《流體力學(xué)》課后習(xí)題詳解（第三、四章）

第三章流體運(yùn)動學(xué)

3?1解：質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度

4-314-24-13

u=----=—,V=----,w=----=一

1010101010

質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程

_t_t13/

x=+wZ=3d---,y=y+v^=2+—,z=z+wZ=lH---

10n5nIO

3-2解：

a2=0

/2l/2

ax^—fo.Olx-P^O.Olx-x-r=0.0375嚴(yán)?

*dt2dt\2)22

d~yd0.0lx-/3/2>|=0.0lx-x-rl/2=0.0375/2

a=——二——

2)22

由工二l+O.OlT?7和x.=10,得

l/2

ax=0.0375xl5.l9=0146,4=4=0.146,4=0

a=《aj+aj+a；=Vo.1462+0.1462+0=0.206

3?3解：當(dāng)t=ls時(shí)，點(diǎn)A(1,2)處的流速

u=xt+2y=(lxl+2x2)m/s=5m/s

v=xt2-X=(1xI2-2x1^71/5=-lm/s

流速偏導(dǎo)數(shù)

du1,21-13〃CT

——=x=lm/s,—=t=ls,—=2s

dtdxdy

點(diǎn)A(l,2)處的加速度分量

Dudududu22

---=----vu------1-V——=[l+5x1+(-1)X2]/77/5=3m/s

Dtdtdxdy

Dvdvdvdv2

——=-------FW------1-V—=[1+5x1+(-l)x(-l)]mIs

Dtdtdxdy

3-4解：(1)跡線微分方程為

dx,dy

一=力,上=力f

uu

將u,t代入，得

dx=(l-y)dt

dy=tdt

利用初始條件y(t=O)=O,積分該式，得

12

y~2

將該式代入到式(a)，得dx=(l-t2/2)dt.利用初始條件x(t=O)=O,積分得

聯(lián)立(c)和(d)兩式消去t,得過(0,0)點(diǎn)的跡線方程

dxdy

⑵流線微分方程為一=一.將u,v代入，得

UV

=—或(1-y)dy=tdx

1-yt

將t視為參數(shù)，積分得

y-gy2=xt+c

據(jù)條件x(t=l)=0和y(t=l)=0,得C=0.故流線方程為

12

y-2y=xt

3-5答：

(1)包+包+如=0+0+0,滿足

dxdydz

小①dvdwt7八八、型口

(2)---1-------1-----=k—%+0=0,/兩ALL

dxdydz

2xy-2xy

=0,滿足

222

G+Vy(x+y)

/.\dudvdw八八八八、田口

(4)----1------1-----=0+0+0=0,［兩At.

