高考數(shù)學復習 第十一講 立體幾何之空間距離及歷年高考數(shù)學易錯點匯總

第十一講立體幾何之空間距離一、空間距離包括：點與點、點與線、點與面、線與線（異面直線）、線與面（線面平行）、面與面（面面平行）的距離。要理解各個距離的概念。二、空間距離的求法重點掌握：線線距離、點面距離、尤其點面距離線線距離：找公垂線段點面距離=1\*GB3①直接法（過點向面作作垂線段，即求公垂線段長度）=2\*GB3②等體積法（三棱錐）=3\*GB3③向量法：設平面的法向量為，P為平面外一點，Q是平面內(nèi)任一點，則點P到平面的距離為d等于在法向量上的投影絕對值。三、例題講解1、下列命題中：=1\*GB3①所在的平面，則P、B間的距離等于P到BC的距離；=2\*GB3②若則a與b的距離等于a與的距離；=3\*GB3③直線a、b是異面直線，則a、b之間的距離等于b與的距離=4\*GB3④直線a、b是異面直線，則a、b之間的距離等于間的距離其中正確的命題個數(shù)有（C）A.1個B.2個C.3個D.4個2、如圖所示，正方形的棱長為1，C、D為兩條棱的中點，A、B、M是頂點，那么點M到截面ABCD的距離是____________。解析：取AB、CD中點P、Q，易證中，PQ邊長的高MH為所求，3、在底面是正方形的四棱錐A-BCDE中，且AE=CD=a,G、H是BE、ED的中點，則GH到面ABD的距離是____________。解析：連結(jié)EC，交BD于O，且交GH于，則有平面。過E作于K，則所求距離等于4、如圖，在棱長為a的正方體中，E、F分別為棱AB和BC的中點，G為上底面的中心，則點D到平面的距離___________。解：方法1：建立如圖直角坐標系，則設平面的法向量為取,則可取又到平面的距離方法2：等體積法設D到平面的距離為h是等腰三角形，取EF中點H，連結(jié)可得即D到平面的距離為。5、如圖所示，將等腰直角三角形ABC沿斜邊AB上的高CD為棱折成一個的二面角，使B到的位置，已知AB=2，求（1）頂點C到平面的距離（2）頂點A到平面的距離（3）CD和的之間的距離分析：有關(guān)立體幾何中的翻折問題，主要判斷翻折前后各種量的變化與否。解析：（1）由已知得,即在翻折前后它們的位置關(guān)系不變，，則C點到平面的距離就是CD的長，為等腰三角形，AB=2,（2）如圖所示，過A作于E，連結(jié)CE故AE的長為A點到平面的距離為平面ACD與平面所成二面角的平面角即（3）如圖二，平面中，過D作，交AB于F點為異面直線CD和的距離由得6、（06海淀模擬）如圖所示，在直三棱柱中D、E分別為棱中點求點B到平面的距離求二面角的大小在線段AC上是否存在一點F，使？若存在，確定其位置并證明結(jié)論，若不存在，說明理由。解析：（1）為直三棱柱長度即為B點到平面的距離點B到平面的距離為2。（2）是直三棱柱D、E分別為棱中點建立如圖直角坐標系設平面的法向量為平面的法向量為即二面角的大小為。（3）在線段AC上存在一點F，設使得欲使由（2）知當且僅當存在唯一一點滿足條件即點F為AC的中點7、（06年福建）如圖所示，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=。求證：求異面直線AB與CD所成角的大小求點E到平面ACD的距離解析：方法1（1）連結(jié)OC在中，由已知可得而AC=2（2）取AC中點M，連結(jié)OM，ME，OE，由于E為BC的中點知ME//AB，OE//DC直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角在中，是直角三角形AOC斜邊AC上的中線異面直線AB與CD所成角的大小為。（3）設點E到平面ACD的距離為h在中，而點E到平面ACD的距離為。方法2：（1）同方法1（2）以O為原點，如圖四所示建立空間直角坐標系，則異面直線AB與CD所成角的大小為。（3）設平面ACD的法向量則令得是平面ACD是一個法向量又點E到平面ACD的距離為。高考數(shù)學復習方法：歷年高考數(shù)學易錯點匯總數(shù)學是一座高山，哪怕是高考數(shù)學這樣的小山丘，也讓無數(shù)學子望其背而心戚戚，更有人混淆知識點，在里面兜兜轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)浪費了精力和時間，滿紙推算卻只能掙得卷面分，看得自己也是好一陣心疼啊，搬出高考數(shù)學易錯知識點總結(jié)，希望能讓大家少走一點彎路。

集合與簡單邏輯

1易錯點：遺忘空集致誤

錯因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，對于集合B，就有B=A，φ≠B，B≠φ，三種情況，在解題中如果思維不夠縝密就有可能忽視了B≠φ這種情況，導致解題結(jié)果錯誤。尤其是在解含有參數(shù)的集合問題時，更要充分注意當參數(shù)在某個范圍內(nèi)取值時所給的集合可能是空集這種情況?？占且粋€特殊的集合，由于思維定式的原因，考生往往會在解題中遺忘了這個集合，導致解題錯誤或是解題不全面。

