高考數(shù)學(xué)B版真題及模擬：平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用A組

自主命題·北京卷題組1.(2018北京,6,5分)設(shè)a,b均為單位向量,則“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的

()A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件答案

C本題主要考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用以及充分、必要條件的判斷.|a-3b|=|3a+b|?|a-3b|2=|3a+b|2?a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2?2a2+3a·b-2b2=0,又∵|a|=|b|=1,∴a·b=0

?a⊥b,故選C.2.充分條件與必要條件的判斷方法:(1)直接法:分別判斷命題“若p,則q”和“若q,則p”的真假.(2)集合法:設(shè)p、q對應(yīng)的集合分別為P,Q,利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.(3)利用原命題與其逆否命題同真假來判斷.方法總結(jié)1.平面向量模的問題的處理方法:通常是進(jìn)行平方,轉(zhuǎn)化成平面向量的數(shù)量積問題解決.2.(2017北京,6,5分)設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的

()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案

A由存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn,可得m、n共線且反向,夾角為180°,則m·n=-|m||n|<0,故充分

性成立.由m·n<0,可得m,n的夾角為鈍角或180°,故必要性不成立.故選A.3.(2014北京,10,5分,0.77)已知向量a,b滿足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),則|λ|=

.答案

解析∵λa+b=0,即λa=-b,∴|λ||a|=|b|.∵|a|=1,|b|=

,∴|λ|=

.思路分析先根據(jù)已知得到|a|,|b|的關(guān)系,再求出|b|,然后計算|λ|.4.(2012北京,13,5分)已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點,則

·

的值為

;

·

的最大值為

.答案1;1解析①如圖,建立直角坐標(biāo)系,則D(0,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0).設(shè)E(x,1),那么

=(x,1),

=(0,1),∴

·

=1.

②∵

=(1,0),∴

·

=x.∵正方形的邊長為1,∴x的最大值為1,故

·

的最大值為1.評析本題考查向量的數(shù)量積運算,建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵.B組

統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點一長度與角度問題1.(2016課標(biāo)全國Ⅲ,3,5分)已知向量

=

,

=

,則∠ABC=

()A.30°

B.45°

C.60°

D.120°答案

A

cos∠ABC=

=

,所以∠ABC=30°,故選A.2.(2017課標(biāo)全國Ⅰ,13,5分)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=

.答案2

解析本題考查向量數(shù)量積的計算.由題意知a·b=|a|·|b|cos60°=2×1×

=1,則|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b=4+4+4=12.所以|a+2b|=2

.3.(2016課標(biāo)全國Ⅰ,13,5分)設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=

.答案-2解析由|a+b|2=|a|2+|b|2,知a⊥b,∴a·b=m+2=0,∴m=-2.評析本題考查向量數(shù)量積及向量的模,難度不大.4.(2014課標(biāo)Ⅰ,15,5分,0.688)已知A,B,C為圓O上的三點,若

=

(

+

),則

與

的夾角為

.答案90°解析由

=

(

+

)可知O為BC的中點,即BC為圓O的直徑,又因為直徑所對的圓周角為直角,所以∠BAC=90°,所以

與

的夾角為90°.1.(2018課標(biāo)全國Ⅱ,4,5分)已知向量a,b滿足|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)=

()A.4

B.3

C.2

D.0考點二數(shù)量積的綜合應(yīng)用答案

B本題考查平面向量的運算.因為|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2×12-(-1)=3.故選B.解題關(guān)鍵掌握向量的運算是解題關(guān)鍵.2.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為

,向量b滿足b2-4e·b+3=0,則|a-b|的最小值是

()A.

-1

B.

+1C.2

D.2-

答案

A本題考查平面向量的數(shù)量積、坐標(biāo)運算、向量模的最值和點到直線的距離.設(shè)

=a,

=b,

=e,以O(shè)為原點,

的方向為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則E(1,0).不妨設(shè)A點在第一象限,∵a與e的夾角為

,∴點A在從原點出發(fā),傾斜角為

,且在第一象限內(nèi)的射線上.設(shè)B(x,y),由b2-4e·b+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即點B在圓(x-2)2+y2=1上運動.而

=a-b,∴|a-b|的最小值即為點B到射線OA的距離的最小值,即為圓心(2,0)到射線y=

x(x≥0)的距離減去圓的半徑,所以|a-b|min=

-1.選A.一題多解將b2-4e·b+3=0轉(zhuǎn)化為b2-4e·b+3e2=0,即(b-e)·(b-3e)=0,∴(b-e)⊥(b-3e).設(shè)

=e,

=a,

=b,

=3e,

=2e,則

⊥

,∴點B在以M為圓心,1為半徑的圓上運動,如圖.