dxdydz

⑸包+型+如=o+o+o=o,滿足

''dxdydz

(6》商足

(r\dUru,.1dukZCC、七口

(7)—+上+--碧g=---+—+0=0,滿足

drrrd0r2r2

⑻皿+上+!江=0+0+0=0,滿足

v7drrrSO

(9)—+—=4,不滿足

dxdy

(10)包+包=4y,僅在y=0處滿足，其他處不滿足

dxdy

3-6解：

3-7證：設(shè)微元體abed中心的速度為U-U。。單位時(shí)間內(nèi)通過微元體各界面的流體體枳分別為

/分+辦)妁

麗如一鬻當(dāng)卜，耐劭+鬻當(dāng)卜

根據(jù)質(zhì)量守恒定律，有

du.drfdudr

tr\dr=Q

ur------------\rdrO-\ur+----------

rdr2Idr2II502

略去高階無窮小項(xiàng)(dr)2和drdS,且化簡，得

強(qiáng)+"口=0

drrrd0

3-8解：送風(fēng)口流量

Q=0.2x0.2x5m3Is=Q.2m3/s

斷面i」處的流量和斷面平均流速

Qi=3Q=3x0.2m3/s=0.6m3Is

Q0.6,

1VZ,=—=------------mis

A0.5x0.5

斷面2-2處的流量和斷面平均流速

020.4

Q2=2Q=2x0.2m3/s=0.4機(jī)3/s,V2mls=1.6m/5

A0.5x0.5

斷面3-3處的流量和斷面平均流速

ft0.2

=Q=0.5m3/5,Vmis=0.8"z/s

A0.5x0.5

nd；

3-9解：分叉前干管的質(zhì)量流量為Qm0=------------V0P3.設(shè)分叉后叉管的質(zhì)量流量分別為0ml和0m2,則有

Q?,0=Qm\+Q，”2，Q，，，1=Q"，2

故

=0.2=粵=苧匕2。=苧匕0=哼匕。

Zo44

解得

y=勰%A)50x25x2.62,

-------------mis=18.05m/s

L2dM2x45x2.24

d；VoQo50x25x2.62.

---(一-=mIs=22.25m!s

2d；夕22x40x2.3

3-10解:

(1峨變形速率4=0,￡?=算=0

dxdy

角變形速率佟+*]=:(-k+%)=0

■21dxdyJ2

電5Vo

(3啜變形速率==￡-一=

ax>,>5y

a-v+

角變形速率=-2

xy2ax

3-11解：線變形速率

8r---2xy=2x1x2=4,6*vv=-=-2xlx2=-4

◎dx抄dy

角變形速率

1(dv_1(2x-y2+x2+2y)=^(2xl-22+12+2x2)=|

2^dx+dyj

渦量

dv-=(2x-y2)-(x2+2y)^2x1-22-12-2X2=-7

dx

3-12解:

5wdv

Q,--—=0-0=0

dydz

包一生=0—0=0,無旋流

Q、

(adzdx

dv3〃j7八

Q---------=k-k=0

dxdy

，無旋流

（5X\=Q，=Q：=0,無旋流

（6）Q,=%=Q：=0,無旋流

uQv=0

dvdu-2xyk-2xyk八,無旋流

⑺----------------：----------；---------------：—=（）

（＞）打

Vdxdy+y223+

uQ=0

僦

dvdu/:(y2-x2)k(yz-x2)

=0,無旋流

dxdy(一+力28+為2

（9）和（10）不滿足連續(xù)方程，不代表流場

3-13解：任意半徑r的圓周是一條封閉流線，該流線上

線速度u0=3or,速度環(huán)量

r=27mi0=2m（）/

⑵半徑r+dr的圓周封閉流線的速度環(huán)量為

「+JT=272yo（廠+d廳

得

dT=（T+6T）-r=2儂0（廠+〃）2-2m0戶=4如zdr+23/產(chǎn)

忽略高階項(xiàng)2T[3。加2,得dF%4T[3Ordr

dTx^jtco^rdr

（3）設(shè)渦量為。“它在半徑r和r+dr兩條圓周封閉流線之間的圓環(huán)域上的積分為df，：因?yàn)镃z在圓環(huán)域上可看作均勻分

布，得

。,dA=dT

將圓環(huán)域的面積dA=2TTrdr代入該式，得

O二2勿力r=dT=4的0癡"

.=2（Jl）O+（JI）odr/r.忽略無窮小量3^dr/r,最后的渦量

Q_=2g

3-14解:由U「和Ug=6得

U=-Cy,v=Cx,空=0,*=-C,|^=eg=0

dxdydxdy

依據(jù)式（3-5a）和（3-5b）,有

a=u—+v—=-y.O+Cx（-C）=-C^x

xdxdy~

dvdv

a=u---Fv—=-Cy.C+Cx.O=-C29y

yvdxdy

可見，ar=-C2（x2+y2）w=-u2Q/r,aQ=0<,顯然，代表向心加速度。

（2）由u「=0和11夕=C/r,得

Cy_Cxdu_2Crydu_C（y2-x2）

Ur2，Vr29dxr4dyr4

dv_C（y2—QV_2Cry

dxr4,dyr4

duCx2CxyCxC（y2-x2）C2x

ax=U----FV"'41"44

dx廣rrr

dvCyC（x--y2）Cx2CxyC2y

a、，=u----1-v

ydx~rTr4r2r4_-r4-

2

可見，a尸＜2僅2+丫2）皿=一u3",a8=00顯然，a「代表向心加速度。

3?15解：當(dāng)矩形abed繞過O點(diǎn)的z向軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)Tl/4時(shí)，在亥姆霍茲分解式（3?36）中，只有轉(zhuǎn)動，沒有平移，也沒有

變形。故有

也=

ud=u-cozdy.u+cozdx

其中，稱3N是z向角速率。據(jù)題意，CD.=Tl/4rad/s.

