專題12 構造等腰三角形的常用方法（解析版）

專題12構造等腰三角形的常用方法（解析版）類型一作一腰的平行線構造構造等腰三角形1．如圖，△ABC中，AB＝AC，D在AB上，F(xiàn)在AC的延長線上，且BD＝CF，連接DE交BC于E．求證：DE＝EF．【思路引領】過D點作AF的平行線交BC于G點，利用等腰三角形的性質和平行線的性質，求證△DGE≌△FCE即可，【解答】證明：過D點作AF的平行線交BC于G點，∴∠ECF＝∠DGE，∴∠DGB＝∠ACB∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠DGB，∴DG＝BD，∵BD＝CF，∴DG＝CF．由∠ECF＝∠DGE，∠DEG＝∠CEF，DG＝CF可得△DGE≌△FCE（AAS），∴DE＝EF．【總結提升】此題考查學生對全等三角形的判定和性質的理解和掌握．此題的關鍵是過D點作AF的平行線交BC于G點，然后利用角角邊定理證明△DGE≌△FCE，這是此題的關鍵．2．（2020秋?義馬市期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，點P為邊AB上一點（不與點A、點B重合），PM⊥BC，垂足為M，交BD于點N．請猜想PN與BM之間的數(shù)量關系，并證明．【思路引領】作PF∥AC交BC于F，交BD于E．根據(jù)平行線的性質得到PF⊥BD，∠BPE＝∠A＝45°，求得∠BEP＝90°，得到∠BPE＝∠PBE＝45°，求得BE＝PE．根據(jù)全等三角形的性質得到PN＝BF；根據(jù)等腰三角形的性質得到∠ABC＝∠C，求得PB＝PF，得到BM＝MF，于是得到結論．【解答】解：PN＝2BM，理由：如圖，作PF∥AC交BC于F，交BD于E．∵BD⊥AC，PF∥AC，∴PF⊥BD，∠BPE＝∠A＝45°，∴∠BEP＝90°，∴∠BPE＝∠PBE＝45°，∴BE＝PE．∵PM⊥BC，∴∠PMB＝∠PEN＝90°，∵∠BNM＝∠PNE，∴∠NPE＝∠EBF，∵∠PEN＝∠BEF＝90°，∴△PEN≌△BEF（ASA），∴PN＝BF；∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠PFB＝∠C，∴PB＝PF，∵PM⊥BF，∴BM＝MF，∴PN＝2BM．【總結提升】本題考查等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．3．（2020秋?九龍坡區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC邊于點D，點E是BC邊的中點，線段EF∥AD交線段AB于點G，交線段CA的延長線于點F．（1）若CF＝6，AG＝2，求AC的長；（2）求證：BG＝CF．【思路引領】（1）根據(jù)平行線的性質和等腰三角形的性質解答即可；（2）作CM∥AB交FE的延長線于M，欲證明BG＝CF，只要證明BG＝CM，CF＝CM即可．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵AD∥EF，∴∠DAC＝∠F，∠BAD＝∠FGA，∴∠F＝∠FGA，∴AG＝AF，∵CF＝6，AG＝2，∴AC＝CF﹣AF＝CF﹣AG＝6﹣2＝4；（2）作CM∥AB交FE的延長線于M．∵BG∥CM，∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中點，∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，∠B=∠MCEBE=EC∴△BEG≌△CEM，∴BG＝CM，∵AD∥EF，∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F，∵∠1＝∠2，∴∠F＝∠FGA，∵AB∥CM，∴∠FGA＝∠M，∴∠F＝∠M，∴CF＝CM，∴BG＝CF．【總結提升】本題考查全等三角形的判定和性質、平行線的性質等知識，掌握中線倍長法添加輔助線，構造全等三角形，屬于中考?？碱}型．類型二利用角平分線+垂線構造等腰三角形4．（2021春?萬柏林區(qū)校級月考）如圖，△ABC的面積為6cm2，AP垂直∠ABC的平分線BP于點P，則△PBC的面積是3cm2．【思路引領】延長AP交BC于點E，由角平分線的定義可知∠ABP＝∠EBP，結合BP＝BP以及∠APB＝∠EPB＝90°即可證出△ABP≌△EBP（ASA），進而可得出AP＝EP，根據(jù)三角形的面積即可得出S△APC＝S△EPC，再根據(jù)S△PBC＝S△BPE+S△EPC=12S△【解答】解：延長AP交BC于點E，如圖所示．