2021高考排列組合歸納20大專題（解析版）

專題1兩個計數(shù)原理

類型一、加法原理

【例1】高二年級一班有女生18人，男生38人，從中選取一名學(xué)生作代表，參加學(xué)校組織的調(diào)查團(tuán)，問選

取代表的方法有幾種.

【解析】18+38=56.

【例2】若a、6是正整數(shù)，且a+bW6,則以（小6）為坐標(biāo)的點共有多少個？

【解析】6'6=36.

【例3】用。到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（）

A.324B.328C.360D.648

【解析】由題意知本題要分類來解，

當(dāng)尾數(shù)為2、4、6、8時，個位有4種選法，

因百位不能為0，所以百位有8種，十位有8種，共有8創(chuàng)84=256

當(dāng)尾數(shù)為。時，百位有9種選法，十位有8種結(jié)果，

共有9倉圖1=72

根據(jù)分類計數(shù)原理知共有256+72=328

故選：B.

【例4】用數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為（）

A.8B.24C.48D.120

【解析】由題意知本題需要分步計數(shù)，

2和4排在末位時，共有￡=2種排法，

其余三位數(shù)從余卜的四個數(shù)中任取三個有￡二4倉舊2=24種排法，

根據(jù)由分步計數(shù)原理得到符合題意的偶數(shù)共有2'24=48（個）.

故選：C.

【例5】用0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字，可以組成一個大于3000,小于5421的數(shù)字不重復(fù)的四位數(shù).

【解析】分四類：①千位數(shù)字為3,4之一時，百十個位數(shù)只要不重更即可，有2￡二120個；

②千位數(shù)字為5時，百位數(shù)字為0,1,2,3之一時，有/彳=48個；③千位數(shù)字為5時，百位數(shù)字是4,十位

數(shù)字是0,1之一時，有個；最后還有5420也滿足題意.

所以，所求四位數(shù)共有120+48+6+1=175個.

故答案為175.

類型二、乘法原理

1

【例6】公園有4個門，從一個門進(jìn)，一個門出，共有種不同的走法.

【解析】根據(jù)題意，要求從從任一門進(jìn)，從任一門出，

則進(jìn)門的方法有4種，出門的方法也有4種，

則不同的走法有4'4=16種

【例7】將3個不同的小球放入4個盒子中，則不同放法種數(shù)有.

【解析】根據(jù)題意，依次對3個小球進(jìn)行討論：

第一個小球可以放入任意一個盒子，即有4種不同的放法，

同理第二個小球也有4種不同的放法，

第三個小球也有4種不同的放法，

即每個小球都有4種可能的放法，

根據(jù)分步計數(shù)原理知共有即4創(chuàng)44=64不同的放法，

故答案為：64.

【例8】如果在一周內(nèi)（周一至周日）安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求

甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余兩所學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法共有種.

【解析】分兩步完成，第一步先安排甲學(xué)校參觀，共六種安排方法；第二步安排另外兩所學(xué)校，共有6安

排方法，故不同的安排種法有6'《二120,

故答案為120.

【例9】高二年級一班有女生18人，男生38人，從中選取一名男生和一名女生作代表，參加學(xué)校組織的調(diào)

查團(tuán)，問選取代表的方法有幾種.

【解析】C'?C；8=684

【例10】六名問學(xué)報名參加三項體育比賽，每人限報一項，共有多少種不同的報名結(jié)果？

【解析】每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，

可得共有不同的報名方法36=729種.

【例11】六名同學(xué)參加三項比賽，三個項目比賽冠軍的不同結(jié)果有多少種？

【解析】由題意，每項比賽的冠軍都有6種可能，

因為有3項體育比賽，所以冠軍獲獎?wù)吖灿?創(chuàng)66:6,種可能

【例12】用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且

1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是（用數(shù)字作答）.

【解析】解析：可分三步來做這件事：

第一步：先將3、5排列，共有另種排法；

2

第二步：再將4、6插空排列，插空時要滿足奇偶性不同的要求，共有2/種排法；

第三步：將1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有種排法.

由分步乘法計數(shù)原理得共有用?2片?以=40（種）.

