北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章：解直角三角形三角函數(shù)培優(yōu)綜合訓(xùn)練（100題含答案）

北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章：解直角三角形（三角函數(shù)）培優(yōu)綜合訓(xùn)練

一、單選題

1.在A4BC中，ZC=90°.tanA和tanB的值是關(guān)于x的方程+m=0的根.則加等于（）

3

A.lB.-lC.^-

33

2.將矩形ABC。按如圖所示的方式折疊，得到菱形AECT.若=，則BE的長(zhǎng)是（）

1

A.1c.一D.2

2

3.在矩形A8CO中，AO=2AB=4,E為AO的中點(diǎn)，一塊足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與E重合，

將三角板繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交A&BC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N,設(shè)NAEM

=a（0°<a<90°）,給出四個(gè)結(jié)論：

①AM=CN@ZAME=NBNE③BN—AM=2④S^EMN=

上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是

A.1B.2C.3D.4

4.如圖，△ABC是等邊三角形，AB=4,E是AC的中點(diǎn)，D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段EF,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，則AF的最小值為（）

A.2B.2V3C.y/3D.V3+1

5.如圖，正方形ABC。中，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F,BHLAE

于點(diǎn)G,連接OG,則下列結(jié)論中①。尸=OH,?/\AOF^/\BGF,③tan/GOH=2,④FG+CH=也GO,

正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

6.如圖，在矩形ABCD中AB=8b，AD=10,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，將這張紙片依次折疊兩次：第

一次折疊紙片使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，如圖2,折痕為MN,連接ME、NE；第二次折疊紙片使點(diǎn)N與

點(diǎn)E重合，如圖3,點(diǎn)B落到B，處,折痕為HG,連接HE,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（^ME〃HG；

②AMEH是等邊三角形；③/EHGLAMN；④tan/EHG孝;

圖1圖2圖3

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為1的正方形0A8C繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形0A4G,

依此方式，繞點(diǎn)。連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方形。4201962019c2019,那么點(diǎn)40I9的坐標(biāo)是（）

A.B.(l,0)C.-冬-11D.(0,-l)

8.如圖，矩形ABC。中，AC與8。相交于點(diǎn)E,A￡＞：A6=G：1，將△ABO沿折疊，點(diǎn)A的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F,連接A尸交于點(diǎn)G,且BG=2,在AO邊上有一點(diǎn)〃，使得+的值最小，此

2

A宕R^3c網(wǎng)

232

9.如圖，4ABC中，AB=AC=10,tanA=2,BE_LAC于點(diǎn)E,力是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則好

5

的最小值是（）

E

D

B

A.2小B.46C.5gD.10

10.如圖，一艘船由A港沿北偏東65。方向航行30gkm至8港，然后再沿北偏西40。方向航行至C港,

C港在A港北偏東20。方向，則A,C兩港之間的距離為（）km.

A.30+30GB.30+10豆C.10+30V3D.30G

11.如圖，已知AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（8,0）,（0,8）,點(diǎn)C、R分別是直線x=-5和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，

CF=/0,點(diǎn)。是線段CF的中點(diǎn)，連接AO交）'軸于點(diǎn)E；當(dāng)面積取得最小值時(shí)，口〃NR4O的

值是（）

8745

A.——B.—C.一D.-

171799

12.如圖，已知等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為2小，兩頂點(diǎn)A、B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸負(fù)半軸、軸的正

半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C在第四象限，連接OC,則線段OC長(zhǎng)的最小值是（）

A.V3-1B.3-V3C.3D，V3

13.如圖：菱形ABC。的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)0,47=46，80=4,動(dòng)點(diǎn)P在線段8。上從點(diǎn)B

向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，PF工A8于點(diǎn)F,PG1BC于點(diǎn)G,四邊形與四邊形尸尸BG關(guān)于點(diǎn)。中心對(duì)稱，設(shè)菱

形A8CD被這兩個(gè)四邊形蓋住部分的面積為S/,未被蓋住部分的面積為S2,BP=X,若S/=S2,則X的

值是（）

A.8-276B.8-2底或2近C.8±2幾D.不存在

14.如圖，在△ABC中，D是AC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)BD,把ABDC沿BD翻折，得到△BDC,,DC與