∵AP垂直∠ABC的平分線BP于點P，∴∠ABP＝∠EBP．在△ABP和△EBP中，∠ABP=∠EBPBP=BP∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝EP．∵△APC和△EPC等底同高，∴S△APC＝S△CPE，∴S△PBC＝S△BPE+S△CPE=12S△ABC=12×6＝故答案為：3．【總結提升】本題考查了等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定與性質、角平分線的定義以及三角形的面積，找出S△PBC=12S△5．（2021秋?上杭縣期中）已知：如圖，DE平分∠AEB，∠B＝∠EAC，ED⊥AD于D．求證：AD平分∠BAC．【思路引領】延長ED交AB于F，設AC與DE交于G，根據(jù)角平分線的定義得到∠AED＝∠BED，根據(jù)三角形外角的性質得到∠AGD＝∠CAE+∠AED，∠AFE＝∠B+∠BEF，求得AF＝AG，根據(jù)等腰三角形的性質即可得到結論．【解答】證明：延長ED交AB于F，設AC與DE交于G，∵DE平分∠AEB，∴∠AED＝∠BED，∵∠AGD＝∠CAE+∠AED，∠AFE＝∠B+∠BEF，∵∠B＝∠EAC，∴∠AGD＝∠AFE，∴AF＝AG，∵ED⊥AD，∴AD平分∠BAC．【總結提升】此題考查了等腰三角形的判定與性質、角平分線的定義，垂直的定義以及三角形外角的性質．此題難度不大，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用．類型三利用截長補短法構造等腰三角形6．（2021秋?拱墅區(qū)期中）如圖，AD是△ABC的高，且AB+BD＝DC，∠BAD＝40°，則∠C的度數(shù)為25°．【思路引領】在線段DC上取一點E，使DE＝DB，連接AE，先由線段垂直平分線的性質得AB＝AE，則∠EAD＝∠BAD＝40°，∠AEB＝∠B＝50°，再由AB+BD＝DC，得到△ACE是等腰三角形，得∠EAC＝∠C，然后由三角形的外角性質即可得出結論．【解答】解：在線段DC上取一點E，使DE＝DB，連接AE，∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE，∴∠EAD＝∠BAD＝40°，∠AEB＝∠B＝90°﹣∠BAD＝50°，∵AB+BD＝DC，DE+CE＝DC，∴AB＝CE，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C，∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，∴∠C=12∠AEB＝故答案為：25°．【總結提升】本題考查了等腰三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質、三角形的外角性質等知識；熟練掌握等腰三角形的判定與性質是解題的關鍵．7．（2020秋?綿陽期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB+BD＝DC，求∠C的度數(shù)．【思路引領】如圖，在DC上截取DH，使得DH＝DB，連接AH．首先證明AB＝CH＝AH，推出∠B＝∠AHD，∠C＝∠HAC，設∠C＝x，∠AHB＝∠B＝2x，利用三角形內角和定理構建方程求出x即可．【解答】解：如圖，在DC上截取DH，使得DH＝DB，連接AH．∵BD＝DH，AD⊥BH，∴AB＝AH，∵AB+BD＝DC，DC＝DH+HC，∴AB＝CH＝AH，∴∠B＝∠AHD，∠C＝∠HAC，設∠C＝x，∠AHB＝∠B＝2x，∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴3x+120°＝180°，∴x＝20°，∴∠C＝20°【總結提升】本題考查等腰三角形的判定和性質，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題．8．（2023春?雨城區(qū)校級期中）已知△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交邊AC于E．（1）如圖（1），當∠BAC＝108°時，證明：BC＝AB+CE；（2）如圖（2），當∠BAC＝100°時，（1）中的結論還成立嗎？若不成立，是否有其他兩條線段之和等于BC，若有請寫出結論并完成證明．【思路引領】（1）如圖1中，在BC上截取BD＝BA．只要證明△BEA≌△BED，CE＝CD即可解決問題；（2）結論：BC＝BE+AE．如圖2中，在BA、BC上分別截取BF＝BE，BH＝BE．