答案為：40

【例13】從集合｛1,2,3,…，11｝中任選兩個元素作為橢圓方程二y+4=1中的胴和〃，則能組成落在矩形

mn

區(qū)域8=｛（x,y）||x|<11,且|yK9）內(nèi)的橢圓個數(shù)為（）

A.43B.72C.86D.90

【解析】橢圓落在矩形內(nèi)，滿足題意必須有，，/〃，所以有兩類，

一類是小，〃從｛1,2,3,%6,7,8｝任選兩個不同數(shù)字，方法有q=56

令一類是〃?從9,10,兩個數(shù)字中選一個，〃從｛1,2,3,%6,7.8｝中選一個

方法是：2'8=16

所以滿足題意的橢圓個數(shù)是：56+16=72

故選：B.

【例14］若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函

數(shù)解析式為y=--,值域為卜1,-9｝的“同族函數(shù)”共有（）

A.7個B.8個C.9個D.10個

【解析】定義域是集合的子集，且子集中至少應(yīng)該含有-1、1中的一個和-3、3中的一個，

滿足條件的定義有:｛-1,-3｝、｛-1,3｝、｛1,-3｝、｛1,3｝、｛-1,1,-3｝、｛-1,1,3｝、｛-1,-3,

3｝、｛1,-3,3｝、｛-1,1,-3,3｝,共9個.

故選：C.

【例15】某銀行儲蓄卡的密碼是一個4位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位和個位上的數(shù)

字（如2816）的方法設(shè)計密碼，當(dāng)積為一位數(shù)時，十位上數(shù)字選0,并且千位、百位上都能取0.這樣設(shè)

計出來的密碼共有（）

A.90個B.99個C.100個D.112個

【例16】從集合｛-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5）中，選出5個數(shù)組成子集，使得這5個數(shù)中的任何兩個

數(shù)之和不等于1,則取出這樣的子集的個數(shù)為（）

A.10B.32C.110D.220

【解析】從集合｛-1,-2,-3,-4,0,1,2,3,4,5｝中，隨機(jī)選出5個數(shù)組成

子集，共有GQ5種取法，即可組成個子集，

3

記”這5個數(shù)中的任何兩個數(shù)之和不等于1”為事件力，

而兩敬夕和為1的數(shù)絹分別為(-1,2).(-2,3),(-3.4)(-4,5).(0,1),

彳包含的結(jié)果有①只有有一組數(shù)的和為I,有C$1C43c21c21c21二160種結(jié)果

②有兩組數(shù)之和為1,有。$2?。61=60種，

則A包含的結(jié)果共有220種

故答案為：220.

【例17］若％、y是整數(shù)，且|x|W6,|x|W6,則以(x,y)為坐標(biāo)的不同的點共有多少個？

【解析】整數(shù)％,y滿足|x|W6,|x|W6

則x1A-{-6,-5,-4,-3,-2,-1?0>1,2,3,4,5,6}>ytB-{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,

3,4,5,6},

從4種選一個共有13種方法，從8選一個共有13種方法，

故有13'13=169種.

故答案為：169.

【例18】用0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字：

⑴可以組成個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù).

⑵可以組成個數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù).

【解析】(1)根據(jù)題意，分2步分析：

①、先選百位，百位可以在1、2、3、4、5中任選I個，則百位有5種方法，

②、在剩下的5個數(shù)字中任選2個，安排在十位、個位，有6=20種選法，

則可以組成5'20-100個無重復(fù):數(shù)字的三位數(shù)

(2)分3步進(jìn)行分析：

①、先選百位，百位可以在1、2、3、4、5中任選1個，則百位有5種選法，

②、再選十位，十位可以在0、1、2、3、4、5中任選1個，則十位有6種選法，

③、最后分析個位，個位可以在0、1、2、3、4、5中任選1個，則個位有6種選法，

則可以組成5創(chuàng)66=180個數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)；

【例19】六名同學(xué)報名參加三項體育比賽，共有多少種不同的報名結(jié)果？

【解析】3創(chuàng)33倉G30336

【例20】將3名教師分配到2所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少一名教師，則不同的分配方案共有()種.

