專題10 等腰三角形中的數(shù)學(xué)思想方法（解析版）

專題10等腰三角形中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法（解析版）類型一方程思想1．（2022秋?南通期末）如圖，在Rt△ABC中，D，E為斜邊AB上的兩個(gè)點(diǎn)，且BD＝BC，AE＝AC，則∠DCE的度數(shù)為（）A．30° B．36° C．45° D．48°【思路引領(lǐng)】設(shè)∠DCE＝x，∠ACD＝y(tǒng)，則∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠ACE＝∠AEC＝x+y，∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣y．然后在△DCE中，利用三角形內(nèi)角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，解方程即可求出∠DCE的大?。窘獯稹拷猓涸O(shè)∠DCE＝x，∠ACD＝y(tǒng)，則∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y．∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝x+y，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣x﹣y+x＝90°﹣y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC＝180°，∴x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，解得x＝45°，∴∠DCE＝45°．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)列出方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022春?景德鎮(zhèn)期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝19°，∠EDC＝11°，則∠DAE的度數(shù)為（）A．59° B．57° C．61° D．60°【思路引領(lǐng)】設(shè)∠ADE＝x°，則∠B+19°＝x°+11°，可用x表示出∠B和∠C，再利用外角的性質(zhì)可表示出∠DAE和∠DEA，在△ADE中利用三角形內(nèi)角和求得x，即可得∠DAE的度數(shù)．【解答】解：設(shè)∠ADE＝x°，且∠BAD＝19°，∠EDC＝11°，∴∠B+19°＝x°+11°，∴∠B＝x°﹣8°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x°﹣8°，∴∠DEA＝∠C+∠EDC＝x°﹣8°+11°＝x°+3°，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE＝x°+3°，在△ADE中，由三角形內(nèi)角和定理可得x+x+3+x+3＝180，解得x＝58，即∠ADE＝58°，∴∠DAE＝61°故選：C．【總結(jié)提升】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及外角的性質(zhì)，用∠ADE表示出∠DAE和∠DEA是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?富陽區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，在△ABC中，已知AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在AC，AB上，且BD＝BC，AD＝DE＝EB，則∠A的度數(shù)是45°．【思路引領(lǐng)】根據(jù)同一個(gè)三角形中等邊對(duì)等角的性質(zhì)，設(shè)∠ABD＝x，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，則可用x的代數(shù)式表示∠A、∠ABC、∠C，再在△ABC中，運(yùn)用三角形的內(nèi)角和為180°，可求∠A的度數(shù)．【解答】解：∵DE＝EB∴設(shè)∠BDE＝∠ABD＝x，∴∠AED＝∠A＝2x，∴∠BDC＝∠C＝∠ABC＝3x，在△ABC中，3x+3x+2x＝180°，解得x＝22.5°．∴∠A＝2x＝22.5°×2＝45°．故答案為：45°．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握，①求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°”這一隱含的條件；②三角形的外角通常情況下是轉(zhuǎn)化為內(nèi)角來解決．4．（2022秋?靖江市校級(jí)月考）已知，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且BD＝BA，CE＝CA．（1）如圖1，若∠BAC＝90°，∠B＝45°，則∠DAE的度數(shù)為45°（直接寫出結(jié)果）；（2）如圖2，若∠BAC＞90°，其余條件不變，探究∠DAE與∠BAC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【思路引領(lǐng)】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ACB的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAE＝∠E，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到∠ADB，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，∴∠ACB＝45°，∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠E，∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝45°，∴∠E＝22.5°，∵AB＝DB，∴∠ADB=12（180°﹣45°）＝∴∠DAE＝∠ADB﹣∠E＝45°；故答案為：45°；（2）設(shè)∠BAC＝α，∠B＝β°，∴∠ACB＝180°﹣α﹣β，∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠E，∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝180°﹣α﹣β，∴∠E＝90°-12α-∵AB＝DB，∴∠ADB=12（180°﹣β）＝90°-∴∠DAE＝∠ADB﹣∠E＝90°-12β﹣（90°-12α-1∴∠BAC＝2∠DAE．