∵|a-b|=|

|,∴|a-b|的最小值即為點B到射線OA的距離的最小值,即為圓心M到射線OA的距離減去圓的半徑.∵|

|=2,∠AOM=

,∴|a-b|min=2sin

-1=

-1.3.(2018天津,8,5分)如圖,在平面四邊形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若

點E為邊CD上的動點,則

·

的最小值為

()

A.

B.

C.

D.3答案

A本題主要考查數(shù)量積的綜合應(yīng)用.解法一:如圖,以D為原點,DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(1,0),

B

,C(0,

),令E(0,t),t∈[0,

],∴

·

=(-1,t)·

=t2-

t+

,∵t∈[0,

],∴當(dāng)t=-

=

時,

·

取得最小值,(

·

)min=

-

×

+

=

.故選A.

解法二:令

=λ

(0≤λ≤1),由已知可得DC=

,∵

=

+λ

,∴

=

+

=

+

+λ

,∴

·

=(

+λ

)·(

+

+λ

)=

·

+|

|2+λ

·

+λ2|

|2方法總結(jié)向量的最值問題常用數(shù)形結(jié)合的方法和函數(shù)的思想方法求解,建立函數(shù)關(guān)系時,可

用平面向量基本定理,也可利用向量的坐標(biāo)運算.=3λ2-

λ+

.當(dāng)λ=-

=

時,

·

取得最小值

.故選A.4.(2016課標(biāo)全國Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,則m=

()A.-8

B.-6

C.6

D.8答案

D由題可得a+b=(4,m-2),又(a+b)⊥b,∴4×3-2×(m-2)=0,∴m=8.故選D.5.(2015四川,7,5分)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形,|

|=6,|

|=4.若點M,N滿足

=3

,

=2

,則

·

=

()A.20

B.15

C.9

D.6答案

C依題意有

=

+

=

+

,

=

+

=

-

=

-

,所以

·

=

·

=

-

=9.故選C.6.(2017課標(biāo)全國Ⅱ,12,5分)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點,則

·(

+

)的最小值是

()A.-2

B.-

C.-

D.-1答案

B設(shè)BC的中點為D,AD的中點為E,則有

+

=2

,則

·(

+

)=2

·

=2(

+

)·(

-

)=2(

-

).而

=

=

,當(dāng)P與E重合時,

有最小值0,故此時

·(

+

)取最小值,最小值為-2

=-2×

=-

.

一題多解以AB所在直線為x軸,AB的中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,

則A(-1,0),B(1,0),C(0,

),設(shè)P(x,y),取BC的中點D,則D

.

·(

+

)=2

·

=2(-1-x,-y)·

=2

=2

.因此,當(dāng)x=-

,y=

時,

·(

+

)取得最小值,為2×

=-

,故選B.方法總結(jié)在求向量數(shù)量積的最值時,常用取中點的方法,如本題中利用

·

=

-

可快速求出最值.7.(2017天津,13,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若

=2

,

=λ

-

(λ∈R),且

·

=-4,則λ的值為

.答案

解析本題主要考查平面向量的線性運算以及數(shù)量積.如圖,由

=2

得

=

+

,所以

·

=

·(λ

-

)=

λ

·

-

+

λ

-

·

,又

·

=3×2×cos60°=3,

=9,

=4,所以

·

=λ-3+

λ-2=

λ-5=-4,解得λ=

.

思路分析根據(jù)

=2

得

=

+

,利用

·

=-4以及向量的數(shù)量積建立關(guān)于λ的方程,從而求得λ的值.一題多解以A為原點,AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,因為AB=3,AC=2,∠A=

60°,所以B(3,0),C(1,

),又

=2

,所以D

,所以

=

,而

=λ

-

=λ(1,

)-(3,0)=(λ-3,

λ),因此

·

=

(λ-3)+

×

λ=

λ-5=-4,解得λ=

.