2易錯點：忽視集合元素的三性致誤

錯因分析：集合中的元素具有確定性、無序性、互異性，集合元素的三性中互異性對解題的影響最大，特別是帶有字母參數(shù)的集合，實際上就隱含著對字母參數(shù)的一些要求。在解題時也可以先確定字母參數(shù)的范圍后，再具體解決問題。

3易錯點：四種命題的結(jié)構(gòu)不明致誤

錯因分析：如果原命題是“若A則B”，則這個命題的逆命題是“若B則A”，否命題是“若┐A則┐B”，逆否命題是“若┐B則┐A”。

這里面有兩組等價的命題，即“原命題和它的逆否命題等價，否命題與逆命題等價”。在解答由一個命題寫出該命題的其他形式的命題時，一定要明確四種命題的結(jié)構(gòu)以及它們之間的等價關(guān)系。

另外，在否定一個命題時，要注意全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題。如對“a，b都是偶數(shù)”的否定應該是“a，b不都是偶數(shù)”，而不應該是“a，b都是奇數(shù)”。

4易錯點：充分必要條件顛倒致誤

錯因分析：對于兩個條件A，B，如果A=>B成立，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；如果B=>A成立，則A是B的必要條件，B是A的充分條件；如果A<=>B，則A，B互為充分必要條件。解題時最容易出錯的就是顛倒了充分性與必要性，所以在解決這類問題時一定要根據(jù)充要條件的概念作出準確的判斷。

5易錯點：邏輯聯(lián)結(jié)詞理解不準致誤

錯因分析：在判斷含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題時很容易因為理解不準確而出現(xiàn)錯誤，在這里我們給出一些常用的判斷方法，希望對大家有所幫助：

p∨q真<=>p真或q真，

p∨q假<=>p假且q假（概括為一真即真）；

p∧q真<=>p真且q真，

p∧q假<=>p假或q假（概括為一假即假）；

┐p真<=>p假，┐p假<=>p真（概括為一真一假）。

函數(shù)與導數(shù)

6易錯點：求函數(shù)定義域忽視細節(jié)致誤

錯因分析：函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，因此要求定義域就要根據(jù)函數(shù)解析式把各種情況下的自變量的限制條件找出來，列成不等式組，不等式組的解集就是該函數(shù)的定義域。

在求一般函數(shù)定義域時要注意下面幾點：

（1）分母不為0；

（2）偶次被開放式非負；

（3）真數(shù)大于0；

（4）0的0次冪沒有意義。

函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集，在解決函數(shù)定義域時不要忘記了這點。對于復合函數(shù)，要注意外層函數(shù)的定義域是由內(nèi)層函數(shù)的值域決定的。

7易錯點：帶有絕對值的函數(shù)單調(diào)性判斷錯誤

錯因分析：帶有絕對值的函數(shù)實質(zhì)上就是分段函數(shù)，對于分段函數(shù)的單調(diào)性，有兩種基本的判斷方法：

一是在各個段上根據(jù)函數(shù)的解析式所表示的函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間，最后對各個段上的單調(diào)區(qū)間進行整合；

二是畫出這個分段函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象、性質(zhì)進行直觀的判斷。研究函數(shù)問題離不開函數(shù)圖象，函數(shù)圖象反應了函數(shù)的所有性質(zhì)，在研究函數(shù)問題時要時時刻刻想到函數(shù)的圖象，學會從函數(shù)圖象上去分析問題，尋找解決問題的方案。

對于函數(shù)的幾個不同的單調(diào)遞增（減）區(qū)間，千萬記住不要使用并集，只要指明這幾個區(qū)間是該函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間即可。

8易錯點：求函數(shù)奇偶性的常見錯誤

錯因分析：求函數(shù)奇偶性的常見錯誤有求錯函數(shù)定義域或是忽視函數(shù)定義域，對函數(shù)具有奇偶性的前提條件不清，對分段函數(shù)奇偶性判斷方法不當?shù)取?/p>

判斷函數(shù)的奇偶性，首先要考慮函數(shù)的定義域，一個函數(shù)具備奇偶性的必要條件是這個函數(shù)的定義域區(qū)間關(guān)于原點對稱，如果不具備這個條件，函數(shù)一定是非奇非偶的函數(shù)。

在定義域區(qū)間關(guān)于原點對稱的前提下，再根據(jù)奇偶函數(shù)的定義進行判斷，在用定義進行判斷時要注意自變量在定義域區(qū)間內(nèi)的任意性。

9易錯點：抽象函數(shù)中推理不嚴密致誤

錯因分析：很多抽象函數(shù)問題都是以抽象出某一類函數(shù)的共同“特征”而設計出來的，在解決問題時，可以通過類比這類函數(shù)中一些具體函數(shù)的性質(zhì)去解決抽象函數(shù)的性質(zhì)。

