2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽A卷試題(含答案)

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題(A卷)

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，滿分64分。

1?已知正實數(shù)a滿足(9a)%則loga(3a)的值為

2.若實數(shù)集合｛1,2,3.x)的最大元素與最小元素之差等于該集合的所有元素之和，則X的值為

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題（A卷）

一、（本題滿分40分）如圖，在銳角ZxABC中，M是BC邊的中點(diǎn)。點(diǎn)P在ZxABC內(nèi)，使得AP平分

NBAC直線MP與ZxABRAACP的外接圓分別相交于不同于點(diǎn)P的兩點(diǎn)D,E證明：若

DE=MP貝UBC=2BP

一、（本題滿分.分）設(shè)整數(shù)…,Mg，滿足1=a,W產(chǎn)…W.20/99記f=（a』a，…

+a20192）_（aia3+a2a4+a3a5+'"+a2017a2019）-

求f的最小值片?并確定使￡=。成立的數(shù)組佝,a2「??,a2019）的個數(shù)

三、（本題滿分50分）設(shè)m為整數(shù)，22.整數(shù)數(shù)列a”a2,…滿足：a],a2不全為零，且對任

意正整數(shù)n,均有an+2=an+1-man.

證明：若存在整效r,s（r>s22）使得a「=as，=a1，則r-s》.

四、（本題滿分50分）設(shè)V是空間中2019個點(diǎn)構(gòu)成的集合，其中任意四點(diǎn)不共面。某些點(diǎn)之間連有

線段，記E為這些線段構(gòu)成的集合。試求最小的正整數(shù)n,滿足條件：若E至少有n

個元素，則E一定含有908個二元子集，其中每個二元子集中的兩條線段有公共端點(diǎn)，且任

意兩個二元子集的交為空集

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試(A卷》

參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

1.評閱試雄時.請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn)?填空屋只設(shè)*分和0分兩檔，其他各般的評閩.請嚴(yán)格按照本

即分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次給分P不得堆加其他中間檔次.

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步?正H瓦在評卷時可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適

當(dāng)劃分檔次評分.解答題中第9小AU分為一個檔次■第KhH小題$分為一個檔次，不得增加其他

中間檔次.

一、填空題；本大題共8小2s每小題8分滿分64分.

I.己知正實數(shù)“滿足=則I0M3①的優(yōu)為?

W：lh條件BS59--.故5a=>fi)a?a=a”?所WlogJ3d)=-?

2.若實數(shù)集合}I.2J.A|的處大兀索勺用小元索Z密%于該集合的

所付元盤之和，則T的值為一?

解：1K%x>0.則凰大?凰小元衣Z羌不超過max{3/?而所有元董之和大：lnax{3,x].

不符合條件.故*V0■即N為最小元索.3-x=64-x.解

3.平而”J坐折系4；足唯位向氐向越滿足二;

=2?叫可/平皿對任童實血成立.則PI的取值范用足-

答案：|V5.2V5|.

M：不妨JQe=(U))-由Fae=2.耐設(shè)Cf=(2.$)?姻對任意實數(shù)f?仃

1+s:工5卜十%卜5^(24-x2.

這笞價T4+?<5|j|.解得口|e[u4]>即Je[U6].

于是Pl=V4+7e[J5.2金]?

4.R為橢I、的長軸頂點(diǎn)，F(xiàn),F為】5勺兩個焦點(diǎn).「I=4.|.4「|=2+J3,P為

1?上■點(diǎn)?滿處IPE|?|M|=2?則△/":/的曲枳為.

答案，I.

解：不妨設(shè)平面I?詢坐標(biāo)系中「的標(biāo)準(zhǔn)方程為4看;I(A>A>0).

(TA*

根據(jù)條件ft|2fl=|.IA|=i4.a±Jaz—2%|JA|=2+>A.TTIS|A=2.ft=I,

H.|f/|=2Va--A?=2j3.

由橢陰定義知IM|十IMI=加=4?結(jié)仟|P￡|?\PF\"幺寸

|?￡f十IPFI.=(|/，f|+|PF0,-2|ff|?|PT|=12=|".

所以ZxEPF為||?1.進(jìn)而E『=I/"I-IPA-|=I.

5.的.2.3」“』)中碗機(jī)雇出一個數(shù)S崔-L-2-3????.70中勃機(jī)選出一

個豺?Uh”心；整除的概率為?