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．類型二分類討論思想5．（2022春?平頂山期末）在等腰三角形中，已知一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，則這個(gè)等腰三角形的頂角為（）A．36° B．30°或100° C．90° D．36°或90°【思路引領(lǐng)】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°和等腰三角形的兩個(gè)底角相等，解答此題即可．【解答】解：當(dāng)?shù)捉堑亩葦?shù)是頂角度數(shù)的2倍時(shí)，頂角是180÷（2+2+1）＝36°，當(dāng)頂角的度數(shù)是底角度數(shù)的2倍時(shí)，底角是180÷（2+1+1）＝45°，頂角是45°×2＝90°．答：這個(gè)三角形的頂角是36°或90°，故選：D．【總結(jié)提升】本題考查了三角形的內(nèi)角和是180°以及等腰三角形的性質(zhì)．分類思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．6．（2020秋?川匯區(qū)校級(jí)月考）已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4，一邊長(zhǎng)等于9，則它的周長(zhǎng)為（）A．22 B．17 C．17或22 D．26【思路引領(lǐng)】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為4和9，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)腰為4時(shí)，4+4＜9，所以不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰為9時(shí)，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)是：9+9+4＝22．故選：A．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．7．（2012秋?拱墅區(qū)期末）已知等腰△ABC中，AB＝AC，若AB的垂直平分線與邊AC所在直線相交所得銳角為40°，則等腰△ABC的底角∠B的大小為65°或25°．【思路引領(lǐng)】作出圖形，分①DE與線段AC相交時(shí)，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠A，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計(jì)算即可得解；②DE與CA的延長(zhǎng)線相交時(shí)，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠EAD，再求出∠BAC，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計(jì)算即可得解．【解答】解：①DE與線段AC相交時(shí)，如圖1，∵DE是AB的垂直平分線，∠AED＝40°，∴∠A＝90°﹣∠AED＝90°﹣40°＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC=12（180°﹣∠A）=12（180°﹣②DE與CA的延長(zhǎng)線相交時(shí)，如圖2，∵DE是AB的垂直平分線，∠AED＝40°，∴∠EAD＝90°﹣∠AED＝90°﹣40°＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠EAD＝180°﹣50°＝130°，∵AB＝AC，∴∠ABC=12（180°﹣∠BAC）=12（180°﹣綜上所述，等腰△ABC的底角∠B的大小為65°或25°．故答案為：65°或25°．【總結(jié)提升】本題考查了線段垂直平分線上的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．8．（2021?鄖陽區(qū)模擬）△ABC中，D、E在BC上，且EA＝EB，DA＝DC，若∠EAD＝30°，則∠BAC＝105°．【思路引領(lǐng)】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠AED+∠ADE，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求∠BAE+∠CAD，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解．【解答】解：∵∠EAD＝30°，∴∠AED+∠ADE＝150°，∵EA＝EB，DA＝DC，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAD，∵∠AED+∠ADE＝∠B+∠BAE+∠C+∠CAD，∴∠BAE+∠CAD＝75°，∴∠BAC＝105°．故答案為：105°．【總結(jié)提升】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和和三角形外角的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，其中還有如何根據(jù)圖形，確定各角之間的關(guān)系．9．（2022?平樂縣模擬）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，2），B（4，0）．