A.5B.6C.7D.8

【解析】將3名教師分配到2所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名教師，

只有一種結(jié)果1.2,

首先從3個人中選2個作為一個元素，

使它與其他兩個元素在一起進(jìn)行排列，

共有6種結(jié)果，

故選：B.

類型三、基本計數(shù)原理的綜合應(yīng)用

【例21】用0,3,4,5,6排成無重復(fù)字的五位數(shù)，要求偶數(shù)字相鄰，奇數(shù)字也相鄰，則這樣的五位數(shù)

的個數(shù)是.（用數(shù)字作答）

【解析】按首位數(shù)字的奇偶性分兩類：

一類是首位是奇數(shù)的，有:團(tuán)W；

另一類是首位是偶數(shù)，有：

則這樣的五位數(shù)的個數(shù)是：耳a+（吊-團(tuán)）團(tuán)=20.

故答案為：20.

【例22】若自然數(shù)〃使得作豎式加法〃+（〃+1）+（〃+2）均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象.則稱〃為“可連數(shù)”.例如：32

是“可連數(shù)”，因32+33+34不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；23不是“可連數(shù)”，因23+24+25產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象.那么，小

于1000的“可連數(shù)”的個數(shù)為（）

A.27B.36C.39D.48

【解析】如果〃是良數(shù)，則〃的個位數(shù)字只能是0,1,2,非個位數(shù)字只能是0,1,2,3（首位不為0）,

而小于1000的數(shù)至多三位.

一位的良數(shù)有0,1,2,共3個

二位的良數(shù)個位可取0,1,2,十位可取1,2,3,共有3'3=9個

三位的良數(shù)個位可取0,1,2,十位可取0,1,2,3,百位可取1,2,3,共有3創(chuàng)43=36個.

綜上，小于1000的“良數(shù)”的個數(shù)為3+9+36=48個

故選：D.

【例23】由正方體的8個頂點可確定多少個不同的平面？

【解析】依題意，正方體的8個頂點所確定的平面有：6個表面，6個對角面，8個正三角形平面共20個.

故答案為：20

【例24】分母是385的最簡真分?jǐn)?shù)一共有多少個？并求它們的和.

5

【解析】因為385=5x7x11,在1?385這385個自然數(shù)中，5的倍數(shù)有［字］=77（個），

7的倍數(shù)有［箜］=55（個），11的倍數(shù)有［箜］=35（個），

5x7=35的倍數(shù)有［票］=11（個），5x11=55的倍數(shù)有［迺］=7（個），

7x11=77的倍數(shù)有［券］=5（個），385的倍數(shù)有1個.

由容斤原理知，在1?385中能被5、7或11整除的數(shù)有77+55+35-（11+7+5）+1=145（個），

而5、7、11互質(zhì)的數(shù)有385-145=240（個）.即分母為385的真分?jǐn)?shù)有240（個）.

如果有一個真分?jǐn)?shù)為二，則必還有另一個真分?jǐn)?shù)箜二即以385為分母的最簡真分?jǐn)?shù)是成對出現(xiàn)的，

385385

而每一對之和恰為1.故以385為分母的240最簡分?jǐn)?shù)可以分成120時，它們的和為1x120=120.

【例25】用0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字，可以組成個大于3000,小于5421的數(shù)字不重復(fù)的

四位數(shù).

【解析】分四類：①千位數(shù)字為3,4之一時，百十個位數(shù)只要不重復(fù)即可，有26=120個；

②千位數(shù)字為5時，百位數(shù)字為0,1,2,3之一時，有耳彳=48個；③千位數(shù)字為5時，百位數(shù)字是4,十位

數(shù)字是0』之一時，有44二6個；最后還有5420也滿足題意.

所以，所求四位數(shù)共有120+48+6+1=175個.

故答案為175.

【例26】某通訊公司推出一組手機(jī)卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“創(chuàng)創(chuàng)創(chuàng)0000”到

“創(chuàng)創(chuàng)創(chuàng)9999”共10000個號碼.公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“4”或“7”的一律作為“優(yōu)惠卡”，

則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為（）

A.2000B.4096C.5904D.8320

【解析】丁1OOOO個號碼中不含4、7的有84-4096,

\"優(yōu)惠卡''的個數(shù)為10000-4096=5904,

故選：C.