**?IOOe

M：數(shù)組(“"JHilO,=I00忡醇悅帑的選法?

考慮真中便生+/>%3廉除的迭法數(shù)N.

若“帔3憤除則b也被3整除?此時“上各有"3種選法?這祥的(Gb)tT護(hù)=9組.若口

平被3

酉霞除K-|J三I(mEld3).從iAjft三Km(XI3).此時aU7選法./>有4種選法?這樣

(Kj(tf,A)"7x4=28fa.

37

因此*=9+28==37.F是所求概率為二.

100

6.對任盤閉(XfliH?fl]M,/〈示函數(shù)」.=Mir在/上的Q大(t1若IE數(shù)a滿

足A/=2A/?則“W，fft為—.

IU()1IIfj0I

VJkt或Fjr?

612

M：假如OVd?W專?則曲11:效圜數(shù)圖像性質(zhì)得OVMIM=SinmSMxa|?與條件不符.

因此《>y,此時MMd二|,故Mb.紐二!,F是存在菲負(fù)烙數(shù)R?使幺寸

2An-r-s<a<2(/<2AAVQ-n?①

66

且①中兩處”Ww至少有一處取到零號.

”*二0時?得“二_LT或加工匕注-經(jīng)檢臉-=^n.-n均滿足條件-

Ja

66612

-iU>1時.flIT-2A-7F-t-><2|2jt7r+"r|?故不存在:莆足①的

綜上."的值為_L?；蜇皫?

612

7.如圖.正方體ABC-EFCH一個截而紓過頂點(diǎn)AC及投EF

D9

上一點(diǎn)K.0IE方體分成體枳比為3:1的兩都分，則黑的值

為'

Ar

答第，3.

月皎記料為蔽面所6：Tm.延一不交?「點(diǎn)尸?則P

在a上?故直線CPa與他BMF的交練設(shè)CP與甩?交于點(diǎn)J割四邊形AKLC為裁面?

因平而.4眈平ITTT而K".HA'g|Xa點(diǎn)尸."ABC-KI-L7"

0.不舫設(shè)正方體梭長為I?則正方體休枳為I?轆合條件“ABC-KFLtfJ休積y=>

4

幺少一烷二金令唱二盒曦到Ps

分別足棱鉗「一呼iC/棱推P-KFL的高?『址

—二二Aff

3力'+3A+I

f+3島I卜

化簡得3/,=I?故A=ip?從而"「=%=7=43.

V3A?PKh

R將6個救2.0J9,20,19按任磁次序排成行■拼成個8位效睛位不為0人則產(chǎn)生的不同的8位數(shù)

的個數(shù)為?

答案：498.

解：將2,0L9.20,19%i.fG(4〈為。的捋列的全體記為兒

%>liM=5x5-=6C0〈這里及以下.M表示有限集X0%元索個數(shù)〉?

V2的肓一項是0.HJ的后一項建9的排列的全體記為5：A中2的后一頊?zhǔn)??但I(xiàn)的后

一項不是9的It列的全體記為r：A中|的后一項是9?但2的后一項不是0的排列的全體記為D

Veto|P|=4?.|(3|4-(c|=5!.|A|+|D|=4X4!>3TTIB|=24,|C|=96(|D|

=72?

由P中排列產(chǎn)生的每個8{%BI,恰對應(yīng)〃中的2x2=4個禪列(這樣的排列中.20可與

T0?互換.！9可,J.L9H互換)?類似地.由「或D中推列產(chǎn)生的每個8位數(shù)?恰對應(yīng)

,(7或。中的2個排列?國此滿足條件的&位數(shù)的個數(shù)為

Ij(5UcUD)4-I

l%Si：-

/乎口用=AM)-I8-J8-36=M8

二解簽船本大33共3小標(biāo)滿務(wù)S6分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或漏

算步驟.

9-CJ*0M分16分)W處中.BC7a,CA^b.AIi'c若乃是Q與G的等比中

項-HSirT%sin(B-八),-JSmCw中項.求CCfiB的fit

解：因/>是0?的等比中頊.故存在彳>0,滿足

2sinA=Sin(li—J)-f-SinC=Sin(J?—4)|+sin(。/A)=

2$inBCoSA.

