專題15 圓與相似（原卷版）

九年級數(shù)學下冊解法技巧思維培優(yōu)專題15圓與相似題型一利用相似三角形求線段的長【典例1】（2019?泰順模擬）如圖，在銳角△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過點D作⊙O的切線DE交邊BC于點E，連結(jié)BD．（1）求證：∠ABD＝∠CDE．（2）若AC＝28，tanA＝2，AD：DC＝1：3，求DE的長．【典例2】（2019?樂山）如圖，直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，與⊙O相交于點P，OA＝5．C是直線l上一點，連結(jié)CP并延長交⊙O于另一點B，且AB＝AC．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為3，求線段BP的長．【典例3】（2019?樂清市模擬）如圖，AB是半圓O的直徑，半徑OC⊥AB，OB＝4，D是OB的中點，點E是弧BC上的動點，連接AE，DE．（1）當點E是弧BC的中點時，求△ADE的面積；（2）若tan∠AED=32，求（3）點F是半徑OC上一動點，設(shè)點E到直線OC的距離為m，①當△DEF是等腰直角三角形時，求m的值；②延長DF交半圓弧于點G，若弧AG＝弧EG，AG∥DE，直接寫出DE的長．【典例4】（2019?道外區(qū)二模）已知：AB為⊙O直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，點E為⊙O上一點，AE=BE，BE與CD交于點（1）如圖1，求證：BH＝FH；（2）如圖2，過點F作FG⊥BE，分別交AC、AB于點G、N，連接EG，求證：EB＝EG；（3）如圖3，在（2）的條件下，延長EG交⊙O于M，連接CM、BG，若ON＝1，△CMG的面積為6，求線段BG的長．【典例5】（2019?哈爾濱模擬）四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，弦AC、BD交于點E，且∠BAC+∠ACD＝∠ADC（1）如圖1，求證：AB＝AD；（2）如圖2，點F在AD上，弦BF交AC于點G，交AD于點H，點K在BD上，F(xiàn)K∥CD，連接OK，若AG＝AH，求證：OK⊥BF；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠OKD＝∠AED，BE＝6，DE＝10，求⊙O的半徑長．【典例6】（2019?樂清市模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，過點B作BD⊥AB，點C，D都在AB上方，AD交△BCD的外接圓⊙O于點E．（1）求證：∠CAB＝∠AEC．（2）若BC＝3．①EC∥BD，求AE的長．②若△BDC為直角三角形，求所有滿足條件的BD的長．（3）若BC＝EC=5，則S△BCDS△ACE題型二利用相似三角形確定線段間的關(guān)系【典例7】（2019?黃石模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，過C作射線CE交AB的延長線于點E，且∠BAC＝∠ECB．（1）求證：CE是⊙O的切線．（2）若AB＝6，CE＝4，求BE的長．（3）求證：EB：EA＝CB2：CA2．【典例8】（2019?大邑模擬）如圖1所示，已知AB，CD是⊙O的直徑，T是CD延長線的一點，⊙O的弦AF交CD于點E，且AE＝EF，OA2＝OE?OT．（1）如圖1，求證：BT是⊙O的切線；（2）在圖1中連接CB，DB，若DBCB=12（3）如圖2，連接DF交AB于點G，過G作GP⊥CD于點P，若BT＝62，DT＝6．求：DG的長．【典例9】（2019?蕭山區(qū)一模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E．點P是劣弧AD上任一點（不與點A，D重合），CP交AB于點M，AP與CD的延長相交于點F．（1）設(shè)∠CPF＝α，∠BDC＝β，求證：α＝β+90°；（2）若OE＝BE，設(shè)tan∠AFC＝x，AMBM=y．①求∠②求y關(guān)于x的函數(shù)表達式及自變量x的取值范圍．【典例10】（2019?青羊區(qū)模擬）如圖，CD是⊙O直徑，弦AB⊥CD，垂足為H，連接BC，過弧AD上一點E作EF∥BC交BA的延長線于點F，CE交AB于點G，∠FEG＝∠FGE，CD延長線交EF于點E．（1）求證：EK是⊙O的切線；（2）求證：EBFB（3）若sinF=35，CH＝26，求【典例11】（2019?郫都區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點A，AC＝AB，CO的延長線交⊙O于點F，BP的延長線交AC于點E，連接AP、AF．（1）求證：AF∥BE；（2）求證：PAPC（3）若AB＝2，求tan∠F的值．鞏固練習1．（2019?寶應縣期中）如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，直線AO與⊙O交于點E和點D，OB與⊙O交于點F連接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB．（1）求證：直線AB是⊙O的切線；（2）求證：∠FDC＝∠EDC；（3）已知：DE＝10，DF＝8，求CD的長．2．（2019?鹿城區(qū)三模）△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于D，交BC于E（BE＞EC），過點D作⊙O的切線DF，交AB的延長線于F．（1）求證：DF∥BC；（2）連接OF，若tan∠BAC=22，BD=43，DF＝8，求3．（2019?海淀區(qū)校級月考）如圖，已知直線l與⊙O無公共點，OA⊥l于點A，交⊙O于點P，點B是⊙O上一點，連接BP并延長交直線l于點C，使得AB＝AC．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若BP＝25，sin∠ACB=55，求4．（2019?南崗區(qū)校級月考）如圖1，在⊙O中，AB是弦，OH⊥AB于H，交⊙O于N，C為⊙O上一點，連接AC，BC，NC．（1）求證：∠ACN＝∠BCN；（2）如圖2，D為弧AC上一點，且弧CB＝弧CD，連接AD，過C作CE⊥AB于E，求證：AD＝2EH；（3）如圖3，在（2）的條件下，若AB為⊙O的直徑，BG＝5，CE＝6，BE＞EG，求△ADC的周長．5．（2019?呼蘭區(qū)期末）已知四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，直徑AC與對角線BD相交于點E，作CH⊥BD于H，CH與過A點的直線相交于點F，∠FAD＝∠ABD．（1）求證：AF為⊙O的切線；（2）若BD平分∠ABC，求證：DA＝DC；（3）在（2）的條件下，N為AF的中點，連接EN，若∠AED+∠AEN＝135°，⊙O的半徑為22，求EN的長．6．（2019?清江浦區(qū)期末）（1）【學習心得】于彤同學在學習完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點A為圓心，AB為半徑作輔助⊙A，則點C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝°．（2）【問題解決】如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的數(shù)．（3）【問題拓展】如圖3，如圖，E，F(xiàn)是正方形A