第三章-3.5-第2課時

2023/12/27第三章3.5第2課時學習目標1.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.2.理解并掌握絕對值不等式的幾種解法，并能根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征選擇適當方法求解.問題導學達標檢測題型探究內(nèi)容索引問題導學知識點一|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c型不等式的解法思考1

|x|≥2說明實數(shù)x有什么特征？答案x在數(shù)軸上對應(yīng)的點x到原點的距離大于等于2.∴x≥2或x≤－2.思考2若|2x－3|≤5，求x的取值范圍.答案{x|－1≤x≤4}.梳理(1)含絕對值不等式|x|＜a與|x|＞a的解法?Rx∈R且x≠0x＞a或x＜－a(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法①|(zhì)ax＋b|≤c?

，②|ax＋b|≥c?

.－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c知識點二|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法思考如何去掉|x－a|＋|x－b|的絕對值符號？答案采用零點分段法.即令|x－a|＋|x－b|＝0，得x1＝a，x2＝b，(不妨設(shè)a＜b)梳理|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法(1)利用絕對值不等式的

求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，理解絕對值的幾何意義，給絕對值不等式以準確的幾何解釋是解題關(guān)鍵.(2)以絕對值的“

”為分界點，將數(shù)軸分為幾個區(qū)間，利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)分類討論的思想.確定各個絕對值符號內(nèi)多項式的正、負性，進而去掉絕對值符號是解題關(guān)鍵.(3)通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想，正確求出函數(shù)的零點并畫出函數(shù)圖象(有時需要考查函數(shù)的增減性)是解題關(guān)鍵.特別提醒：解含絕對值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對值符號，去絕對值符號的關(guān)鍵是“零點分段”法.幾何意義零點[思考辨析判斷正誤]1.|x＋2|的幾何意義是數(shù)軸上坐標為x的點到點2的距離.(

)2.|x|>a的解集是{x|x>a或x<－a}.(

)3.若ab<0，則|a＋b|<|a－b|.(

)××√題型探究例1解下列不等式：(1)|5x－2|≥8；類型一|ax＋b|≤c與|ax＋b|≥c(c＞0)型的不等式的解法解答(2)2≤|x－2|≤4.解答由①得x－2≤－2或x－2≥2，∴x≤0或x≥4，由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6.∴原不等式的解集為{x|－2≤x≤0或4≤x≤6}.反思與感悟|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法(1)當c＞0時，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c.(2)當c＝0時，|ax＋b|≥c的解集為R，|ax＋b|＜c的解集為?.(3)當c＜0時，|ax＋b|≥c的解集為R，|ax＋b|≤c的解集為?.解答跟蹤訓練1解下列不等式：(1)3≤|x－2|＜4；由①，得x－2≤－3或x－2≥3，∴x≤－1或x≥5，由②，得－4＜x－2＜4，∴－2＜x＜6.∴原不等式的解集為{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}.方法二

3≤|x－2|＜4?3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3?5≤x＜6或－2＜x≤－1.∴原不等式的解集為{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}.解答(2)||x－1|－4|＜2.解||x－1|－4|＜2?－2＜|x－1|－4＜2?2＜|x－1|＜6∴不等式||x－1|－4|＜2的解集為{x|－5＜x＜－1或3＜x＜7}.類型二|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法解答例2解關(guān)于x的不等式：|3x－2|＋|x－1|＞3.解方法一分類(零點分段)討論法代數(shù)式|3x－2|＋|x－1|有不同的解析表達式，因而原不等式的解集為以下三個不等式組解集的并集.③因為當x≥1時，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋x－1＝4x－3，于是原不等式的解集為以上三個不等式組解集的并集，方法二構(gòu)造函數(shù)f(x)＝|3x－2|＋|x－1|－3，則原不等式的解集為{x|f(x)＞0}.作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖.反思與感悟|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三種解法：分區(qū)間(零點分段)討論法、圖象法和幾何法.分區(qū)間討論的方法具有普遍性，但較麻煩；幾何法和圖象法直觀，但只適用于數(shù)據(jù)較簡單的情況.跟蹤訓練2解不等式|x＋7|－|x－2|≤3.解答解方法一