結(jié)合JIL余弦定理?衍

LCOSA

bSinS77Vc

UI“'+C2—tt*=laC

將①代入并化前?可％1/+=2\即74-<+>?所以

12分

VY-—1—

2V122

......................................................................16分

1?.<*??分2()分)在T而坐標(biāo)系中，惻兌與地物紅「」?一&恰仃一個公共點(diǎn).

且圓JI與二軸相切于「的軌點(diǎn)F.求圓。的半徑.

鵬易知「的^點(diǎn)F豹坐標(biāo)為(1?0)?設(shè)Bld的半徑為r(r>0)-由對稱性?不

妨徙d任M軸上方與X軸梆切FF.故G的方程為

U-1)2+(y-r)1—r.

=F代入①并化縱+/-2=r0,皿然y>0,故

a

............5分

根器條件.心)恰有一個正數(shù)解該Nfi對應(yīng)。與「的唯一公共點(diǎn).

考慮M三%八人>。)的鍛小值?

32丫

IIiT均位不*rAKIIc+4=y'+g+才十'J」*(寸

?從而

/GO>",i6

5

當(dāng)HK當(dāng)rz=J?即V三半時?/(y)IUj*州小值字.

15刀

由②有解iIfiflr>±/i.義倒6nr->字.閔八口副P連績變化.U.V-”半，

及VT十X時/(y)血可任盤大-故②在0.江卜￡十寸上均有解.與解的

''唯一性矛腑.

綜上.儀心二乎滿足條件(此時H'0W八-上、

羋?公央點(diǎn)).

............20分

U.(本用楠分20分)彌-個足數(shù)效列匚；為“仃趣的”」：IZhl.n對任慝正肇

I

故刃?均有4；：?|+2匚二訕+二：=6求用大的軋數(shù)(、?使得時一切仃理的故列

匕」及任總正整數(shù)"八ZMfk+「.+??Tr,|>C.

K：嘉世仃趣的!Z數(shù)數(shù)列二|?力納地u「%!Ir")(/reN).由余件為

4Ii±l+2N+1N0XN-)■

5

御寺字二八返1（如,）.因此曾釗FLL\f,故k.I=l-|I%三金,<Z,

進(jìn)而有

"<ev).

2-1

記TMI*4q+?-?4-rI(WJGN*)?%=2$($eN［時.種H②可御

ww

?L十彳|-￡I二"一才如Fl=

十二"IA羋-亡.............io分

當(dāng)加=2$+1($€、°)時.由①、②町知

ISIi=s右VJ\S=IEr-1+?

_Ln■A?s-fI-A??>

-UII-I-Z|+1|4—24|=

7-2I-

I+?:當(dāng)"1=1時?片=k|=iA半?

以上發(fā)勒匚=￡滿足婆求.....................15分

另?方而?當(dāng)r=I-Z1r=%%IkGN*)時.拐驗證

24

知

輒」為何趣的數(shù)劉.此IM

m-I-+72(-iA+

20分

3,JJi—3-ri4JJ

-IInII+2L—=*-J----------------H=—.

這表明I、不能大F.

綜上，所求的C為羋.

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試（A卷）

參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

說明，

1.評閱試堆時，請產(chǎn)格按照本押分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次給分.

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只曼JS路合理、步：》正確?在評卷時可

參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分川分為一個檔次■不得增加其他中何檔次?

—<（本M分40分）如18中-M堆"「邊的中乩點(diǎn)尸任

內(nèi)?使得AP"JJiAC.|T%A/P與P、、（T的外按同分別郴交j

不問「.點(diǎn)/的兩點(diǎn)O.E.證明；則仞、=2M.

證明，廷長PM到點(diǎn)F?使刃陽F=ME?謹(jǐn)接BF.lilxCr.

H\(vn「XIIzHDk=LiiAP=z<AV-ACEP=Z(EI/?........IO分

國為HM^CMILEA/=EV?所以RF=CEaBFHCE?

「%LF=ZCEWMBDP.進(jìn)|”JIiJ)=BF?...................20分

7.DE'SIP.SPHEM=FM-

「?堆征等腰ABDF中?由對稱性徹AP=BM?從而Be=2sM=2BP?