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．8【思路引領(lǐng)】由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得到AB＝22，然后分類討論：若AC＝AB；若BC＝AB；若CA＝CB，確定C點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】解：∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2，2）、B（4，0）．∴AB＝22，①若AC＝AB，以A為圓心，AB為半徑畫弧與x軸有2個(gè)交點(diǎn)（含B點(diǎn)），即（0，0）、（4，0），∴滿足△ABC是等腰三角形的C點(diǎn)有1個(gè)；②若BC＝AB，以B為圓心，BA為半徑畫弧與x軸有2個(gè)交點(diǎn)（A點(diǎn)除外），即滿足△ABC是等腰三角形的C點(diǎn)有2個(gè)；③若CA＝CB，作AB的垂直平分線與x軸，y軸各有一個(gè)有1個(gè)交點(diǎn)，即滿足△ABC是等腰三角形的C點(diǎn)有2個(gè)；綜上所述：點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，△ABC是等腰三角形，符合條件的點(diǎn)C共有5個(gè)．故選：A．【總結(jié)提升】本題考查等腰三角形的判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思考思考問題，屬于中考?？碱}型．10．（2020秋?鄒城市期中）如果一等腰三角形的頂角為鈍角，過這個(gè)等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的直線將這個(gè)等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形，那么這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為108°．【思路引領(lǐng)】由于本題中經(jīng)過等腰三角形頂點(diǎn)的直線沒有明確是經(jīng)過頂角的頂點(diǎn)還是底角的頂點(diǎn)，因此本題要分情況討論．【解答】解：①如圖，∠ACB是鈍角，直線CD將這個(gè)等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形，AC＝BC＝BD，AD＝CD，設(shè)∠B＝x°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝x°，∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠A＝x°，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2x°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝2x°，∴∠ACB＝3x°，∴x+x+3x＝180，解得x＝36°，∴頂角是108°．②若過A或B作直線，則不能將這個(gè)等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形．綜上所述，這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為108°．故答案為：108°．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理．首先大致畫出符合條件的圖形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理及其推論找到角之間的關(guān)系，列方程求解．11．已知等腰三角形的周長(zhǎng)是40cm（1）若腰長(zhǎng)是底長(zhǎng)的2倍，求這個(gè)等腰三角形各邊的長(zhǎng)；（2）若底長(zhǎng)是腰長(zhǎng)的23【思路引領(lǐng)】（1）等腰三角形腰長(zhǎng)相等，根據(jù)腰長(zhǎng)是底長(zhǎng)的2倍，設(shè)底邊長(zhǎng)為x，則腰長(zhǎng)為2x，2x+2x+x＝40，解答就可．（2）等腰三角形腰長(zhǎng)相等，根據(jù)底長(zhǎng)是腰長(zhǎng)的23，設(shè)腰長(zhǎng)為x，則底邊長(zhǎng)為23x，x+x+23【解答】解：（1）設(shè)底邊長(zhǎng)為x，則腰長(zhǎng)為2x，2x+2x+x＝40，5x＝40，x＝8，2x＝16，所以等腰三角形三邊為16厘米、16厘米、8厘米．（2）設(shè)腰長(zhǎng)為x，則底邊長(zhǎng)為23xx+x+23x＝83x＝40x＝15，23x＝10所以等腰三角形三邊為15厘米、15厘米、10厘米．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程解答．12．（2022秋?樂亭縣期末）如圖，∠BOC＝60°，點(diǎn)A是BO延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OA＝10cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OC以1cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)t＝103或10s時(shí)，△POQ【思路引領(lǐng)】根據(jù)△POQ是等腰三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)P在AO上，或點(diǎn)P在BO上．【解答】解：當(dāng)PO＝QO時(shí)，△POQ是等腰三角形；如圖1所示：∵PO＝AO﹣AP＝10﹣2t，OQ＝1t∴當(dāng)PO＝QO時(shí)，10﹣2t＝t解得t=10當(dāng)PO＝QO時(shí)，△POQ是等腰三角形；如圖2所示：∵PO＝AP﹣AO＝2t﹣10，OQ＝1t；∴當(dāng)PO＝QO時(shí)，2t﹣10＝t；解得t＝10；故答案為：103或10【總結(jié)提升】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)；由等腰三角形的性質(zhì)得出方程是解決問題的關(guān)鍵，注意分類討論．