則△EBH≌△EBF，再證明EA＝EH＝EF＝CF即可解決問題；【解答】解：（1）如圖1中，在BC上截取BD＝BA．∵BA＝BD，∠EBA＝∠EBD，BE＝BE，∴△BEA≌△BED，∴BA＝BD，∠A＝∠BDE＝108°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝36°，∠EDC＝72°，∴∠CED＝72°，∴CE＝CD，∴BC＝BD+CD＝AB+CE．（2）結論：BC＝BE+AE．理由：如圖2中，在BA、BC上分別截取BF＝BE，BH＝BE．則△EBH≌△EBF，∴EF＝EH，∵∠BAC＝100°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝40°，∴∠EBA＝∠EBC＝20°，∴∠BFE＝∠H＝∠EAH＝80°，∴AE＝EH，∵∠BFE＝∠C+∠FEC，∴∠CEF＝∠C＝40°，∴EF＝CF，∴BC＝BF+CF＝BE+AE．【總結提升】本題考查等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．類型四利用倍角關系構造構造等腰三角形9．（2020秋?南崗區(qū)校級月考）如圖，AD平分∠BAC，∠ABC＝3∠C，BE⊥AD垂足為E，AB＝8，BE＝2.5，則AC＝13．【思路引領】根據(jù)全等三角形的判定與性質，可得∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF，根據(jù)三角形外角的性質，可得∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，根據(jù)角的和差、等量代換，可得∠CBF＝∠C，根據(jù)等腰三角形的判定，可得BF＝CF，根據(jù)線段的和差、等式的性質，可得答案．【解答】證明：如圖：延長BE交AC于點F，∵BF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEF，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE和△AFE中，∠AEB=∠AEFAE=AE∴△ABE≌△AFE（ASA），∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF＝8，BE＝EF＝2.5，∴BF＝5，∵∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝3∠C，∴∠C+2∠CBF＝3∠C，∴∠CBF＝∠C，∴BF＝CF＝5，∴BE=12BF=∴AC＝AF+CF＝8+5＝13，故答案為：13．【總結提升】本題考查了等腰三角形的判定與性質，利用了全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質，等量代換，等式的性質，利用等量代換得出∠CBF＝∠C是解題關鍵．10．已知E為△ABC內部一點，AE延長線交邊BC于點D，連接BE、CE，∠BED＝∠BAC＝2∠DEC，如圖，若AC＝AB，求證：BE＝2AE．【思路引領】在EB上截取EF＝AE，利用AAS即可證得△ABF≌△CAE，根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可證得；【解答】解：在EB上截取EF＝AE，連接AF，設∠BED＝2α，∴∠FAE＝∠AFE＝α，∴∠AEC＝∠AFB，∵∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝2α，∠ABE+∠BAD＝∠BED＝2α，∴∠CAE＝∠ABE∵在△ABF和△CAE中，∠AEC=∠AFB∠CAE=∠ABE∴△ABF≌△CAE（AAS），∴BF＝AE＝EF，∴BE＝2AE；【總結提升】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．11．（2022秋?金州區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠A＜60°，AB＝AC，D是△ABC外一點，∠ACD＝∠ABD＝60°，用等式表示線段BD、CD、AC的數(shù)量關系，并證明．【思路引領】延長BD至E，使BE＝AB，連接AE、CE，可得△ABE是等邊三角形，即可求得AC＝AE，可得∠ACE＝∠AEC，即可求得∠DCE＝∠DEC，可得DE＝CD，即可解題．