8.(2015湖北,11,5分)已知向量

⊥

,|

|=3,則

·

=

.答案9解析∵

⊥

,∴

·

=0,即

·(

-

)=0,∴

·

=

=9.9.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.動點E和F分別

在線段BC和DC上,且

=λ

,

=

,則

·

的最小值為

.答案

解析如圖,以A為原點,AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,則B(2,0),C

,D

.由

=λ

得E

,由

=

得F

.從而

·

=

·

=

+

+

≥

+2×

=

當(dāng)且僅當(dāng)λ=

時,取等號

.

C組

教師專用題組考點一長度與角度問題1.(2015湖南,8,5分)已知點A,B,C在圓x2+y2=1上運動,且AB⊥BC.若點P的坐標(biāo)為(2,0),則|

+

+

|的最大值為

()A.6

B.7C.8

D.9答案

B解法一:由圓周角定理及AB⊥BC,知AC為圓的直徑.故

+

=2

=(-4,0)(O為坐標(biāo)原點).設(shè)B(cosα,sinα),∴

=(cosα-2,sinα),∴

+

+

=(cosα-6,sinα),|

+

+

|=

=

≤

=7,當(dāng)且僅當(dāng)cosα=-1時取等號,此時B(-1,0),故|

+

+

|的最大值為7.故選B.解法二:同解法一得

+

=2

(O為坐標(biāo)原點),又

=

+

,∴|

+

+

|=|3

+

|≤3|

|+|

|=3×2+1=7,當(dāng)且僅當(dāng)

與

同向時取等號,此時B點坐標(biāo)為(-1,0),故|

+

+

|max=7.故選B.評析本題考查向量的坐標(biāo)運算,向量的模等基礎(chǔ)知識,對能力要求較高.2.(2014浙江,8,5分)記max{x,y}=

min{x,y}=

設(shè)a,b為平面向量,則

()A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

答案

D在A中,取a=(1,0),b=(0,0),則min{|a+b|,|a-b|}=1,而min{|a|,|b|}=0,不符合,即A錯.在B

中,設(shè)a=b≠0,則min{|a+b|,|a-b|}=0,而min{|a|,|b|}=|a|>0,不符合,即B錯.因為|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b,|a

-b|2=|a|2+|b|2-2a·b,則當(dāng)a·b≥0時,max{|a+b|2,|a-b|2}=|a|2+|b|2+2a·b≥|a|2+|b|2;當(dāng)a·b<0時,max{|a+b|2,|

a-b|2}=|a|2+|b|2-2a·b≥|a|2+|b|2,即總有max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2.故選D.3.(2017山東,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的單位向量.若

e1-e2與e1+λe2的夾角為60°,則實數(shù)λ的值是

.答案

解析本題考查向量的坐標(biāo)運算和向量的夾角公式.由題意不妨設(shè)e1=(1,0),e2=(0,1),則

e1-e2=(

,-1),e1+λe2=(1,λ).根據(jù)向量的夾角公式得cos60°=

=

=

,所以

-λ=

,解得λ=

.疑難突破根據(jù)“e1,e2是互相垂直的單位向量”將原問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運算是解決本題

的突破口.易錯警示對向量的夾角公式掌握不牢而致錯.1.(2016山東,8,5分)已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,cos<m,n>=

.若n⊥(tm+n),則實數(shù)t的值為

()A.4

B.-4C.

D.-

考點二數(shù)量積的綜合應(yīng)用答案

B因為n⊥(tm+n),所以tm·n+n2=0,所以m·n=-

,又4|m|=3|n|,所以cos<m,n>=

=

=-

=

,所以t=-4.故選B.評析本題主要考查了非零向量垂直的充要條件和夾角公式,屬中檔題.2.(2015山東,4,5分)已知菱形ABCD的邊長為a,∠ABC=60°,則

·

=

()A.-

a2

B.-

a2C.

a2

D.

a2

答案

D

·

=(

+

)·

=

·

+

=

a2+a2=

a2.3.(2014重慶,4,5分)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,則實數(shù)k=

()A.-

B.0

C.3

D.

答案

C2a-3b=(2k-3,-6),由(2a-3b)⊥c,得4k-6-6=0,解得k=3.選C.4.(2014天津,8,5分)已知菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=120°,點E,F分別在邊BC,DC上,BE=λBC,

DF=μDC.若

·

=1,

·

=-

,則λ+μ=

()A.

B.

C.

D.

答案

C以

,

為基向量,則

·

=(

+λ

)·(

+μ

)=μ

+λ

+(1+λμ)

·

=4(μ+λ)-2(1+λμ)=1①.

