新教材2024版高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)章末檢測(cè)新人教A版必修第一冊(cè)

第一章章末檢測(cè)時(shí)間：120分鐘，滿(mǎn)分150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列表述中正確的是()A．{0}＝? B．{(1，2)}＝{1，2}C．{?}＝? D．0∈N【答案】D【解析】由集合的性質(zhì)可知，?表示沒(méi)有任何元素的集合，而{0}表示有一個(gè)元素0，故A錯(cuò)誤；{(1，2)}表示有一個(gè)元素，是點(diǎn)的集合，而{1，2}表示有2個(gè)元素的集合，是數(shù)集，故B錯(cuò)誤；?表示沒(méi)有任何元素的集合，而{?}表示有一個(gè)元素?，故C錯(cuò)誤．故選D．2．已知集合A＝{1，2}，B＝{1}，則下列關(guān)系正確的是()A．BA B．B∈AC．B?A D．A?B【答案】C【解析】因兩個(gè)集合之間不能用“∈或”，首先排除選項(xiàng)A，B．因?yàn)榧螦＝{1，2}，B＝{1}，所以集合B中的元素都是集合A中的元素，由子集的定義知B?A．故選C．3．（2023年屯昌二模）命題“x∈R，x2＝1”的否定形式是()A．x∈R，x≠1或x≠－1 B．x∈R，x≠1且x≠－1C．x∈R，x≠1或x≠－1 D．x∈R，x≠1且x≠－1【答案】D【解析】命題“x∈R，x2＝1”的否定形式是“x∈R，x≠1且x≠－1”．故選D．4．命題p：“x2－3x－4＝0”，命題q：“x＝4”，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】根據(jù)題意，p：“x2－3x－4＝0”，即x＝4或x＝－1，則有若q：“x＝4”成立，則p：“x2－3x－4＝0”成立，反之若p：“x2－3x－4＝0”成立，則q：“x＝4”不一定成立，即p是q的必要不充分條件．故選B．5．“eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞0))”是“eq\f(1,xy)＞0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞0))eq\f(1,xy)＞0，eq\f(1,xy)＞0eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜0，,y＜0，))所以“eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞0))”是“eq\f(1,xy)＞0”的充分不必要條件．故選A．6．（2023年北京模擬）已知集合M＝{x|x－1＞0}，集合N＝{x|x－2≥0}，則()A．M?N B．N?MC．M∩N＝? D．M∪N＝R【答案】B【解析】由M＝{x|x－1＞0}＝{x|x＞1}，N＝{x|x－2≥0}＝{x|x≥2}，可得N?M．故選B．7．（2023年安陽(yáng)模擬）已集合A＝{x|ax＋3＝0}，B＝{x|x2＝9}，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值集合是()A．{1} B．{－1，1}C．{－1，0，1} D．{0，1}【答案】C【解析】∵B＝{－3，3}，∴當(dāng)a＝0時(shí)，A＝?，滿(mǎn)足A?B；當(dāng)a≠0時(shí)，若A?B，則A＝{3}時(shí)，a＝－1，A＝{－3}時(shí)，a＝1．∴a的取值集合是{－1，0，1}．故選C．8．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．（－∞，2] B．（2，4]C．[2，4] D．（－∞，4]【答案】D【解析】因?yàn)锽?A，當(dāng)B＝?時(shí)，即m＋1≥2m－1，解得m≤2；當(dāng)B≠?時(shí)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1＜2m－1，))解得2＜m≤4．綜上所述，可得m≤4．故選D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝1))的解集可表示為()A．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x，y)\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝1)))))) B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x，y)\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1))))))C．(1，2) D．{(2，1)}【答案】ABD【解析】方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝1))只有一個(gè)解，解為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))所以方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝1))的解集中只有一個(gè)元素，且此元素是有序數(shù)對(duì)，所以A，B，D都符合題意．10．（2023年當(dāng)涂開(kāi)學(xué)考試）下列命題為真命題的是()A．x＜0，使得|x|＞0B．x≥0，都有|x|＝xC．已知集合A＝{x|x＝2k}，B＝{y|y＝3k}，則對(duì)于k∈N*，都有A∩B＝?D．x∈R，使得方程x2＋2x＋5＝0成立【答案】AB【解析】對(duì)于A，當(dāng)x＜0時(shí)，|x|＝－x＞0，A正確；對(duì)于B，當(dāng)x≥0時(shí)，|x|＝x，B正確；對(duì)于C，當(dāng)k∈N*時(shí)，A∩B＝{x|x＝6k}，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵Δ＝4－20＝－16＜0，∴x∈R，方程x2＋2x＋5＝0都不成立，D錯(cuò)誤．故選AB．11．下列命題正確的有()A．A∪?＝? B．?U(A∪B)＝(?UA)∪(?UB)C．A∩B＝B∩A D．?U(?UA)＝A【答案】CD【解析】A∪?＝A，故A錯(cuò)誤；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)，故B錯(cuò)誤；A∩B＝B∩A，故C正確；?U(?UA)＝A，故D正確．故選CD．12．下列條件能成為“x＞y”的充分條件的是()A．xt2＞yt2 B．xt＞ytC．x2＞y2 D．0＜eq\f(1,x)＜eq\f(1,y)【答案】AD【解析】由xt2＞yt2可知，t2＞0，故x＞y，故A為充分條件；由xt＞yt可知，t≠0，當(dāng)t＜0時(shí)，有x＜y，當(dāng)t＞0時(shí)，有x＞y，故B不是；由x2＞y2，則|x|＞|y|，推不出x＞y，故C不是；由0＜eq\f(1,x)＜eq\f(1,y)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\f(1,x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，可得x＞y＞0，故D是充分條件．