.....................40分

(本Je5黃分40分〉i%整％6inV??CJMi.%足I=a|W幻

W…5訕嚇=購?記/=@；+"；i?+%)-(aa十flo4-u/i

+-+Gx_j).求/的垠小血人.并確定伙r=人成立的質(zhì)組％」篇個數(shù)

解：由條件知

2(A1

2/=Qf4-+<VaM+Van-4工阿=-?)：?①

P>l

illrtf,u及％-(JG=1,2,??\2016)均為菲負(fù)整數(shù)?故有

12J

<>a.at>a?2~?t/N%片2

12：01*

~aAi=hA—,201?.于昱2U.2-fl.)=+SHK'②

oi++52g-,-??2o|十創(chuàng)十

*!!

10分

ih0>②得

2/,A+ff>II+(亦-%|f)?+,、3H+%o*

26P

結(jié)合”則=99及a>?2>0,町加

20niOn

/》T(2a>H+(99-a)5+aM+W

a2017

=(a-49)2+7400>7400?③

2017

....................20分

另一方而.令

A=a=T...=a-I.Jzt■<v=Mk==1.2,—,49),%=99.此時驗

I2?aIOHJ"

證知上述所們邯式切U到笛U-從南/的爪小他人=7400.

....................30分

以下孑遲③的取尊條件?此HI：=a:49.且②中的不警式均

IITTf/="=|.A7,€：OJI(I=L2.???■2016)?

?IK

因Jlkl=G??Wfl|=49,IJ_對每個&(1W*W49)t

I2tI

fl.?a.???.ffI戛少仃兩項籌于*?這也是③IR零的充分*什?

1jxn

M每個A(1WAW49).%。中等Titt瑣數(shù)為I十叫.則叫為止於

數(shù)0IL(1+w)-?(1%/r)+?■■+(I+TT")=2018-RP

I24

+肪：4?…+/1.=1969?

該力租的/E整效解仙心)的紐數(shù)為也且每組解-x?i應(yīng)?個便④取零伯

數(shù)組(LS…山和」.故便/三；成工的數(shù)細(xì)(％();■“??%】宵旺個.

....................40分

=UC4：m分軸分)設(shè)刖為整數(shù)?M|22-數(shù)數(shù)列d4?…滿居a.u不全痛?鬢對

1I2

任《>均Igm

證明：若存化整ftr%i(r>.v>2)便得鴛=a,SB叫.叫7,|m|.

證明：不豺設(shè)如隨互JiU否虬若yjm=M>l?'則牛與?；ヰ⑶矣胐(J

字學(xué)■*■…代條件句結(jié)論均不改變).

daa

lh?&列迷推關(guān)系知

o,=a|=o,=...(mod|m|).①

以下證明:對任疲耋敷人>3.有

0=a-(a|+(n-3>a)m(mod/Tr)?②

<13j

......................................................................................................................................10分

前實上?當(dāng)JI?3時②顯優(yōu)成立.-mn心k時②成立C其中A為來個XT2的張

故)?注恿到CD.fi=,,==jniOdJ).結(jié)合歸納載設(shè)知

a|=QA-ma*、=a—阿+(Vs-3>a)m-m<>

=A

2-(,+<A-2)U2)(n*>jMj),

I!|i/J=*+l時②也成遼?阿此②對任意整SQ3均成立?........20分

注阪%a三a時?②對n=2也成立?

I2

設(shè)fH%r-(r，jp>2)?滿%a=a=a,

-a=a1由②對"22的戒立.司知‘

U：_(口)+(r—3)勺)勸三a=4三a(q-?(.v-;)以加(modm2).

fIt2-

叩U+(/?—3)a=a+(J—3)a,(n%>d|/H|).wi

(FT)a,=0(n)6dIVnI)?@

-a手a-%］o==p=(3I*a?故r>s>3-業(yè)時山F②對n>3八｝

I2rst

成立.故類似可知③仍成立..........30分

找們證明"”用！￡累?

事實卜?-K%x>A存在一個公共索因fP.則由①衙P為吆0.5…的公I(xiàn)M

m3

J.而礙心互素?故P'a.這?Ja二Syf

2r9

閔此?由③"r-S=0(n*KI|w|).Xr>s.所Wr-S>|/w|.