【例27】同室4人各寫1張賀年卡，先集中起來，然后每人從中各拿1張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡

不同的分配方式有（）

A.68.9種C.11種。.23種

【解析】設(shè)四人分別為a、b、c、",寫的卡片分別為力、B、C、D,

由于每個人都要拿別人寫的，即不能拿自己寫的，故。有三種拿法，

不妨設(shè)。拿了4,則人可以拿剩下三張中的任一張，也有三種拿法，c?和"只能有一種拿法，

所以共有3創(chuàng)39種分配方式，

6

故選：B.

【例28】某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個節(jié)目

插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為（）

A.504B.210C.336D.120

【解析】???由題意知將這3個節(jié)目插入節(jié)目單中，原來的節(jié)目順序不變，

\三個新節(jié)目一個一個插入節(jié)目單中，

原來的6個節(jié)目形成7個空，在這7個位置上插入第一個節(jié)目，共有7種結(jié)果，

原來的6個和剛插入的一個，形成8個空，有8種結(jié)果，同理最后一個節(jié)目有9種結(jié)果

根據(jù)分步計數(shù)原理得到共有插法種數(shù)為7創(chuàng)89=504,

故選：A.

【例29】某班學(xué)生參加植樹節(jié)活動，苗@1中有甲、乙、丙3種不同的樹苗，從中取出5棵分別種植在排成

一排的5個樹坑內(nèi)，同種樹苗不能相鄰，且第一個樹坑和第5個樹坑只能種白種樹苗的種法共（）

A.15種B.12種C.9種D6種

【解析】?.?同種樹苗不相鄰且第一個樹坑和第5個樹坑只能種甲種樹苗，

、只有中間三個坑需要選擇樹苗，當(dāng)中間一個種甲時，第二和第四個坑都有2種選法，共有4種結(jié)果，

當(dāng)中間一個不種甲時，則中間一個種乙或丙，

當(dāng)中間這個種乙時，第二和第四個位置樹苗確定，

當(dāng)中間一個種丙時，第二和第四個位置樹苗確定，

共有2種結(jié)果，

'總上可知共有4+2-6種結(jié)果，

故選：D.

【例30】用。到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（）

A.324B.328C.360D.648

【解析】由題意知本題要分類來解，

當(dāng)尾數(shù)為2、4、6、8時，個位有4種選法，

因百位不能為0,所以百位有8種，十位有8種，共有8創(chuàng)84=256

當(dāng)尾數(shù)為。時，百位有9種選法，十位有8種結(jié)果，

共有9創(chuàng)81=72

根據(jù)分類計數(shù)原理知共有256+72=328

故選：B.

7

【例31】足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得。分，那么一個隊打14場共得

19分的情況有（）

43種B.4種C.5種D.6種

【解析】得3分最多6場，則1分的1場，剩余的場次均得0分；若3分的共5場，則1分的共4場；若3

分的共4場，則1分的共7場；若得3分的共3場，則1分的共9場；若得3分的2場，則1分的13場，

不合題意，故選8

8

專題2排列數(shù)組合數(shù)

類型一、排列數(shù)組合數(shù)的簡單計算

【例1】對于滿足〃213的正整數(shù)〃，(/?-5)(/?-6)...(n-12)=()

A.A，B.A'C.D.A-

【解析】C.

【例2】計算耳=.

【解析】210

【例3】計算A：。，A：；

【解析】AJ=720；A?=720

【例4】計算C；=,C；=.

【解析】C"2LC”21

【例5】計算C：0,C；；

【解析】Cj1U=o120；C：=28

【例6】計算A；,A\,%嗑C：「C：9.

【解析】A5=210,Aj=5040,C?=35,%=1225,￡+￡=1140

【例7】已知A；"]=140A：,求〃的值.

【解析】由A&I=140A；,得伽+1)(2力(2〃叫伽一2)=140〃(〃叫(〃一2),故

(2/7+1)(2/?-1)=35(/2-2),BP4/72-1=35/7-70,解得〃-3或〃=,(舍)

【例8】解不等式4；＜64一2

【解析】8

【解析】由]；＜64；2,得(10一同(9—xj＜6,有x=8,才=9或x=10,又x?8,故x=8

【例9】證明：A；-9A：+8A；=A；.