AB交于點(diǎn)E,連結(jié)AC',若AD=AC，=2,BD=3則點(diǎn)D到BC的距離為（）

A?當(dāng)B.當(dāng)C.布D

15.如圖，在鈍角三角形A8C中，分別以和AC為斜邊向AABC的外側(cè)作等腰直角三角形他E和等

腰直角三角形ACF,平分NAE8交AB于點(diǎn)M，取8C的中點(diǎn)￡>,AC的中點(diǎn)N,連接ON,DE,

DF,下列結(jié)論：①EM=DN；②SACM）=；S四邊形AMN；③?！?。/；④0E1DF.其中正確結(jié)論有

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

16.已知：如圖,在菱形ABCD中,F為邊AB的中點(diǎn),DF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)G,過(guò)G作GEJ_AD于點(diǎn)E,若

AB=2,且N1=N2,則下列結(jié)論：①DF_LAB;②CG=3GA;③CG=DF+GE;④S四邊形BFGC=Q-1中,說(shuō)法正

確的是()

A.①③④B.②③C.①③D.①②③

17.如圖，四邊形A8CO是矩形紙片，AB=2\對(duì)折矩形紙片ABC。，使AO與8C重合，折痕為EF；

展平后再過(guò)點(diǎn)8折疊矩形紙片，使點(diǎn)A落在E尸上的點(diǎn)N,折痕80與￡尸相交于點(diǎn)。；再次展平，連

接BN,MN,延長(zhǎng)MN交6C于點(diǎn)G.以下結(jié)論：①NA8N=60。；②4W=1；③QN=4；④△BMG

是等邊三角形；⑤尸為線段上一動(dòng)點(diǎn)，〃是8N的中點(diǎn)，則PN+P”的最小值是6.其中正確結(jié)

論的序號(hào)是().

E

BGC

A.①②④B.①④⑤C.①③④D.①②③⑤

18.如圖：已知菱形A8CD的頂點(diǎn)B(-2,0),且NA8C=60。，點(diǎn)A在y軸的正半軸上.按以下步驟作

圖：①以點(diǎn)3為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作弧，分別交邊AB、8C于點(diǎn)“、N；②分別以點(diǎn)M、N為圓心，

大于g的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在/4BC內(nèi)交于點(diǎn)尸；③作射線8P,交菱形的對(duì)角線AC于點(diǎn)E,則點(diǎn)

2

E的坐標(biāo)為（)

11二、

C.(彳，1)D.(—,5/3)

19.如圖,在菱形ABC。中,NA=60。,點(diǎn)E在邊3C上,CE=3,尸是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)QF=4,連接。區(qū)BF,若

N。破=2/則菱形ABCD的面積為（）

A.166B.246C.32后D.3673

20.如圖，正方形ABC。中，以BC為邊向正方形內(nèi)部作等邊ABCE.連接AE.DE,連接B。交CE于凡

DF

下列結(jié)論：①NAED=150。②△DEF?△BAE；③tan/ECQ=——④ZXBEC的面積：△8FC的面積（也

FB

+1）：2,其中正確的結(jié)論有（）個(gè).

A.4B.3C.2D.1

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+4與x軸交于點(diǎn)A,與），軸交于點(diǎn)8,與直線y=近交于

點(diǎn)C（4,〃），則tan/OCB的值為（）

C.在

5

22.如圖，在R3ABC中，ZABC=90°,AB=BC=五,將44BC繞點(diǎn)C逆時(shí)針轉(zhuǎn)60°,得到△MNC,則

BM的長(zhǎng)是（）

A.lB.V3C.2D.l+V3

23.如圖，在矩形4BCD中，AB=3,BC=4,P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接。P,將直線DP繞點(diǎn)P順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)使NDPG=ND4C,且過(guò)。作DGJLPG,連接CG,則CG最小值為（）

噫

24.AABC中，BC=6,AB=2y/3,/A2C=30。，點(diǎn)P在直線AC上，點(diǎn)尸到直線A3的距離為1,則CP

的長(zhǎng)為（）

B鯉c逗或犯!D鯉或晅

33333

25.如圖，菱形A8CD中，點(diǎn)E,F分別在邊AB,8c上.將菱形沿EF折疊，點(diǎn)2恰好落在邊AO上的

點(diǎn)G處.若/B=45。，AE=y/2,8E=2/,貝ljtanNEFG的值是（）

.5D包

A-3C.2

2

26.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AE±BD,垂足為F,則cos/BDE的值是（）

2>/2￡￡D,巫

A.B.C.