|x＋7|－|x－2|可以看成數(shù)軸上的動點(坐標為x)到對應(yīng)點－7的距離與到對應(yīng)點2的距離的差，先找到這個差等于3的點，即x＝－1.由圖易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解為x≤－1，即x∈(－∞，－1].方法二令x＋7＝0，x－2＝0，得x＝－7，x＝2.①當x＜－7時，不等式變?yōu)椋瓁－7＋x－2≤3，∴－9≤3成立，∴x＜－7.②當－7≤x≤2時，不等式變?yōu)閤＋7＋x－2≤3，即2x≤－2，∴x≤－1，∴－7≤x≤－1.③當x＞2時，不等式變?yōu)閤＋7－x＋2≤3不成立，即9≤3不成立，∴x∈?.∴原不等式的解集為(－∞，－1].方法三將原不等式轉(zhuǎn)化為|x＋7|－|x－2|－3≤0，構(gòu)造函數(shù)y＝|x＋7|－|x－2|－3，作出函數(shù)的圖象，由圖象可知，當x≤－1時，y≤0，即|x＋7|－|x－2|－3≤0，∴原不等式的解集為(－∞，－1].類型三含絕對值不等式的恒成立問題例3已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|2x＋a|.(1)當a＝－3時，求不等式f(x)≤6的解集；解答解∵當a＝－3時，f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|，∴f(x)≤6，等價于|2x＋1|＋|2x－3|－6≤0，令g(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|－6，作y＝g(x)的圖象，如圖，∴f(x)≤6的解集為[－1,2].(2)若關(guān)于x的不等式f(x)＞a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.解答解∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x＋a|≥|(2x＋1)－(2x＋a)|＝|a－1|，∴f(x)min＝|a－1|.要使f(x)＞a恒成立，只需|a－1|＞a成立即可.由|a－1|＞a，得a－1＞a或a－1＜－a，引申探究若f(x)＝|2x＋1|－|2x＋a|且f(x)＜a恒成立，求a的取值范圍.解答解∵f(x)＝|2x＋1|－|2x＋a|≤|(2x＋1)－(2x＋a)|＝|a－1|，∴f(x)max＝|a－1|.∵f(x)＜a恒成立，∴|a－1|＜a，∴－a＜a－1＜a，反思與感悟不等式解集為R或為空集時，都可以轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題.f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a，f(x)＞a恒成立?f(x)min＞a.跟蹤訓練3已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m.根據(jù)以下情形分別求出m的取值范圍.(1)若不等式有解；解答解方法一因|x＋2|－|x＋3|的幾何意義為數(shù)軸上任意一點P(x)與兩定點A(－2)，B(－3)距離的差，即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.則(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1，m的取值范圍為(－∞，1).方法二由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.若不等式有解，則m∈(－∞，1).(2)若不等式的解集為R；解答解方法一若不等式的解集為R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值還小，即m＜－1，m的取值范圍為(－∞，－1).方法二若不等式的解集為R，則m∈(－∞，－1).(3)若不等式的解集為?.解答解方法一若不等式的解集為?，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范圍為[1，＋∞).方法二若不等式的解集為?，則m∈[1，＋∞).達標檢測答案12345解析解析|x＋1|＞3，則x＋1＞3或x＋1＜－3，因此x＜－4或x＞2.1.不等式|x＋1|＞3的解集是A.{x|x＜－4或x＞2}B.{x|－4＜x＜2}C.{x|x＜－4或x≥2}D.{x|－4≤x＜2}√答案解析12345√123451234答案解析5√解析|x＋1|＋|x＋2|表示數(shù)軸上一點到－2，－1兩點的距離之和，根據(jù)－2，－1之間的距離為1，可得到－2，－1距離和為5的點是－4,1.因此