【解析】證明:A；-9A；+8A”A；—A：+8A；=8A；=A；

【例10】解方程A；”100Aj.

【解析】13

9

【例11】解不等式A；<6A「.

【解析】同第9題

【例12］解方程：UC：=24C>

【解析】10

【例13】解不等式：C；-1>X；.

【解析】7或8

【例14】設(shè)叼表示不超過》的最大整數(shù)(如0=2,恪=1),對于給定的，定義C*="5T)匕

L4Jnx(x-1)LCr-［JT］+1)

「3、

xw［l,+8),則當(dāng)xe—，3時，函數(shù)C；的值域是()

A.他28~|B.但56

_3J|_3)

(281,\f,161,.(28-

C.4A,—U［r28,56)D.4,—U—,2o8o

【解析】D.

【例15】組合數(shù)5(〃>「21,〃、下€2)恒等于()

A.—C^',B.(〃+l)G+l)C~；C.n￡；l\D.-C^'

【解析】D.

【例16】已知(3，￡歌￡鬻=3:5:5,求m、〃的值.

【解析】由c：］:C：］=5:5知力+1+加+2=刀+2,即為+1=〃，又5C：+2=3C鬻，有加一3〃一1=0,

解m=2,〃=5.

類型二、排列數(shù)組合數(shù)公式的應(yīng)用

【例17】己知C片+C/<《<%—《；，求.的值.

【解析】由cr+c；；v%〈C2-C7得CQ2<%<％,即〃=3,所以C；「1330.

【例18］若C『=Cr，ScN),則〃=

【解析】4

【例19］若C：T：C：:C：z=3：4：5,貝"-卬=

10

n\n\3

【解析】由得7初=3〃+3；

fa-1)l(/i—m+1)!m!(/i—m)!4'

nIn!4勿=27-

又----------F=E，得%?=4/7-5,解方程組有,故n-m=3Q[5

m\(n-m)\fa+1)!(/?-m-L)!□〃=62

【例20】證明:心=ft+l)CA+,+^CA

【解析】證明:Q+1)C丁+AC：=Q+1)3+gc"=〃c3+〃c3=〃c

n11n

【例21】證明:y—cy=_!—支c弋.

￡/+i"〃+i￡ff41

1n1

【解析】證明:z

n+1里C2+L

C*+

用一小~2~nOn+4

【例22】求證：A：T=A：：+S—l)At.

22

【解析】證明：A"：+(fli-l)A'-=S—勿+1)A“：+-DA"；=A?-I

【例23】證明：S"C：=〃-2f

*-0

【解析】證明：

￡AC：=OC；+1C；+2C；+L+比；=1C；-2C；+L+仁=〃C"+〃C"+L+〃C>：=〃.獷

*-0

【例24】證明：C*+2C2+3C3+L+/?Ctf=-^°+C1+L+C").

i>2nn〃

【解析】證明:令S=C；+2C：+3C：+???+”C，

-1

則5=+…+3C：+2C；+C'=/?+(〃-]????+3c+2c丁+C"

所以2s=nC^+nC\,+nC：+〃C：+…+”C：=n(C[+C'+???+C：)

nnnNnnnn

故c：+2a+3C+…+yq?+c：+…+c：)

【例25】求證：C；+C'+C\+L+C[=C-+I；

【解析】證明：C：+C；JC、2+L+C1

11

=6：：+C-）+C'+L+C；

=C/?+l+C\+L+Cn

/?+2〃+2n+ar

=（C：：；+G+2）+GJ??+CL,

=C"；+C2L+Cn=L

/i+3n+3〃+肘

n+1

=Cn^a+1

【例26】計算：C2+Q,C：+C；+C>L+%

【解析】C；9+C^=CJOO=161700;