3434

27.如圖，在正方形紙片ABC。中，對(duì)角線AC、8。交于點(diǎn)。，折疊正方形紙片ABC。，使A。落在

8。上，點(diǎn)A恰好與8。上的點(diǎn)尸重合.展開(kāi)后，折痕。E分別交A3、AC于點(diǎn)E、G.連接GE.下

列結(jié)論:①ZAGD=112.5;②tanZAED=2；③SMGD=SSOCD；④四邊形AEFG是菱形;⑤BE=2OG.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②③④⑤B.①②③④C.①③④⑤D.①④⑤

28.如圖，QABCO的頂點(diǎn)B、C在第二象限，點(diǎn)A（-3,0）,反比例函數(shù)y=&（k<0）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和

X

AB邊的中點(diǎn)D,若NB=a,則k的值為（）

A.-4tanaB.-2sinaC.-4cosaD.-2tan

29.矩形ABC。中，AD=2AB=2血,E是AD的中點(diǎn)，RfNFEG頂點(diǎn)與點(diǎn)E重合，將NFEG繞點(diǎn)

E旋轉(zhuǎn),角的兩邊分別交AB,8c（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M,N,設(shè)NAME=a（0°<a<90°）,有下

列結(jié)論：①8M=CN；②AA/+CN=亞；③SAEMN=，-，其中正確的是（）

D

.w

B----TT~c

\G

A.①B.②③C.①③D.①②③

30.如圖，從點(diǎn)A看一山坡上的電線桿PQ,觀測(cè)點(diǎn)P的仰角是45，向前走6m到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得頂端點(diǎn)P

和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別是60和30，則該電線桿PQ的高度（）

A.6+2&B.6+73C.10一百D.8+73

31.已知。為銳角，且Gtan?。一（l+6）tanC+1=0,則a的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.30°或45°D.45°或60°

32.如圖，已知直線1：y=x3x,過(guò)點(diǎn)A（0,1）作y軸的垂線交直線1于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B作直線1的垂線交y

3

軸于點(diǎn)Ai；過(guò)點(diǎn)Ai作y軸的垂線交直線1于點(diǎn)Bi,過(guò)點(diǎn)&作直線1的垂線交y軸于點(diǎn)A2；…按此作法繼

續(xù)下去，點(diǎn)B2013的坐標(biāo)為（）

A.(420,2x73，42°12)B.QMGxG，24026)c.(24°26x百，2蝕4)D.(44024X73，44024)

33.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,P為CD的中點(diǎn)，連結(jié)AP,過(guò)點(diǎn)B作BELAP于點(diǎn)E,延長(zhǎng)CE交

AD于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作CHLBE于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)H,連接HF.下列結(jié)論正確的是（）

34.如圖，在△ABC中,ZC=90°,ZA=30°,D為AB上一點(diǎn)，且AD：DB=1：3,DE_LAC于點(diǎn)E,連

接BE,則tanZCBE的值等于（）

4R2G「373D.竽

A.-D.-----

334

35.如圖，RtZiABC中，ZBCA=90°,AC=BC,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段AD上，DF=CD,BF

交CA于E點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作DA的垂線交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,下列結(jié)論：①CF=EF?BF；②AG=2￡>C；③AE

=EF；④AF?EC=EF,EB.其中正確的結(jié)論有（）

C.①③④D.②③④

36.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,延長(zhǎng)BA至E,使AE=1,連接EC、ED,則sinNCED=（）

D

A3同B叵c.匹D.匹

10101015

37.如圖，△ABC和aCDE均為等腰直角三角形，點(diǎn)B,C,D在一條直線上，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，下列

BC

結(jié)論：?tanZAEC=一；@SAABC+SACDE^SAACE；③BMJ_DM；④BM=DM,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

CD

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

38.如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE1AC,垂足為點(diǎn)F,連接DF,分析下列四個(gè)結(jié)論:

①△AEFsMAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan/CAD咚其中正確的結(jié)論有()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

39.如圖，矩形ABCD中，AB=3,AD=JL將矩形ABCD繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到矩形EBGF,

此時(shí)恰好四邊形AEHB為菱形，連接CH交FG于點(diǎn)M,則HM=()

C-TDf

40.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E、尸分別為邊A。、BC上的點(diǎn)，EF=5點(diǎn)、G、”分