類型三化歸思想13．（2022?大英縣校級(jí)自主招生）在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明同學(xué)從營(yíng)地A出發(fā)，要到A地的北偏東60°方向的C處，他先沿正東方向走了200m到達(dá)B地，再沿北偏東30°方向走，恰能到達(dá)目的地C（如圖），那么，由此可知，B、C兩地相距200m．【思路引領(lǐng)】先求出∠BAC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠C，從而得到∠BAC＝∠C，然后根據(jù)等角對(duì)等邊可得BC＝AB．【解答】解：∵B在A的正東方，C在A地的北偏東60°方向，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵C在B地的北偏東30°方向，∴∠ABC＝90°+30°＝120°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴∠BAC＝∠C，∴BC＝AB＝200m．故答案為：200．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，方向角的定義，根據(jù)角的度數(shù)求出∠BAC＝∠C是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC．試說明∠A＝90°的理由．【思路引領(lǐng)】作CD平分∠ACB交AB于D，過D作DE⊥BC于E，則易得△DBC是等腰三角形，進(jìn)一步可證AC＝EC，△ACD和△ECD關(guān)于角平分線CD對(duì)稱，所以∠A＝∠DEC＝90度．【解答】解：作CD平分∠ACB交AB于D，過D作DE⊥BC于E，∵∠ACB＝2∠B∴∠B＝∠BCD，即△DBC是等腰三角形，而DE⊥BC，∴BC＝2CE，又BC＝2AC，∴AC＝EC，∴△ACD≌△ECD∴∠A＝∠DEC＝90°．【總結(jié)提升】此題主要考查角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；作輔助線是正確解答本題的關(guān)鍵．15．（2020秋?朝陽區(qū)校級(jí)期中）我們知道“對(duì)稱補(bǔ)缺”的思想是解決與軸對(duì)稱圖形有關(guān)的問題的一種重要的添加輔助線的策略，參考這種思想解決下列問題如圖，在△ABC中，D為△ABC外一點(diǎn)．（1）若AC平分∠BAD，CE⊥AB于點(diǎn)E，∠B+∠ADC＝180°，求證：BC＝CD；（2）若∠ACB＝90°，AC＝BC，F(xiàn)是AC上一點(diǎn)，AD⊥BF交BF延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且BF是∠CBA的角平分線．求證：2AD＝BF【思路引領(lǐng)】（1）在AB上取點(diǎn)G，使AG＝AD．證明△ADC≌△AGC（SAS），再利用等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題．（2）分別延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)H．利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．【解答】（1）證明：在AB上取點(diǎn)G，使AG＝AD．∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠GAC，∵AD＝AG，∠DAC＝∠GAC，AC＝AC（公共邊）∴△ADC≌△AGC（SAS），∴DC＝GC，∠CDA＝∠CGA，又∵∠B+∠ADC＝180°，∠CGE+∠AGC＝180°，∴∠B＝∠CGE，∴CB＝CG，又∵DC＝GC，∴CB＝DC．解法二：如圖，過點(diǎn)CR⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于R．∵AC平分∠DAB，CR⊥AR，CE⊥AB，∴CR＝CE，∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDR+∠ADC＝180°，∴∠CDR＝∠B，∵∠R＝∠CEB＝90°，∴△CRD≌△CEB（AAS），∴CB＝CD．（2）證明：分別延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)H．∵BD平分∠CBA，∴∠DBC＝∠ABD，∵AD⊥BF交BF延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∴∠ADB＝∠HDB＝90°，∵∠ADB＝∠HDB，BD＝BD，∠DBC＝∠ABD，∴△ADB≌△BDH（ASA）∠DAB＝∠DHB，AB＝BH，∴△ABH為等腰三角形，又∵BD平分∠CBA，AD＝DH，即2AD＝AH，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∴∠DAB＝0.5（180°﹣∠B）＝90°﹣22.5°＝67.5，∴∠HAC＝22.5°＝∠CBD，∵∠HAC＝∠DBC，AC＝CB，∠ACH＝∠BDA∴△ACH≌△BCF（ASA）∴BF＝AH，又∵2AD＝AH，∴2AD＝BF．【總結(jié)提升】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．16．（2020秋?北京期末）在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等邊三角形△ACD，E為AC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，連接BD．（1）如圖1，若∠BAC＝100°，求∠ABD和∠BDF的度數(shù)；（2）如圖2，∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)M，交EF于點(diǎn)N，連接BN．①補(bǔ)全圖2；②若BN＝DN，求證：MB＝MN．【思路引