C；+C；+C；+L+C；3=e+C>C；+L+/=L=*=《=1902

【例27】證明：C：C：+C：C：T+C：C：2+L+C：C；=C".（其中AWm力血,〃｝）

【解析】算兩次，現(xiàn)有加+〃個相同的球，其中黑球加個，紅球〃個，現(xiàn)從這加+〃中取出攵個球（其中

kWh.AM，/?｝）,則共有C>種取法；另一方面，取出的4個球的顏色為紅色的情形共有C：C"C'mc：-,

Cf；，……C”種情形,故C：C：+C：CACC：2+L+C"=C"

【例28】解方程C：+s=C：；"G；；+：A〉

【解析】由c1=c<+c/+,AL得，c"=c"+c二+3），

即C：“+C"=C"+?A>,有C;、A：3,解得X=14

【例29】確定函數(shù)A：的單調(diào)區(qū)間.

【解析】（x）=A；=1XG-DG_2）=L/—/+2*,求導(dǎo)/（切=￥-2X+2,故在［3,+oo）上單調(diào)遞增.

3333

【例30】規(guī)定A：=xCr-l）La-加+1）,其中xeR,皿為正整數(shù)，且A：=l,這是排列數(shù)A：（〃，/〃是

正整數(shù)，且加的一種推廣.

（D求A：的值；

⑵排列數(shù)的兩個性質(zhì)：①A；=〃A：：,②A：+mA：」=A：H（其中勿，〃是正整數(shù)）.是否都能推廣到

A：（xwR,〃是正整數(shù)）的情形?若能推廣，寫出推廣的形式并給予證明；若不能，則說明理由.

【解析】（1）A:=（一⑸（-15-1）J15-2）=-4080

（2）性質(zhì)①能推廣，推廣形式為A：=媯::，

12

證明：當(dāng)初=1顯然成立，

當(dāng)勿\2時，A；=A-(X-1)(A--2)L(x-m+1)=X[(A--1)Cr-2)LG-卬十1)]=x[A：二[=AA二；，故成立.

性質(zhì)②能推廣，推廣形式為A：+mA；=A：+1

證明：當(dāng)m=1顯然成立，

當(dāng)初?2時，A*=X(￥-1)(Y-2)L(￥-/?+1),mA："二加才(￥—1)(Y-2)L(jc-m+2)

所以A：+勿A："=X(Y-1)(￥-2)L(x-m+1)+/2?^(Y-1)(Y-2)L(Y-/?+2)

=xCr-1)Gr-2)LCr一勿+2)[(x—6+1)+勿]

=Cr+l)xCr-1)Cr-2)LG—勿+2)

=A：+1

故性質(zhì)②的推廣成立.

13

專題3排隊問題

例1.記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不

同的排法共有（）

A.1440種B.960種C.720種D.48Q種

【解析】可分3步.

第一步，排兩端，丁從5名志愿者中選2名有6=20種排法，

第二步，???2位老人相鄰，把2個老人看成整體，與剩下的3名志愿者全排列，有m=24種排法

第三步，2名老人之間的排列，有*=2種排法

最后，三步方法數(shù)相乘，共有20x24x2=960種排法

故選：B.

例2.12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的

相對順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是（）

A.B.C；屋C.C；履D.

【解析】從后排8人中選2人共C；種選法，

這2人插入前排4人中且保證前排入的順序不變，

則先從4人中的5個空擋插入一人，有5種插法；

余下的一人則要插入前排5人的空擋，

有6種插法，

.?.為《

故選：C.

例3.10名同學(xué)進(jìn)行隊列訓(xùn)練，站成前排3人后排7人，現(xiàn)體育教師要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，

若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)為（）

A.B.C；&C.C；A；D.

【解析】由題意知本題是一個分步計數(shù)問題，

首先從后排的7人中選出2人，有C；種結(jié)果，

再把兩個人在5個位置中選2個位置進(jìn)行排列有片,

14

.??不同的調(diào)整方法有c；《，

故選：B.

例4.在數(shù)字1,2,3與符號+,-五個元素的所有全排列中，任意兩個數(shù)字都不相鄰的全排列個數(shù)是（）

A.6B.12C.24D.18

【解析】在數(shù)字1,2,3與符號”五個元素的所有全排列中，

先排列1,2,3,

有吊=6種排法，

再將“-”兩個符號插入，

有用=2種方法，共有12種方法,

故選：B.