【解答】解：AC＝BD+CD，理由如下：延長BD至E，使BE＝AB，連接AE、CE，∵∠ABD＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴AE＝AB，∠AEB＝60°，∵AB＝AC，∴AC＝AE，∴∠ACE＝∠AEC，∵∠ACD＝60°，∴∠ACE﹣∠ACD＝∠AEC﹣∠AEB，即∠DCE＝∠DEC，∴DE＝CD，∴BE＝BD+DE＝BD+CD，∴AC＝BE＝BD+CD．【總結提升】本題考查了等邊三角形各內角為60°的性質，考查了等腰三角形的性質，本題中求證CD＝DE是解題的關鍵．類型五作底邊的平行線構造等腰三角形12．如圖，等邊△ABC中，D在邊AC延長線上一點，延長BC至E，使CE＝AD，DG⊥BC于G，求證：BG＝EG．【思路引領】利用全等三角形判定依據(jù)SAS，可得△BFD≌△DCE，則DB＝DE，結合DG與BC互相垂直，即可證得本題結論．【解答】證明：過點D作DF∥BC交AB的延長線于點F．∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°，∴△ADF是等邊三角形，∴AD＝DF＝AF，∴CD＝BF．又∵AD＝CE，∴FD＝CE．又∵∠DFB＝∠DCE＝60°，在△BFD和△DCE中，BF=CD∠DFB=∠ECD∴△BFD≌△DCE（SAS），∴DB＝DE．又∵DG⊥BC，∴BG＝EG．【總結提升】本題考查全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．13．（2012秋?五河縣期末）如圖，過等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．（1）求證：PD＝DQ；（2）若△ABC的邊長為1，求DE的長．【思路引領】（1）過P做BC的平行線至AC于F，易證△APF是等邊三角形，再證明△PFD與△QCD全等，得出結論；（2）利用△APF是等邊三角形，PE⊥AC，得出AE＝EF，再由△PFD≌△QCD，得出CD＝DF，由此得出DE與AC的關系解決問題．【解答】（1）證明：如圖，過P做PF∥BC交AC于點F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AFP＝60°，∴△APF是等邊三角形；∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ．（2）△APF是等邊三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，DE＝EF+DF=12∵AC＝1，DE=1【總結提升】此題綜合考查等邊三角形的性質、三線合一以及三角形全等的判定與性質等知識點．類型六構造等邊三角形15．（2013秋?華容區(qū)校級期中）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，D，E分別為AC，AB上的點，∠DBC＝60°，∠ECB＝50°，則∠BDE＝30°．【思路引領】根據(jù)等腰三角形的性質求出∠ABC＝∠ACB，過點B作BF＝BC，連接EF，然后求出∠BEC＝∠ECB＝50°，根據(jù)等角對等邊可得BC＝BE，再求出∠CBF＝20°，然后求出∠EBF＝60°，判斷出△BEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質和等腰三角形的性質求出∠EFD＝40°，再求出∠EDF＝70°，然后根據(jù)∠BDE＝∠EDF﹣∠BDF代入數(shù)據(jù)計算即可得解．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣∠A）=12（180°﹣過點B作BF＝BC，連接EF，∵∠ECB＝50°，∴∠BEC＝180°﹣80°﹣50°＝50°，∴∠BEC＝∠ECB，∴BC＝BE，又∵∠CBF＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×80°＝20°，∴∠EBF＝∠ABC﹣∠CBF＝80°﹣20°＝60°，∴△BEF是等邊三角形，∴∠EFB＝60°，BF＝EF，∴∠EFD＝180°﹣∠EFB﹣∠CFB＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∵∠DBC＝60°，∴∠DBF＝∠DBC﹣∠CBF＝60°﹣20°＝40°，∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∴∠DBF＝∠BDC，∴BF＝DF，∴EF＝DF，∴∠EDF=12（180°﹣∠EFD）=12（180°﹣∴∠BDE＝∠EDF﹣∠BDF＝70°﹣40°＝30°．故答案為：30°．【總結提升】本題考查了等腰三角形的性質，主要利