別為AB、CO邊上的點(diǎn)，連接G",若線段G”與EF的夾角為45，則G”的長(zhǎng)為（）

A.75B.^2C.拽D.百

33

3

41-如圖’直線y2X+3交x軸于A點(diǎn)，將一塊等腰直角三角形紙板的直角頂點(diǎn)置于原點(diǎn)。，另兩個(gè)頂

3

點(diǎn)M、N恰落在直線y=—x+3上，若N點(diǎn)在第二象限內(nèi)，則tan/AON的值為（）

4

1

D.-

8

42.如圖，小黃站在河岸上的G點(diǎn)，看見(jiàn)河里有一小船沿垂直于岸邊的方向劃過(guò)來(lái).此時(shí)，測(cè)得小船。的

俯角是NEDC=30，若小黃的眼睛與地面的距離OG是1.6米，8G=0.7米，BG平行于AC所在的直

線，迎水坡的坡度為i=4:3,坡長(zhǎng)A8=10.5米，則此時(shí)小船C到岸邊的距離。的長(zhǎng)為（）

米.（&1.7，結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）

A.11B.8.5C.7.2D.10

43.如圖，將△ABC沿角平分線BD所在直線翻折，頂點(diǎn)A恰好落在邊BC的中點(diǎn)E處，AE=BD,那么

tanZABD=（）

5

C.一D.顯

62

44.如圖，四邊形ABCD中，ZABC=RtZ.已知NA=a,外角/DCE邛，BC=a,CD=b,則下列結(jié)論錯(cuò)

誤的是（）

A.ZADC=90°-a+pB.點(diǎn)D到BE的距離為b?sinp

a+b-cosB

C.AD=.................-D.點(diǎn)D到AB的距離為a+bcosp

cosa

45.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形OAB的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,2），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，將

△OAB沿直線0A的方向平移至△（TAB，的位置，此時(shí)點(diǎn)A，的橫坐標(biāo)為3,則點(diǎn)B，的坐標(biāo)為（）

A.（273，4）B.（26,3）C.（3技4）D.（3班，3）

46.如圖，一張三角形紙片ABC,其中NBAC=60。，BC=6,點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將BD,CD翻折使

得B，，。分別落在AB,AC邊上，（B與B：C與C，分別對(duì)應(yīng)），點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C,△BCD面

積的大小變化情況是（）

A

c

B"'DC

A.一直減小B.一直不變C.先減小后增大D.先增大后減小

47.將一副三角板如下圖擺放在一起，連接AD,,則NADB的正切值為（）

D

二

AL

百+1口67

A-V3-1B.6+1C.

2'2

48.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是3,BP=CQ,連接AQ,DP交于點(diǎn)0,并分別與邊CDBC交于點(diǎn)

F,E,連接AE,下列結(jié)論：?AQ±DP；@O/^=OEOP-.③SAOD=S四邊物9ECF；④當(dāng)BP=1

時(shí)，tan/0AE=j1,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

0

ABP

A.lB.2C.3D.4

49.如圖，在菱形紙片ABCD中，ZA=60°,將紙片折疊，點(diǎn)A,D分別落在點(diǎn)A，，D，處，且ATT經(jīng)過(guò)

CF

點(diǎn)B,EF為折痕，當(dāng)D，F(xiàn)J_CD時(shí)，=的值為（）

D

D與

"T-1

50.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,近），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6,0）,將△AOB繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定

的角度后得到△403,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4在x軸上，則點(diǎn)。'的坐標(biāo)為（）

213匚、253G

A<|，卡）C.(—,—>/5)D.(彳,耳。5)

51.如圖，矩形ABCD與菱形EFGH的對(duì)角線均交于點(diǎn)O,且EG〃BC,將矩形折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)O重

合，折痕MN恰好過(guò)點(diǎn)G若AB=份，EF=2,ZH=120°,則DN的長(zhǎng)為（）

A.咚B.叁氈C.指_抬D.2括-指

52.如圖，在等腰R/A4BC中，ZC=90°,AC=6,。是AC上一點(diǎn)，若tan/r>8A=J,則AO的

長(zhǎng)為（).