故選AD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（2023年大通期末）已知命題p：x0∈R，xeq\o\al(2,0)－3x0＋3≤0，則?p為_(kāi)_______．【答案】x∈R，x2－3x＋3＞0【解析】命題p：x0∈R，xeq\o\al(2,0)－3x0＋3≤0，則?p：x∈R，x2－3x＋3＞0．14．已知集合A＝{－2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A∪B＝A，則實(shí)數(shù)a值集合為_(kāi)_______．【答案】{0，－1，2}【解析】因?yàn)锳∪B＝A，所以B?A，當(dāng)B＝?時(shí)，a＝0；當(dāng)B≠?時(shí)，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))，則eq\f(2,a)＝－2或eq\f(2,a)＝1，解得a＝－1或a＝2，所以實(shí)數(shù)a值集合為{0，－1，2}．15．（2023年深圳期末）已知“x≥2a－1”是“x≥3”的充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】{a|a≥2}【解析】由題意得x≥2a－1x≥3，故2a－1≥3，解得a≥2，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≥2}．16．（2023年上海金山區(qū)期末）已知集合A＝{(x，y)|x－ay＋2＝0}，B＝{(x，y)|ax－4y＋4＝0}，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．【答案】－2【解析】集合A＝{(x，y)|x－ay＋2＝0}，B＝{(x，y)|ax－4y＋4＝0}，A∩B＝?，則1×(－4)＝－a·a，解得a＝±2，當(dāng)a＝2時(shí)，直線x－ay＋2＝0與ax－4y＋4＝0重合，不符合題意，當(dāng)a＝－2時(shí)，直線x－ay＋2＝0與ax－4y＋4＝0不重合，符合題意，故實(shí)數(shù)a的值為－2．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－3≤x≤1}．(1)求?RA；(2)求B∪(?RA)．解：(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，∴?RA＝{x|x＜－1或x＞2}．(2)B∪(?RA)＝{x|－3≤x≤1}∪{x|x＜－1或x＞2}＝{x|x≤1或x＞2}．18．（12分）命題p是“對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有x－a＞0或x－b≤0”，其中a，b是常數(shù)．(1)寫(xiě)出命題p的否定；(2)當(dāng)a，b滿(mǎn)足什么條件時(shí)，命題p的否定為真？解：(1)命題p的否定：存在實(shí)數(shù)x，有x－a≤0且x－b＞0．(2)要使命題p的否定為真，則需要使不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－a≤0，,x－b＞0))的解集不為空集，通過(guò)畫(huà)數(shù)軸（畫(huà)數(shù)軸略）可看出，a，b應(yīng)滿(mǎn)足的條件是b＜a．19．（12分）（2023年濰坊期末）設(shè)全集U＝R，已知集合A＝{x|－1＋a≤x≤1＋a}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－4,x－1)))＞0))．(1)若a＝3，求A∪B；(2)若A∩B＝?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝3時(shí)，A＝{x|2≤x≤4}，由eq\f(x－4,x－1)＞0，得(x－4)(x－1)＞0，即B＝{x|x＜1或x＞4}，∴A∪B＝{x|x＜1或x≥2}．(2)已知A＝{x|－1＋a≤x≤1＋a}，由(1)知B＝{x|x＜1或x＞4}．∵A∩B＝?且B≠?，∴－1＋a≥1且1＋a≤4，解得2≤a≤3，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|2≤a≤3}．20．（12分）已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分別求滿(mǎn)足下列條件的a的值．(1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B．解：(1)因?yàn)?∈(A∩B)，所以9∈B且9∈A，所以2a－1＝9或a2＝9，解得a＝5或a＝±3，檢驗(yàn)知a＝5或a＝－3．(2)因?yàn)閧9}＝A∩B，所以9∈(A∩B)，所以a＝5或a＝－3．當(dāng)a＝5時(shí)，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}，此時(shí)A∩B＝{－4，9}，與A∩B＝{9}矛盾，故舍去；當(dāng)a＝－3時(shí)，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}，滿(mǎn)足題意．綜上可知，a＝－3．21．（12分）（2023年寧波期末）在①x∈A是x∈B的充分不必要條件；②A?B；③A∩B＝?這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第(2)問(wèn)的橫線處，求解下列問(wèn)題．問(wèn)題：已知集合A＝{x|m－1≤x≤m＋1}，集合B＝{x||x|≤2}．(1)當(dāng)m＝2時(shí)，求A∪B；(2)若________，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)因?yàn)閨x|≤2，所以－2≤x≤2．所以B＝{x|－2≤x≤2}．當(dāng)m＝2時(shí)，A＝{x|1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－2≤x≤3}．(2)由(1)得B＝{x|－2≤x≤2}，選①，x∈A是x∈B的充分不必要條件，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2，,m－1≥－2，))且等號(hào)不同時(shí)成立，解得－1≤m≤1．選②，A?B，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2，,m－1≥－2，))解得－1≤m≤1．選③，A∩B＝?，則m－1＞2或m＋1＜－2，解得m＞3或m＜－3，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m＞3或m＜－3}．22．（12分）設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，求證：方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是∠A＝90°．證明：充分性．因?yàn)椤螦＝90°，所以a2＝b2＋c2，于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化為x2＋2ax＋a2－c2＝0，所以x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0，所以[x＋(a＋c)][x＋(