例5.計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一列，要求同一品種的畫必須

連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的排列方式的種數(shù)有（）

A.44B.力：6C.D.承：&

【解析】先把每種品種的畫看成一個整體，

而水彩畫只能放在中間，

則油畫與國畫放在兩端有國種放法，

再考慮4幅油畫本身排放有父種方法,

5幅國畫本身排放有4種方法，

故不同的陳列法有團(tuán)團(tuán)&種，

故選：D.

例6.3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若女生甲不站兩端，3位男生中有且只有兩位男生相鄰，

則不同排法的種數(shù)是（）

A.360B.288C.216D.96

【解析】先考慮3位男生中有且只有兩位相鄰的排列

共有C；石力：4；=432種，

在3男生中有且僅有兩位相鄰且女生甲在兩端的排列有2xC；用《用=144種,

15

不同的排列方法共有432-144=288種

故選：B.

例7.公因數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù).例如：2與7互質(zhì)，1與4互質(zhì).在1,2,3,4,5,6,7的

任一排列四?4?巴?4?%?%?%中，使相鄰兩數(shù)都互質(zhì)的不同排列方式共有（）種.

A.576B.720C.864D.1152

【解析】根據(jù)題意，先排1、5、7,有@=6種情況，排好后有4個空位，

對于2、4、6和3這四個數(shù)，

分兩種情況討論：①3不在2、4中間，可先將2、4、6排在4個空位中，有團(tuán)=24種情況，3不能放在6

的兩邊，有.5種排法，則此時有24x5=120種不同的排法，

②3在2、4之間，將這三個數(shù)看成整體，有2種情況，與6一起排在4個空位中，有4：=12種情況，則此

時有2x12=24種不同的排法，

則2、4、6和3這四個數(shù)共有120+24=144種排法；

則使相鄰兩數(shù)都互質(zhì)的不同排列方式共有6x144=864種；

故選：C.

例8.12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人

的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（）

A.168B.20160C.840D.560

【解析】從后排8人中選2人共C；種選法，

這2人插入前排4人中且保證前排人的順序不變，

則先從4人中的5個空擋插入一人，有5種插法；

余下的一人則要插入前排5人的空擋，

有6種插法，「.6x5

則不同調(diào)整方法的種數(shù)是仁彳=840.

故選：C.

例9.2007年12月中旬，我國南方一些地區(qū)遭遇歷史罕見的雪災(zāi)，電煤庫存吃緊.為了支援南方地區(qū)抗災(zāi)

救災(zāi)，國家統(tǒng)一部署，加緊從北方采煤區(qū)調(diào)運電煤.某鐵路貨運站對8列電煤貨運列車進(jìn)行編組調(diào)度，決

定將這8列列車編成兩組，每組4歹U，且甲、乙兩列列車不在同一小組，甲列車第一個開出，乙列車最后

16

一個開出.如果甲所在小組4列列車先開出，那么這8列列車先后不同的發(fā)車順序共有（）

A.36種B.108種C.216種D.720種

【解析】由于甲、乙兩列列車不在同一小組，因此，先將剩下的6人平均分組有

再將兩組分別按要求排序，各有《種，

因此，這8列列車先后不同的發(fā)車順序共有=720種.

故選：D.

例10.有四名男生，三名女生排隊照相，七個人排成一排，則下列說法正確的有（）

A.如果四名男生必須連排在一起，那么有720種不同排法

B.如果三名女生必須連排在一起，那么有576種不同排法

C.如果女生不能站在兩端，那么有1440種不同排法

D.如果三個女生中任何兩個均不能排在一起，那么有1440種不同排法

【解析】4中4：H=576,

8中可&=720,

C中+3團(tuán)）=1440,

。中=1440.

綜上可得：正確.

故選：CD.

例11.用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相

鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有576個.（用數(shù)字作答）

【解析】首先把1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰當(dāng)做三個元素進(jìn)行排列有用種結(jié)果，

這三個元素形成四個空，把7和8在這四個位置排列有團(tuán)種結(jié)果，

三對相鄰的元素內(nèi)部各還有一個排列4，

根據(jù)分步計數(shù)原理得到這種數(shù)字的總數(shù)有彳片片=576,

故答案為：576.