（2）因?yàn)榫匦蝍bdc的各邊邊長都保持不變，故沒有線變性：ab邊和ac邊繞過。點(diǎn)的Z軸轉(zhuǎn)動，表明沒有平移運(yùn)動；對角線傾

角不變，表明沒有旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。根據(jù)亥姆雷茲分解式（3-36）,有

=u+sxydy,vd=v-V￡yxdx

其中，角變形速率

1da+dp

=—rad/s

2dt8

dv5u

3-16解：（1）由已知流速u=1Ty和v=0,得二一=0,二一=TL依據(jù)式（3-33）,角變形速率

dxdy

dvdu71

一+一=；（o+乃）

2dxdy

依據(jù)式（3-32）,得角速率

1fduy1/_\7i

V7

z2{dxdy）22

（2）t=0時(shí)刻的矩形，在時(shí)段dt內(nèi)對角線順時(shí)針轉(zhuǎn)動的角度為

8]=—cod=—dt

122

在t=0.125和t=0.25時(shí)刻，轉(zhuǎn)角為9[=1l/16和。[=Tl/8.因?yàn)椤昝?￡,.；.

=0,故沒有線變形。矩形各邊相對于對角線

所轉(zhuǎn)動的角度為

&=sdt=—dt

2x-x2

在t=o.i25和t=o.25時(shí)刻，。2=￡近dt=ir/16和e=n/8.因?yàn)閷蔷€順時(shí)針轉(zhuǎn)動了TI/16,TT/8,故矩形沿

y向的兩條邊得順時(shí)針角為7T/。,71/4,而與X軸平行的兩條邊轉(zhuǎn)角為0.

依據(jù)u=7Ty知，當(dāng)△y=1時(shí)流速u之差值為IT,在dt=0.125和dt=0.25時(shí)段，

位移差值為TT/8,IT/4.這驗(yàn)證了

與y軸平行的兩條邊的順時(shí)針轉(zhuǎn)角。

第四章

（口、、1/7

uB2—y

4-1社固定平行平板間液體的斷面流速分布為=,y20總流的動能修正系數(shù)為何

“max\B12j

值？

解將下面兩式

￡

]1B~~y7_7

V=UA=2

~7i^~^\BUmax2R內(nèi)

A-o"max

A-j

D-2」6

-.3

——y7Q

jy辦=-^―dy—Bu3

B_",^max

2J

八y

代人到動能修正系數(shù)的算式1

<-------------u（y）--------------->

Umax

a=—^7fu'dAB0-----------------------------------------------

Av3._J」

A==1.045

得水KJ

4-2如圖示?股流自狹長的縫中水平射出，其厚度式）=

0.03m,平均流速M(fèi)）=8/n/s.假設(shè)此射流受中

立作用而向下彎曲，但其水平分速保持不變。試求（1）在傾斜角0=45°處的平均流速v；<2）該處的水股厚度b.

解⑴在0=45°處，水平，力速為Vo.故射流平均流速為

v=—————-——m/s=11.31m/s

cos45°cos45°

⑵由連續(xù)性條件，在夕=450處的單寬流量與噴口處相等,

即1z5=y(8

故

6=%以=—^―x0.33/77=0.02訪

r011.31

如圖所示管路，出口接一管嘴，水流射入大氣的速度%=20m/s,管徑

V2v2I22

2=〃205

+上一0.5'=5+-------0.5xmH20

gp2g2g2x9.80x9.8,

=24.77mH20—2.48at

即壓力表讀數(shù)為2048個(gè)大氣壓。

4-4水輪機(jī)的圓錐形尾水管如圖示.?直A-A斷面的直徑4A=0.6m，流速匕=6m/s.B-B斷面的直接

.由A到B水頭損失hw=0.15僅：/2g)

dB=0.9m求(1)當(dāng)z=5m時(shí)A-A斷面處的真空度(2)