·

=(λ-1)

·(μ-1)

=-2(λ-1)(μ-1)=-

②,由①②可得λ+μ=

.5.(2015陜西,7,5分)對任意向量a,b,下列關(guān)系式中

的是

()A.|a·b|≤|a||b|

B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2

D.(a+b)·(a-b)=a2-b2

答案

B|a·b|=|a|·|b|·|cos<a,b>|≤|a|·|b|,故A正確;由向量的運算法則知C,D也正確;當(dāng)b=-a≠0時,|a-b|>||a|-|b||,B錯誤.故選B.評析本題考查向量的運算法則等知識,考查邏輯推理能力.6.(2015福建,9,5分)已知

⊥

,|

|=

,|

|=t.若點P是△ABC所在平面內(nèi)的一點,且

=

+

,則

·

的最大值等于

()A.13

B.15

C.19

D.21答案

A以A為原點,AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B

(t>0),C(0,t),P(1,4),

·

=

·(-1,t-4)=17-

≤17-2×2=13

,故

·

的最大值為13,故選A.7.(2016天津,7,5分)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形,點D,E分別是邊AB,BC的中點,連接DE

并延長到點F,使得DE=2EF,則

·

的值為

()A.-

B.

C.

D.

答案

B建立平面直角坐標(biāo)系,如圖.

則B

,C

,A

,所以

=(1,0).易知DE=

AC,則EF=

AC=

,因為∠FEC=60°,故選B.所以點F的坐標(biāo)為

,所以

=

,所以

·

=

·(1,0)=

.疑難突破若利用公式a·b=|a|·|b|cos<a,b>求解十分困難,則可以考慮建立平面直角坐標(biāo)系,利

用坐標(biāo)運算求解.確定點F的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.評析本題考查了向量的坐標(biāo)運算和向量的數(shù)量積.考查運算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想.8.(2014四川,7,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m

=

()A.-2

B.-1C.1

D.2答案

D解法一:由c與a的夾角等于c與b的夾角,可設(shè)c=λ

=

a+

b(λ∈R),∵c=ma+b,∴

?m=2.解法二:c=ma+b=(m+4,2m+2),∵c與a的夾角等于c與b的夾角,且向量夾角的取值范圍是[0,π],∴

=

,∴2(a·c)=b·c?2(m+4+4m+4)=4m+16+4m+4?m=2.9.(2017浙江,10,5分)如圖,已知平面四邊形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于

點O.記I1=

·

,I2=

·

,I3=

·

,則

()

A.I1<I2<I3

B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2

D.I2<I1<I3

答案

C解法一:因為AB=BC,AB⊥BC,∴∠BCO=45°.過B作BE⊥AC于E,則∠EBC=45°.因為AD<DC,所以D、A在BE所在直線的同側(cè),從而∠DBC>45°,又∠BCO=45°,∴∠BOC為銳角.從而∠AOB為鈍角,所以∠DOC為鈍角.故I1<0,I3<0,I2>0.又OA<OC,OB<OD,故可設(shè)

=-λ1

(λ1>1),

=-λ2

(λ2>1),從而I3=

·

=λ1λ2

·

=λ1λ2I1,又λ1λ2>1,I1<0,∴I3<I1<0,∴I3<I1<I2.故選C.

解法二:如圖,建立直角坐標(biāo)系,則B(0,0),A(0,2),C(2,0).

設(shè)D(m,n),由AD=2和CD=3,得

從而有n-m=

>0,∴n>m.從而∠DBC>45°,又∠BCO=45°,∴∠BOC為銳角.從而∠AOB為鈍角.故I1<0,I3<0,I2>0.又OA<OC,OB<OD,故可設(shè)

=-λ1

(λ1>1),

=-λ2

(λ2>1),從而I3=

·

=λ1λ2

·

=λ1λ2I1,又λ1λ2>1,I1<0,I3<0,∴I3<I1,∴I3<I1<I2.故選C.10.(2014湖北,11,5分)設(shè)向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),則實數(shù)λ=

.答案

±3解析|a|=3

,|b|=

,a·b=3×1+3×(-1)=0.因為(a+λb)⊥(a-λb),所以(a+λb)·(a-λb)=|a|2-λ2|b|2=18-2λ2=0.故λ=±3.11.(2014江蘇,12,5分)如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AB=8,AD=5,

=3

,

·

=2,則

·

的值是

.