解答抽象函數(shù)問題要注意特殊賦值法的應用，通過特殊賦值可以找到函數(shù)的不變性質(zhì)，這個不變性質(zhì)往往是進一步解決問題的突破口。

抽象函數(shù)性質(zhì)的證明是一種代數(shù)推理，和幾何推理證明一樣，要注意推理的嚴謹性，每一步推理都要有充分的條件，不可漏掉一些條件，更不要臆造條件，推理過程要層次分明，書寫規(guī)范。

10易錯點：函數(shù)零點定理使用不當致誤

錯因分析：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）f（b）<0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也是方程f（c）=0的根，這個結(jié)論我們一般稱之為函數(shù)的零點定理。

函數(shù)的零點有“變號零點”和“不變號零點”，對于“不變號零點”，函數(shù)的零點定理是“無能為力”的，在解決函數(shù)的零點時要注意這個問題。

11易錯點：混淆兩類切線致誤

錯因分析：曲線上一點處的切線是指以該點為切點的曲線的切線，這樣的切線只有一條；曲線的過一個點的切線是指過這個點的曲線的所有切線，這個點如果在曲線上當然包括曲線在該點處的切線，曲線的過一個點的切線可能不止一條。因此求解曲線的切線問題時，首先要區(qū)分是什么類型的切線。

12易錯點：混淆導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系致誤

錯因分析：對于一個函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)，如果認為函數(shù)的導函數(shù)在此區(qū)間上恒大于0，就會出錯。

研究函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的關(guān)系時一定要注意：一個函數(shù)的導函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增（減）的充要條件是這個函數(shù)的導函數(shù)在此區(qū)間上恒大（?。┯诘扔?，且導函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上都不恒為零。

13易錯點：導數(shù)與極值關(guān)系不清致誤

錯因分析：在使用導數(shù)求函數(shù)極值時，很容易出現(xiàn)的錯誤就是求出使導函數(shù)等于0的點，而沒有對這些點左右兩側(cè)導函數(shù)的符號進行判斷，誤以為使導函數(shù)等于0的點就是函數(shù)的極值點。

出現(xiàn)這些錯誤的原因是對導數(shù)與極值關(guān)系不清?？蓪Ш瘮?shù)在一個點處的導函數(shù)值為零只是這個函數(shù)在此點處取到極值的必要條件，在此提醒廣大考生在使用導數(shù)求函數(shù)極值時一定要注意對極值點進行檢驗。

數(shù)列

14易錯點：用錯基本公式致誤

錯因分析：等差數(shù)列的首項為a1、公差為d，則其通項公式an=a1+（n-1）d，前n項和公式Sn=na1+n（n-1）d/2=（a1+an）d/2；等比數(shù)列的首項為a1、公比為q，則其通項公式an=a1pn-1，當公比q≠1時，前n項和公式Sn=a1（1-pn）/（1-q）=（a1-anq）/（1-q），當公比q=1時，前n項和公式Sn=na1。在數(shù)列的基礎(chǔ)性試題中，等差數(shù)列、等比數(shù)列的這幾個公式是解題的根本，用錯了公式，解題就失去了方向。

15易錯點：an，Sn關(guān)系不清致誤

錯因分析：在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項an與其前n項和Sn之間存在關(guān)系：∵Sn=a1+a2+???+an-1+an，①

∴當n=1時，a1=S1．

當n≥2時，Sn-1=+a2+???+an-1，②

∴①-②得Sn?Sn?1＝a

n，

即an=Sn-Sn-1，n≥2．

故數(shù)列{an}的通項an與前n項和Sn之間的關(guān)系為an＝S1，n＝1Sn?Sn?1，n≥2

這個關(guān)系是對任意數(shù)列都成立的，但要注意的是這個關(guān)系式是分段的，在n=1和n≥2時這個關(guān)系式具有完全不同的表現(xiàn)形式，這也是解題中經(jīng)常出錯的一個地方，在使用這個關(guān)系式時要牢牢記住其“分段”的特點。

當題目中給出了數(shù)列{an}的an與Sn之間的關(guān)系時，這兩者之間可以進行相互轉(zhuǎn)換，知道了an的具體表達式可以通過數(shù)列求和的方法求出Sn，知道了Sn可以求出an，解題時要注意體會這種轉(zhuǎn)換的相互性。

16易錯點：對等差、等比數(shù)列的性質(zhì)理解錯誤

錯因分析：等差數(shù)列的前n項和在公差不為0時是關(guān)于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù)。

一般地，有結(jié)論“若數(shù)列{an}的前N項和Sn=an2+bn+c（a，b，c∈R），則數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是c=0”；在等差數(shù)列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m（m∈N*）是等差數(shù)列。

解決這類題目的一個基本出發(fā)點就是考慮問題要全面，把各種可能性都考慮進去，認為正確的命題給以證明，認為不正確的命題舉出反例予以駁斥。在等比數(shù)列中公比等于-1時是一個很特殊的情況，在解決有關(guān)問題時要注意這個特殊情況。

17易錯點：數(shù)列中的最值錯誤

錯因分析：數(shù)列的通項公式、前n項和公式都是關(guān)于正整數(shù)的函數(shù)，要善于從函數(shù)的觀點認識和理解數(shù)列問題。

但是考生很容易忽視n為正整數(shù)的特點，或即使考慮了n為正整