當(dāng)A-A斷面處的允許真空度為5m水柱高度時(shí)，A-A斷面的最高位置

IlldA

解：⑴由水流連續(xù)性知

%=x6m/s=2.66m/s

取水面為基準(zhǔn)面+'2=°,且取。/’~1-0,得斷面B-B的總能頭

gP

A

a睚2.6672

仆小慧+0+M=0.363

2g2x9.8

斷面A-A與B-B之間能量方程可寫成

z+且+fZL=〃+力

-c0Z>?

gP2g

其中，由A到B水頭損失

V262

h=，"2=o.15x--=0.267m/s

2g2x9.8

當(dāng)z=5m時(shí)（取a*?1.0），有

旦=+h-z-=0.363+0.276-5-

gP2gI

故A-A斷面的真空度為力以=一出土=6.20加

gP

PA―5m和z=Za代入式(a),得A-A斷面的最高位置

⑵將

gP

aV2n

Zmax=+h--旦=0.363+0.276--------m=3.80

W°B"2ggp2X9.8

4-5水箱中的水從?擴(kuò)散短管流到大氣中，如圖示。若直徑d]=100mm該處絕對壓強(qiáng)=0.5〃/,而直徑

d、=150加加求作用水頭H(水頭損失可以忽略不計(jì))

解：基準(zhǔn)面O-O,斷面1-1、2-2、3-3如圖示.在14與2-2斷面之間用伯諾里方程(取(X=1)

~Pabs\、匕之Pabsl,吟

gp2ggp2g

Pabs\

已知Z15m,=10m

gPgP

由水流連續(xù)性，得

"150?

%=2.25%

代入到伯諾里方程,

5+*=1。+*"=5

解出流速水頭

1

1.23加

2g

列出斷面3-3、2-2之間的伯諾里方程

將Pa6s2二0a和=°代入得出作用水頭

V2

〃=衛(wèi)=1.23m

2g

4-6?大水箱中的水通過?鉛垂管與收縮管嘴流入大氣中，如圖。直管直徑d4=100mm,管嘴出口直徑=500mm,若不計(jì)

水頭損失，求直管中點(diǎn)的相對壓強(qiáng)

APA0

解：斷面1-1位于水面上，斷面A和斷面B分別通過A、B點(diǎn)。列出斷面1-1與B

之間的伯諾里方程

z+0+a*IaD/D，

/[十十=a+互+H-----

gP2ggp2g

利用已知條件

Zx—ZB=(4+2+3)%=9%

P\=0,PB=0,/1=0

且取Xa，B~1.0,得斷面B的流速水頭

由連續(xù)性，弊出斷面A的流速和水頭

222

d

B5011V9

x一％左yB一m

dA(1004'2g2g162g16

寫斷面1-1與A之間的伯諾里方程

zi+—++

gp2ggp2g

將下列數(shù)據(jù)代入該式

Z1-Z[=2+35"，Pi=0,噎=0

且取?aAal.O,得

互=Z「Z廠等5-—L=

4.44m,pAl.11H2O

g。2gI16j

4-7離心式通風(fēng)機(jī)用集流器C從大氣中吸入空氣，如圖示。在直徑d=200mm的圓截面管道部分接一根玻璃管，管的下端插入水

槽中。若玻璃管中的的水面升高H=150mm,求每秒鐘所吸取的空氣量Q。空氣的密度夕?！?29kg/"7。

解：設(shè)圓截面管道的斷面平均流速為V,壓強(qiáng)為p.由于距離集流器C較遠(yuǎn)處大氣流速為

零以，若不計(jì)損失，假定集流制中空氣密度與外部大氣的密度相同，管道斷面與遠(yuǎn)處人氣之間的不可壓氣體的能量

方程可寫成

paV2

Pa---+

SPagPa

玻璃管液面壓強(qiáng)為P，若P；

Pa-P

故從能量方程中可解得

由此得

0=尤p=47.740x"一°，2一m3/s=1.50m3/s

44

4-8水平管路的過水流量Q=2.5L/s,如圖示。管路收縮段由直徑《=50mm收縮成d2=25mm.相對壓強(qiáng)/7,=O.lat,兩段面間

水頭損失可忽略不計(jì)。問收縮斷面上的水管能將容器內(nèi)的水吸出多大的高度h?