答案22解析

·

=(

+

)·(

+

)=

·

=

-

+

·

=25-

×64-

·

=13-

·

=2,故

·

=22.12.(2016浙江,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若對任意單位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤

,則a·b的最大值是

.答案

解析對任意單位向量e,均有

≥|a·e|+|b·e|≥|a·e+b·e|=|(a+b)·e|,∴|a+b|≤

,當(dāng)且僅當(dāng)a+b與e共線時,等號成立.∴a2+2a·b+b2≤6,又|a|=1,|b|=2,∴a·b≤

,即a·b的最大值為

.A組

2016—2018年高考模擬·基礎(chǔ)題組考點一長度與角度問題1.(2018北京朝陽一模,4)已知a,b為非零向量,則“a·b>0”是“a與b的夾角為銳角”的

()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案

B∵a,b為非零向量,∴a·b>0?cos<a,b>>0?<a,b>∈

,a,b的夾角為銳角?<a,b>∈

,又

?

,故選B.2.(2017北京豐臺二模,5)已知向量a=

,b=(

,-1),則a,b的夾角為

()A.

B.

C.

D.

答案

B由題意可得cos<a,b>=

=

=

=

,∴a,b的夾角為

,故選B.3.(2017北京順義二模,3)已知向量

=(1,

),

=(-1,

),則∠BAC=

()A.30°

B.45°

C.60°

D.120°答案

C∵cos∠BAC=

=

=

,且∠BAC∈[0,π],∴∠BAC=60°,故選C.4.(2018北京海淀二模,11)已知平面向量a,b的夾角為

,且滿足|a|=2,|b|=1,則a·b=

,|a+2b|=

.答案1;2

解析

a·b=|a||b|cos<a,b>=2×1×

=1,|a+2b|=

=

=

=2

.5.(2017北京海淀一模,12)若非零向量a,b滿足a·(a+b)=0,2|a|=|b|,則向量a,b的夾角為

.答案

解析設(shè)a與b的夾角為θ,因為a·(a+b)=0,所以a·a+a·b=0?|a|·|a|+|a|·|b|cosθ=0,又因為2|a|=|b|≠0,所以|a|·|a|+2|a|·|a|cosθ=0,即1+2cosθ=0,所以cosθ=-

,從而θ=

.1.(2018北京延慶一模,4)已知非零向量a,b,c,則“a·(b-c)=0”是“b=c”的

()A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件考點二數(shù)量積的綜合應(yīng)用答案

B若a·(b-c)=0,則b=c或a⊥(b-c),故充分性不成立.若b=c,則b-c=0,∴a·(b-c)=0,故必要性成立,故選B.2.(2018北京朝陽二模,5)如圖,角α,β均以O(shè)x為始邊,終邊與單位圓O分別交于點A,B,則

·

=

()

A.sin(α-β)

B.sin(α+β)C.cos(α-β)

D.cos(α+β)答案

C解法一:

·

=|

|·|

|cos<

,

>=1×1×cos(β-α)=cos(β-α)=cos(α-β).故選C.解法二:由三角函數(shù)的定義得A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),∴

·

=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β).3.(2018北京西城期末,6)設(shè)a,b是非零向量,且a,b不共線.則“|a|=|b|”是“|a+2b|=|2a+b|”的

()A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件答案

C由|a+2b|=|2a+b|,兩邊平方得,|a+2b|2=|2a+b|2,即|a|2+4a·b+4|b|2=4|a|2+4a·b+|b|2,所以3|a|2=3|b|2,即|a|=|b|,所以“|a|=|b|”是“|a+2b|=|2a+b|”的充分必要條件,故選C.4.(2017北京東城一模,5)已知向量a,b滿足2a+b=0,a·b=-2,則(3a+b)·(a-b)=

()A.1

B.3

C.4

D.5答案

B∵2a+b=0,∴a與b的夾角為π,且|b|=2|a|,又∵a·b=-2,∴|a|·|b|·cosπ=-2,∴|a|=1,|b|=2,故(3a+b)·(a-b)=3|a|2-2a·b-|b|2=3×1-2×(-2)-4=3.5.(2018北京通州期中,9)已知向量a=(

