝1，則0<q<1，r＝t0.1＝30.1>30＝1，所以r>q>p.故選D．角度2：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)4.(2023·香洲區(qū)校級(jí)模擬)已知a＝2eq\s\up10(\f(1,2))，b＝3eq\s\up10(\f(1,3))，c＝log0.20.5，則(A)A．b>a>c B．b>c>aC．a(chǎn)>b>c D．a(chǎn)>c>b【解析】∵(2eq\s\up10(\f(1,2)))6＝23＝8，(3eq\s\up10(\f(1,3)))6＝32＝9，∴a6<b6，∵a>0，b>0，∴b>a，∵c＝log0.20.5＝log52<1，∵a＝2eq\s\up10(\f(1,2))>20＝1，∴b>a>c.故選A．5.(2023·贛州二模)若log3x＝log4y＝log5z<－1，則(D)A．3x<4y<5z B．4y<3x<5zC．4y<5z<3x D．5z<4y<3x【解析】令log3x＝log4y＝log5z＝m<－1，則x＝3m，y＝4m，z＝5m,3x＝3m＋1,4y＝4m＋1,5z＝5m＋1，其中m＋1<0，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出y＝3x，y＝4x，y＝5x，故5z<4y<3x.故選D．6.若關(guān)于x的不等式4x－logax≤eq\f(3,2)在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A)A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))【解析】由題意知關(guān)于x的不等式4x－eq\f(3,2)≤logax在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))恒成立，所以當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時(shí)，函數(shù)y＝4x－eq\f(3,2)的圖象不在y＝logax的圖象的上方，由圖可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,loga\f(1,2)≥\f(1,2)，))解得eq\f(1,4)≤a<1.故選A．方法技巧·精提煉(1)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性都取決于其底數(shù)的取值，當(dāng)?shù)讛?shù)a的值不確定時(shí)，要注意分a>1和0<a<1兩種情況討論：當(dāng)a>1時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為減函數(shù)．(2)基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是統(tǒng)一的，在解題中可相互轉(zhuǎn)化．加固訓(xùn)練·促提高1.(2023·棗莊二模)指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象