解：在1與2兩斷面之間應(yīng)用伯諾里方程

旦丁仁+或++

乙1II—乙nIII

gp2ggp2g

取％?aB?1.0,已Z/-Z2,夕/=0.lat知可解出

2.5x10-3

m/s=1.273m/s

nx(50X10.)2/4

、2

50、2

1X4x1.273m/s=2.093m/s

aj125；

故

(1.27325.0932)

絲二包十4-0.1x10+-------------------------m=-0.241m

2g2g2x9.82x9.8

gpgp1\7

~gPh系，得出高度

依據(jù)吸水管的靜壓強(qiáng)關(guān)p?~P2

h=￡-五0-(-0.241)=0.24(m)

gpgP

4-9圖示矩形斷面渠道，寬度B=2.7m。河床某處有?高度0.3m的鉛直升坎，升坎上、下游段均為平底。若升坎前的水深為1.8m,

過升坎后水面降低0.12m,水頭損失/I”.為尾渠(即圖中出口段)流速水頭的一半，試求渠道所通過的流量Q。

解：取斷面1-1和2-2如圖。依據(jù)連續(xù)性方程

「4=%4,得

1.0夕匕=(L8-0.3-0.12)叫

或

1.8匕=1.38%

寫出兩斷面之間的能量方程

+幺+

,+十0----+十-匕-----一7+十0--2----十+

-z90.5

gp2ggp2g2g

若基準(zhǔn)面。-。取在圖示升坎前來流的水面上，有

Z)+—=0,z2+---0.127

gpgp

代入到能量方程，得

y2V2

'=—0.12+1.52

2g2g

聯(lián)立求解(a),(b)兩方程，得

V1=1.231m/s,V2=1.606m/s

故渠道能過的流量

Q=A]V=l.8X2.7X1.231=5.98m3/s

4-10圖示抽水機(jī)功率為P=14.7W,效率為〃=75%,將密度Pu=900小//的油

從油庫送入密閉油箱.已知管道直徑d=150mm,油的流量Q=0.14疝/s,抽水機(jī)進(jìn)口B

處真空表指示為-3m水柱高，假定自抽水機(jī)至油箱的水頭損失為//=2.3/篦油柱高，問此時(shí)油箱內(nèi)A點(diǎn)的壓強(qiáng)為

多少？

解:選取面A位于油液面上，斷面B位于抽水機(jī)進(jìn)口-寫出兩面之間有能量輸入的能量方程

%+蚩+合二為+/++委+4人

其中，Hm為單位.重量油體通過抽水機(jī)后增加的能理。由水泵軸功率計(jì)算公式

gPQHm

P=■

7

得

r/P0.75x14.7x1O,!門ccc、由小

Hm-------------------=8.929m油枉

gpQ9.8x900x0.14

由連續(xù)性，得

014

Q——乙二一m/s=7.922m/s

71d~/4x0.152/4

7.9222

m油柱=3.202m油柱

2g2x9.8

由能量方程可解出

J-(7+痔

PAPB+

gp。gP。2gA2g

-3

3.02+8.929-(5+02.3)m油柱=1.498m油柱

0+079+

7

油箱A壓強(qiáng)

3

PA=1.498X9.8X900Pa=13.21X10Pa

4-11如圖所示虹吸管由河道A向渠道B引水，已知管徑d=100mm,虹吸管斷面中心點(diǎn)2高出河道水位

z=2m點(diǎn)1至點(diǎn)2的水頭損失為加一2=1。儼/2g).點(diǎn)2至點(diǎn)3水頭損失

金2.3=2儼/2g)，V表示管道的斷面平均流速，若點(diǎn)2的真空度限制在一7〃2以內(nèi)，試問(1)虹

V—

吸管的最大流量有無限制？如有，應(yīng)為多大？(2)出水口到河道水面高差h有無限制？如有，應(yīng)為多大？

解：(1)取面1位于河道A的自同面上，斷面2過點(diǎn)2.寫出兩斷面間能量方程

p2V2V2

Zlz?+-----+——+10——

gPo2g2g

將Z]z2=z=2nl代入，得

夕2

gP

當(dāng)用一堂一耐，言2-7m.因此有

-2-11旦2-7(m)

gp

求解后，得

<J—X2X9.8=2.985m/s

VII

Q=V-d2<2.985x-x0.I2m7s=0.0234m3/s

44

即應(yīng)當(dāng)將最大流量限制在23.4L/s以內(nèi)