A.2B.V3C.V2D.1

53.如圖，將一張正方形紙片A8CD對(duì)折，使CO與AB重合，得到折痕MN后展開(kāi)，E為CN上一點(diǎn),

將△C￡>E沿QE所在的直線折疊，使得點(diǎn)C落在折痕上的點(diǎn)F處，連接AF,BF,BD則下列結(jié)論中：

①△AOF是等邊三角形;②tan/EBF=2一下）^SAAOF=gs1K方形相°;④B產(chǎn)=QF-EF.其中正確的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

54.如圖，在菱形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于為半徑作弧，

2

兩弧交于點(diǎn)M,N；②作直線MN,且MN恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與CD交于點(diǎn)E,連接BE,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的

是（）

所

A.ZABC=60°B.S=2SC.若AB=4,則3E=4A/7D.sinZCBE=-—

ABFMDE14

二、填空題

55.正方形A8C。中的邊長(zhǎng)為4,對(duì)角線AC、2。交于點(diǎn)O,E為0c邊上一點(diǎn)，連接AE交于F,BG

1AE于點(diǎn)G,連接0G,若ZDGE=45°,則SAFGO=

4

56.如圖，直線產(chǎn)-x+6與x軸、y軸分別交于4,B兩點(diǎn),P是反比例函數(shù)y=—(x>0)圖象上位于直線

X

下方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作X軸的垂線，垂足為點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)N,交

AB于點(diǎn)尺則A尸.

57.如圖，在菱形紙片A8C。中，AB=3,/A=60。，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在C。的中點(diǎn)E處，折

痕為尸G,點(diǎn)尸，G分別在邊A8,ADk,則tan/EFG的值為.

58.如圖，在反比例函數(shù)y=-2的圖象上有一點(diǎn)A,連接A0并延長(zhǎng)交圖象的另一支于點(diǎn)B,在第一象限

X

內(nèi)有一點(diǎn)C,滿足AC=BC,當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y二人的圖象上運(yùn)動(dòng)，若tanNCAB=3頻lJk=.

x

59.(2017遼寧省盤(pán)錦市，第18題，3分)如圖，點(diǎn)4(1,1)在直線尸上，過(guò)點(diǎn)4分別作y軸、x

軸的平行線交直線,=乎”于點(diǎn)囪，&,過(guò)點(diǎn)&作,軸的平行線交直線于點(diǎn)4,過(guò)點(diǎn)A?作'軸的平

行線交直線于點(diǎn)按照此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)A“的橫坐標(biāo)為.

60.如圖所示，己知：點(diǎn)A(0,0),B(括，0),C(0,1)在△ABC內(nèi)依次作等邊三角形，使一邊在x

軸上，另一個(gè)頂點(diǎn)在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個(gè)△AAjB”第2個(gè)ABIA2B2,第3個(gè)

△B2A3B3,…，則第〃個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)等于.

61.如圖,在四邊形ABCO中，對(duì)角線4cm交于點(diǎn)E,點(diǎn)E為8。的中點(diǎn)，ZBAC+ZBDC=180°,AB=CD=5,

tanZACB=—,則AD=

2

D

62.已知：如圖，在△ABC中，COSNABC=Y2,sinNACB=①，AC=2,分別以AB,AC為邊向△ABC

22

形外作正方形ABGF和正方形ACDE,連接EF,點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，連接AM,則AM的長(zhǎng)為.

63.如圖，鐵路的路基是等腰梯形ABC。，斜坡A。、8c的坡度i=l：1.5,路基AE高為3米，現(xiàn)由單線

改為復(fù)線，路基需加寬4米，(即A”=4米)，加寬后也成等腰梯形，且GH、BF斜坡的坡度『=1：2,若

路長(zhǎng)為10000米，則加寬的土石方量共是立方米.

H4B

64.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A(6,0),B(0,8),點(diǎn)C在OB

上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)E；。是x軸上一點(diǎn)，作菱形CDEF,當(dāng)頂點(diǎn)尸恰好落在)，軸正半軸上時(shí)，

點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的值為.

65.如圖：正方形ABCQ的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E,F分別為BC,CQ邊的中點(diǎn)，連接AE,8F交于點(diǎn)尸，連接

PD,則tanNAPD=

3

66.如圖，已知。ABCD中，AB=16,AD=10,sinA=），點(diǎn)M為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN_LAB,

交AD邊于點(diǎn)N,將NA沿直線MN翻折，點(diǎn)A落在線段AB上的點(diǎn)E處，當(dāng)△CDE為直角三角形時(shí)，

AM的長(zhǎng)為.

三、解答題

67.在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，oABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,0）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,

2百），點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn).