....................50分

四、CWM分利分)設(shè)fl堆空間中2019個點(diǎn)構(gòu)成的集合?其中任童四點(diǎn)不共小菜

叫點(diǎn)2何連有線段，記E為這歧線段構(gòu)成的集合?試求垠小的止整數(shù)M.滿足條

件，/;￡至少右〃個元素,WJA一定您16T908個二元「集.JE中抵個：元子集中

的兩條線段右公共菇點(diǎn).Fi任意兩個二元子集的交為空集.

解：為了^述力便?稱-個田中的苗條相鄰的邊構(gòu)成?個“加”.

先證MJr個引理:設(shè)0=(F上)是一個簡單用?且0是逢遹的.的G含仃個兩

購無公辰邊的如(這UIS］農(nóng)示實數(shù)C的整數(shù)潮分，.

別理的證明T對￡的元耒個數(shù)忙陽納證明?'”=0.1.2.3時.結(jié)論M-然咸

I.FiftIKttIZ|e4.片且貂論任|￡|較小時均成立.只需證陰.在G中可Uii取

衲條邊a.b=S.一個角.任G中耐去“4這兩條邊民剩F的怕含有一個連通分丈

包含|￡|-2條邊.對這個逢通分支應(yīng)用啊納假設(shè)即為結(jié)論成立.

考的中的敞長胳F;vp.??v,其中v.v.........r'A互不相同的廉點(diǎn).因為G連

JIIt1

訥?故23.

怖形h<lcg(r|)22?由于P顯最長路?”的鄰點(diǎn)均在v；-

癡①.itnvB"

灰中3幻"?Wh%nVJ%?個你oeIM去這斡條邊,若片處還有St三條

邊?則輛卜的罔足連迥的I若u處僅行被刑尖的兩條邊?劃片成為血立點(diǎn)?心

連IfIL總Z茫剁下的圖中仃一個連通分支含什A卜2,￡邊?

悄形2：<|cg(v,)三］.deXI\>"2.IMIV,v“vp>l&'個加I.花<7中IH

公這兩條邊后?V”、都成為孤*點(diǎn)，從余的點(diǎn)互和連通?國此何一個連通分支含

右IE卜2條邊.

怖形3：(leg(V)=l.dcg(vj>3.HJJ幾」?----T氟則：H小;

趣一個你任G中ft兩區(qū)甘兒成為抵…￡相理如因此有一個逢通分支含[￡卜2

條邊.

IW形4：dcg(v,)=1?dcg(v?，3Tib?jVJ個Mnbb?,,?和相-0?

lhL理最長路./If的鄰點(diǎn)均征怡…電之中.WIvVJJ7j%?個你征G中

8?去這兩條邊.別片戛孤土點(diǎn).若“處儀位邊叫，則向公所述邊信"也足滋立點(diǎn),

而Jg條點(diǎn)互相連通.若”處還有兀他邊"，?3WfWA.所述邊后.除幾外K余

點(diǎn)%I|iiS%i-總之?斜F的圖中有一個連迪分支含<|￡|-2條邊.

引理獲證..........20

問到原勢II中的F和E可石作一個l%G=<「)

t

杵先述明入土279s.

設(shè)*『IVPV,rv%?任V,1^1嚴(yán)^沖?市先的曲連邊?IMM去其中15條HI

<fw]%Ivvrv'-'?,rr).扶連/Cl-15=!815%JiA<)1個點(diǎn)

125jjl116

\ljCfrtra兄連通圖.再4%嶄余,2019-61=1958個點(diǎn)配破979對?何對兩點(diǎn)之

何連一條

邊?則圉G中一共連了18154979=2794條線段.由上述構(gòu)迫町見.G中的任何

-個角必須便用片’?…■小相連的邊，因此至筆Ii=907個兩兩無公如邊

:。?^^足嬰求的I、小F2795?...........W

另一方而*若I叩279S-可任創(chuàng)別去若干條邊?只考1E=2795的倩形?

設(shè)G有上個連通分丈?分謝有??，m,個點(diǎn).及環(huán)….白條邊.卜Iki證

明％???.0j"至多TT979個奇數(shù)?

反證法r假設(shè)環(huán)勺中有至少980個奇數(shù)?由于中…g=2795是奇數(shù)?故

環(huán)…心中至少仃981個奇數(shù)故A》98U不妨迎％%都址奇It顯然%

????M

叫...."‘N2.

n

令W三ui+???T/M22.貝I]ffc"》(IWiW980).+-+

,,911I