⑵斷面3位于虹吸管的出口。寫出面1與3之間的能量方程

V2.,V2

4=Zr.+----+(10+2)—,z、一Z3=h

2g2g

解得

V2.982

h=13——<13x—5.98m

2g2x9.8

故應(yīng)限制h不應(yīng)大于5.89m

4-12圖示分流叉管，斷面1-1處得過流斷面積

Al=0.1m2,高程Z[=75m流速匕=3〃z/s,壓強(qiáng)=98kPa;

斷面2-2處A2=0.05機(jī)2*2=72加；斷面3-3處A3=0.08根2/3=60加

壓強(qiáng)〃3=196枕外；斷面1-1至2-2和3-3的水頭損失分別為%_2=3根和

3]_3=5樞試求⑴斷面2-2和3-3處的流速匕和匕;(2)斷面2-2處的壓強(qiáng)〃2

解:取1-1和2-2斷面，有

2

A十三+殳V+々

Z]+1-2

gpgp2g

代入各項(xiàng)數(shù)據(jù)，得

98x10332

75+-------+72+4+小

98002x9.8gP

由此解出

32

夕2i98x103

+75++---7--2--—--3m=10.459m

gp2g98002x9.87

(1)取1口和3-3斷面,有

Z+旦=Z3+2++Ari-3

1gpgp2g

代入各項(xiàng)數(shù)據(jù)，得

98x1()332196x103V2

75+60++—+5

98002x9.898002g

解之得V3=3m/so由V/4=/A2+V34,有

3X0.1=0.0%+0.08X3

解得

V2=l.2m/s

(1)將其代入到式(a),得

n(1

乜=10.459---m=10.39m

2gl2g)

5

P2=9800X10.39Pa=1.018X10Pa

4-13定性繪制圖示管道的總水頭線和測管水頭線。

答總水頭線“0和測管水頭線Hp如圖示。

4-14試證明均勻流的任意流束在兩斷面之間的水頭損失等于兩斷面的測管水頭差。

證在均勻流中斷央1-1和2-2之間取任意流束，fflz\p\V.表示流束斷面的高程、壓強(qiáng)和流速，hl表示兩斷面之間流束的

能量損失。寫出該流束的能量方程

+少一+區(qū)+江+4

z；，+—夕,

gP2ggP2g

設(shè)z、p表示總流斷面的高程、壓強(qiáng).依據(jù)均勻流任一斷面上測管水頭等值，有

Z+旦/+昆-Z+&

gPgPgPgk

依據(jù)均勻流的任意兩面都滿足

必二明2

2g2g

得

Z[+=z2++h'w

gPgP

h'w=%+2-]r+專b%”

IgP)

415當(dāng)海拔高程z的變幅較大時(shí)，大氣可近似成理想氣體，狀態(tài)方程為Pa(Z)=P°RT，其中R為氣體常數(shù)。試推

求兒(z)和％(z)隨Z變化的函數(shù)關(guān)系。

解：設(shè)Pa。、To分別表示Z=0處的大氣壓強(qiáng)和溫度，P分別表示高程Z處的大氣壓強(qiáng)和溫度。將狀態(tài)方程該寫成

Pa(z)=pa(z)/RT(z)利用溫度隨Z變化的線性關(guān)系T(z)=/一Bz,得

Pa(z)=pa(z)/RT(TQ-pz)

大氣的壓強(qiáng)足靜壓強(qiáng)分布規(guī)律，可依據(jù)式(2-11)寫出

dpa(z)=~gpa(z)dz

將式(a)代入，得

dpa(z)=~gpa(z)/RT(T0-^z)dz

或改寫成

dPagdz

PaR(T。-Bz)

利用邊界條件"0積分上式，得

T)

In」