,1),b=(0,-1),c=(

,k),若a-2b與c垂直,則k=

.答案-1解析∵a=(

,1),b=(0,-1),∴a-2b=(

,3),又∵a-2b與c垂直,c=(

,k),∴(a-2b)·c=0,即

×

+3k=0,解得k=-1.6.(2018北京豐臺期末,9)已知單位向量a,b的夾角為120°,則(a+b)·a=

.答案

解析由題意得a·b=1×1·cos120°=-

,∴(a+b)·a=a2+a·b=1+

=

.7.(2018北京通州期中,13)在△ABC中,M是BC的中點,AM=3,點P在AM上,且滿足

=2

,則

·(

+

)的值為

.答案-4解析∵AM=3,點P在AM上,且滿足

=2

,∴|

|=2.∵M(jìn)是BC的中點,∴

+

=2

=

,∴

·(

+

)=

·

=-|

|2=-4.8.(2017北京朝陽二模,10)若向量a=(cosθ,sinθ),b=(1,-1),且a⊥b,則sin2θ的值是

.答案1解析由a⊥b得a·b=0,因為a=(cosθ,sinθ),b=(1,-1),所以a·b=cosθ-sinθ=0,所以(cosθ-sinθ)2=

cos2θ+sin2θ-2sinθcosθ=0,所以sin2θ=2sinθ·cosθ=sin2θ+cos2θ=1.B組

2016—2018年高考模擬·綜合題組(時間:25分鐘分值:45分)一、選擇題(每題5分,共20分)1.(2018北京東城期末,6)設(shè)a,b為非零向量,則“|a+b|=|a-b|”是“a·b=0”的

()A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件答案

C充分性:由|a+b|=|a-b|,兩邊平方得|a+b|2=|a-b|2,∴|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,化簡得a·b=0.必要性:由a·b=0,得2a·b=-2a·b,∴|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,即|a+b|2=|a-b|2,∴|a+b|=|a-b|.故選C.2.(2018北京通州期中,7)△ABC的外接圓的圓心為O,半徑為1,若

+

+

=0,且|

|=|

|,則

·

等于

()A.

B.

C.3

D.2

答案

C∵

+

+

=0,∴

=-

,故點O是BC的中點,則△ABC為直角三角形,又△ABC的外接圓半徑為1,|

|=|

|,所以BC=2,CA=

,∠BCA=30°,∴

·

=|

|·|

|cos30°=2×

×

=3.故選C.3.(2018北京海淀一模,8)已知點M在圓C1:(x-1)2+(y-1)2=1上,點N在圓C2:(x+1)2+(y+1)2=1上,則下

列說法錯誤的是

()A.

·

的取值范圍為[-3-2

,0]B.|

+

|的取值范圍為[0,2

]C.|

-

|的取值范圍為[2

-2,2

+2]D.若

=λ

,則實數(shù)λ的取值范圍為[-3-2

,-3+2

]答案

B解法一:如圖1,因為∠MON≥90°,所以

·

≤0,因為|OM|≤|OC1|+|C1M|=1+

,|ON|≤|OC2|+|C2N|=1+

,所以

·

=|OM|·|ON|·cos<

,

>≥-(

+1)2=-3-2

,注意到當(dāng)M(1,0),N(0,-1)時,

·

=0,當(dāng)M

,N

時,

·

=-(

+1)2=-3-2

.故選項A正確.

圖1如圖2,

+

=

+

+

+

=

+

,故|

+

|≤|

|+|

|=2,選項B錯誤.

圖2如圖3,

-

=

=

+

+

,|

-

|=|

|≤|

|+|

|+|

|=2+2

,|

-

|=|

|≥-|

|+|

|-|

|=-2+2

,當(dāng)M

,N

時,|

|=2+2

;當(dāng)M

,N

時,|

|=-2+2

.選項C正確.

圖3由題意λ<0,且|λ|=

,注意到|OM|,|ON|∈[

-1,

+1],故|λ|∈

,故λ∈[-3-2

,-3+2

],選項D正確.解法二:如圖,設(shè)M(1+cosα,1+sinα),N(-1+cosβ,-1+sinβ),<

,

>=θ,α,β∈[0,2π],θ∈

,則

·

=|OM|·|ON|·cos<

,

>=

·

·cosθ,當(dāng)α=

,β=

,θ=π時,

·

取最小值,為-3-2

,當(dāng)θ=

時,

·

取最大值,為0,選項A正確.

設(shè)M(1+cosα,1+sinα),N(-1+cosβ,-1+sinβ)(α,β∈[0,2π]),則

+

=(cosα+cosβ,sinα