（1）如圖1,求NDAO的大小及線段DE的長(zhǎng)；

（II）過(guò)點(diǎn)E的直線1與x軸交于點(diǎn)F,與射線DC交于點(diǎn)G.連接OE,△0￡卜是4OEF關(guān)于直線OE對(duì)

稱的圖形，記直線EF與射線DC的交點(diǎn)為H,AEHC的面積為36.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，求GH,DG的長(zhǎng);

②當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H的右側(cè)時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）.

68.定義：在等腰三角形中，對(duì)于頂角的每一個(gè)確定的值，其底邊與腰的比值都是唯一確定的，這個(gè)比值

BC

是頂角的正對(duì)函數(shù).例如：圖①，在^ABC中，AB=AC,頂角A的正對(duì)函數(shù)記作sadA,sadA=-----或sadA

AC

BC

(I)在圖①中，若NB=60。，貝UsadA=.

(2)如圖②，在△ABC中，AB=AC,若/BAC=120。，求sad/BAC.

4

(3)在RtAABC中，ZC=90°,sinA=y,直接寫(xiě)出三個(gè)內(nèi)角的正對(duì)函數(shù)值.

69.通過(guò)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因

此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系.我們定義：等腰

三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)(sad).如圖1,在△ABC中，AB=AC,頂角A的正對(duì)記作sadA,

這時(shí)sadA=與g=史.容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正

腰AB

對(duì)定義，解答下列問(wèn)題：

(l)sad60°=；

(2)對(duì)于0°<ZA<180°,ZA的正對(duì)值sadA的取值范圍是

3

(3)如圖②，已知sinA=),其中NA為銳角，試求sadA的值.

70.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=30cm,BC=40cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以5cm/s的速度沿AC

向終點(diǎn)C勻速移動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作PQLAB,垂足為點(diǎn)Q,以PQ為邊作正方形PQMN,點(diǎn)M在AB邊上，連

接CN.設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t(s).

(1)PQ=；(用含t的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)點(diǎn)N分別滿足下列條件時(shí)，求出相應(yīng)的t的值；①點(diǎn)C,N,M在同一條直線上；②點(diǎn)N落在BC

邊上；

(3)當(dāng)△PCN為等腰三角形時(shí)，求t的值.

71.已知△ABC中，ZA=2ZB,NC為鈍角，且/A、B、C所對(duì)的邊為a,b,c的長(zhǎng)度均為整數(shù)，則△ABC

的周長(zhǎng)最小值為多少？

72.點(diǎn)E是正方形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，連接BE、CE、DE,JiAB=CE.

(1)如圖1,求NBED的度數(shù);

EH

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)E作EFLBE,KBE=EF,連接。F,〃為的中點(diǎn).求——的值.

EC

73.在RSABC中，ZACB=90°,AC=BC,D為AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn)，把△PBD沿PD

翻拆，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，設(shè)PE交AC于F,連接CD

A

(1)求證：APCF的周K=&CD；

PE5

(2)設(shè)DE交AC于G,若*=2CD=6,求FG的長(zhǎng)

EF3

74.如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZC=90°,BC=16,DC=12,AD=21.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿

射線DA的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速

度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)D,C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的

時(shí)間為t(秒).

(1)設(shè)ABPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，以B、P、Q三點(diǎn)為頂?shù)椎娜切问堑妊切危?/p>

(3)當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)0,且2A0=0B時(shí)，求NBQP的正切值；

(4)是否存在時(shí)刻t,使得PQJ_BD?若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

75.如圖(1),已知正方形ABCD,E是線段BC上一點(diǎn)，N是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以AE為邊在直

線BC的上方作正方形AEFG.

圖（1）圖（2）

（1）連接GD,求證：DG=BE；

（2）連接FC,求/FCN的度數(shù)；

（3）如圖（2）,將圖（1）中正方形ABCD改為矩形ABCD,AB=m,BC=n（m、n為常數(shù)），E是線段

BC上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C）,以AE為邊在直線BC的上方作矩形AEFG,使頂點(diǎn)G恰好落在射線CD

上.判斷當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，NFCN的大小是否總保持不變？若NFCN的大小不變，請(qǐng)用含m、n

的代數(shù)式表示tan/FCN的值；若NFCN的大小發(fā)生改變，請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明.

76.兩塊等腰直角三角形紙片AOB和按圖1所示放置，直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)。處，AB=25,

CD=17.保持紙片AOB不動(dòng)，將紙片C。。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0<a<90）角度，如圖2所示.