例12.5男4女站成一排，分別指出滿足下列條件的排法種數(shù)

17

(1)甲站正中間的排法有種，甲不站在正中間的排法有種.

(2)甲、乙相鄰的排法有種，甲乙丙三人在一起的排法有種.

(3)甲站在乙前的排法有種，甲站在乙前，乙站在丙前(不要求一定相鄰)的排法有種，丙在

甲乙之間(不要求一定相鄰)的排法有種.

(4)甲乙不站兩頭的排法有種，甲不站排頭，乙不站排尾的排法種有種.

(5)5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有種.

(6)女生互不相鄰的排法有種，男女相間的排法有種.

(7)甲與乙、丙都不相鄰的排法有____種.

(8)甲乙之間有且只有4人的排法有種.

【解析】(1)甲站正中間的排法有8!,用不站在正中間的排法有8x8!；

(2)甲、乙相鄰的排法有2x8!,甲乙丙三人在一起的排法有6x7!；

(3)甲站在乙前的排法有‘9!,甲站在乙前，乙站在丙前(不要求一定相鄰)的排法有19!,丙在甲乙之

26

間(不要求一定相鄰)的排法有;9!；

(4)甲乙不站兩頭的排法有片㈤；甲不站排頭，乙不站排尾的排法有9!-2x8!+7!；

(5)5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有2x5!x4I；

(6)女生互不相鄰的排法有5!義心男女相間的排法有5!x4!；

(7)甲與乙、丙都不相鄰的排法有9!-2x8!x2+2x7!；

(8)甲乙之間有且只有4人的排法，捆綁法.2x4；x4!.

故答案為：(1)8!,8x8!(2)2x8!,6x7!(3)-9!,-9!,-9!；

263

(4)44；9!-2x8!+7!；(5)2x5!x4!；(6)5!,5!x4!x2

(7)9!-2x8!x2+2x7!；(8)2x4；x4!.

例13.古代“五行”學(xué)說認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火,

火克金.”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰，則這樣的排列方法

有10種(結(jié)果用數(shù)值表示).

【解析】由題意，可看作五個位置排列五種事物，第一位置有五種排列方法，不妨假設(shè)排上的是金，

則第二步只能從土與水兩者中選一種排放，故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水，

18

第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，

故總的排列方法種數(shù)有5x2x1x1x1=10

故答案為10

例14.從集合｛尸，Q,R,S｝與｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中各任取2個元素排成一排（字母和

數(shù)字均不能重復(fù)）、每排中字母。和數(shù)字。至多只能出現(xiàn)一個的不同排法種數(shù)是一5832.（用數(shù)字作答）、

【解析】各任取2個元素排成一排（字母和數(shù)字

均不能重復(fù)），共有每排中字母0和數(shù)

字0都出現(xiàn)有

符合題意不同排法種數(shù)是

C：G3：—GC；4：=5832.

故答案為：5832

例15.從集合｛O,P,。，R,S｝與｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中各任取2個元素排成一排（字

母和數(shù)字均不能重復(fù)）.每排中字母。，0和數(shù)字。至多只能出現(xiàn)一個的不同排法種數(shù)是（用數(shù)

字作答）.

【解析】由題意知每排中字母。，。和數(shù)字0至多只能出現(xiàn)一個，本題可以分類來解

（1）這三個元素只選。，有C；C；4=3x36x24

（2）這三個元素只選。同理有3x36x24

（3）這三個元素只選0有=3x9x24

（4）這三個元素000都不選有=3x36x24

根據(jù)分類計數(shù)原理將（1）（2）（3）（4）力口起來3x36x24+3x36x24+3x9x24+3x36x24=8424

故答案為：8424

例16.兩部不同的長篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷1本，共8本.將它們?nèi)我獾嘏懦梢慌牛?/p>

左邊4本恰好都屬于同一部小說的概率是_奈_（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）.

【解析】由題意知本題是一個古典概型，

總事件數(shù)是8本書全排列有《種方法，

而符合條件的事件數(shù)要分為二步完成：

19

首先兩套中任取一套，作全排列，有&?