（1）利用圖2證明AC=8。且AC，80；

（2）當(dāng)8。與CO在同一直線上（如圖3）時(shí)，求AC的長(zhǎng)和a的正弦值.

77.如圖，△ABC中，ZBAC=60°,AB=2AC.點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PA=U，PB=5,PC=2,求△ABC

的面積.

A

78.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形OABC的邊OA,OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B(12,4),

點(diǎn)D(3,0),點(diǎn)E(0,2),過(guò)點(diǎn)D作DFLDE,交AB于點(diǎn)F,連結(jié)EF,將△DEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針?lè)较?/p>

旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為。(0°<0<180°).

(1)求tan/DFE.

(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)△DFE的一邊與直線AB平行時(shí)，求直線AB截△DFE所得的三角形的面積.

(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)NDFE的兩邊所在直線與y軸圍成的三角形為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo).

備■用圖

79.如圖，回ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，AO=6,若。4、。8的長(zhǎng)是關(guān)于龍的一元二次方程式一"+12=0

的兩個(gè)根，且OA>OB.

(1)求sinNABC的值.

(2)若E為龍軸上的點(diǎn)，且，"OE=g，求經(jīng)過(guò)E兩點(diǎn)的直線的解析式，并判斷^AOE與△D4。是

否相似?

(3)若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線A3上是否存在點(diǎn)F,使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為

菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出尸點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

80.已知:RsABC中,NACB=90。,點(diǎn)。為斜邊AB的中點(diǎn),△OEF的頂點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC±.

EFR

⑴如圖①,△DEF的面積為VL/EZ)F=90。,若，求AABC的面積;

AB3

4

⑵若4c=6,sinA=亍翻折NC,使點(diǎn)C與點(diǎn)。重合，折痕為EF,如圖②所示，求EF的長(zhǎng)和四邊形CEDF的面積;

⑶若AC=BC,A8=4,/EDF=90。,如圖③所示.

①EC+CF的值是否為定值?若是,請(qǐng)予以證明;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由;

Ar3

②連接CD交EF于點(diǎn)P,若鏟=丁，求DP的值.

BC8

B

②

81.如圖，以菱形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2逐，

0)、(0,-6)，直線DEJ_DC交AC于E,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿著A—D—C

的路線向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)APDE的面積為S(S8)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)求直線DE的解析式；

(2)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；

(3)當(dāng)t為何值時(shí)，ZEPD+ZDCB=90°?并求出此時(shí)直線BP與直線AC所夾銳角的正切值.

82.把兩個(gè)全等的A4BC和AD所紙片重疊在一起，固定A4BC,將△￡)石尸進(jìn)行如下變換:

(1)如圖1：將ADE廠沿線段C8向右平移(即點(diǎn)F在線段C8上移動(dòng))，連結(jié)AF、AD,DB，請(qǐng)直接寫(xiě)

出SMCF與S\ADB的大小關(guān)系?

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)平移到線段CB的中點(diǎn)時(shí)，若四邊形4月3。為正方形，則A4BC應(yīng)滿足什么條件？請(qǐng)

給出證明.

(3)在(2)的條件下，將&D所沿。尸折疊，點(diǎn)E落在FA的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)G處，連結(jié)CG.

①請(qǐng)根據(jù)題意畫(huà)出圖形；

②求出sinNACG的值.

83.如圖，AC是某市環(huán)城路的一段，AE,BF,CD都是南北方向的街道，其與環(huán)城路AC的交

叉路口分別是A,B,C.經(jīng)測(cè)量花卉世界D位于點(diǎn)A的北偏東45。方向、點(diǎn)B的北偏東

30。方向上，AB=2km,NDAC=15。。

(1)求B、D之間的距離；

(2)求C、D之間的距離。

84.如圖，點(diǎn)M是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，連接AM,點(diǎn)E是線段AM上一點(diǎn)，/CDE的平分線

交AM延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)如圖1,若點(diǎn)E為線段AM的中點(diǎn)，BM：CM=1：2,BE=而，求AB的長(zhǎng);

(2)如圖2,若DA=DE,求證：BF+DF=&AF.

85.（1）證明推斷：如圖（1）,在正方形ABC。中，點(diǎn)、E,。分別在邊8C,A8上，力QJ_AE于

點(diǎn)。，點(diǎn)G,尸分別在邊CD,AB上，GF1AE.

①求證：DQ-AE；

②推