2023年江西省贛州市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考真題(含答案帶解析)

2023年江西省贛州市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考

真題(含答案帶解析)

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題(30題)

1.

—1

lim(l+x)x+limxsin-=()

XTO*

A.eB.e-1C.e+1D.e''+l

下列關(guān)于極值的命題中，正確的是()

A.若，(/)=0,則%一定是/(%)的極值點(diǎn)

2B.極大值一定大于極小值

C.若/是/(幻的極值點(diǎn)，則X。一定是/(x)的駐點(diǎn)

D.若在與處取得極值且/'(%)存在，則/(玉))=0

3.

ln(2-x)

歹=口7^的定義域是()

7x

A.(-oo,2)B.(0,+oo)C.(0,2]D.(0,2)

4.

已知極限四就7=2.則a的值是(

A.1B.-1C.2D.-j-

5.

函數(shù)》=，4+/+arctan十的定義域是

A.1―4?+8)B.(—4*+8)

C.[—4?0)U(0*4-oo)D.(-4.0)|JM+8)

6.

lim嗎[1)=

Z戶一1

A.1B.2

7.

微分方程半=?的通解為

cLr

A.y=e‘B.v=ex+C

8.

()

JVCT(1+x)

A.-yarctan\fr—CB.-^-arccotx+C

C.2arccot-/x+CD.2arclan4x+C

9.

空間直線4：S1=B=三與，2：匕2=T=三*的位置關(guān)系是（）

132-122-14

A.異面直線B.相交但不垂直C.平行D.垂直相交

10.

當(dāng)if0時(shí).下列無(wú)窮小量與ln（l+2z）等價(jià)的是（）

A.xB.C.x2D.sin2,r

11.

過(guò)點(diǎn)(-1,2,3)且平行于的直線是

4

=3-2=z-3B中y+2之+3

一'^2~4-22

_y-2_—-3n1—1=?+2=■+3

4=—2=24—-2—2

12.

設(shè)/(/是連續(xù)函數(shù)，滿足/(X)=\+萼「/(公心?，則lim/Q：)=

1HzJ：-ih-?g

A.0B.-f-.C.fD.f

0v00

13.

籌級(jí)數(shù)￡(-D一且〒r的收斂區(qū)間是

A.(0,2]B.1),2)C.(0,2)D.[0,2]

14.

微分方程x亞=y+/的通解是；/=()

dx

xCx，

A.—F—B.-----1-CxC.-----卜CD.~—

4x234

15.

設(shè)/(x>的定義域?yàn)镽.則g(x)=/(a)-/(-J-)

A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)

C.不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)D.是奇函數(shù)也是偶函數(shù)

16.

.設(shè)函數(shù)/(J)=「(W+?)山，則f(.r)=

Jo

A.一<?-”+-yX3B.—+21

C.「+T2D.—+2.r

微分方程孫2=工的通解為()

2

A.ln(l+x2)-^-=Cr

B.ln(l+丹—=c

2

x2

C.arctany------=CD.arctanx-Jc

17.22

18.

*oc

若級(jí)數(shù)ga.收斂于S,則￡(a+a小一a—2)收斂于()

A.S+a]B.S+a?

C.S+a2D,Sa】+牝

19.

.已知d[e-J/(.r)]=e，d.r?/(0)=0*則fix')=()

A.e"+exB.e2r-e，C.e"+e-D.e。-

20.

下列函數(shù)中.在口.eI上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的是()

A.lnln.rB.In/c.—ln.rD.|x-2|

21.

,由方程-ry=In.rv確定的隱函數(shù)彳=X(v)的導(dǎo)數(shù)孚為()

dv

A.—三BTC.xyD.

yxxy

22.

定積分=()

A.1-e'B.1-eC.2-e1D.2-e

23.

已知/(x)的一個(gè)原函數(shù)為等.則J=(

A.2"更4-CB."至+cC.2c°sG+cD.2c°s府+c

五五G工

24.

函數(shù).y=Iog42+log477的反函數(shù)是()

2=2—B.y=221

C.y—421D.y=4i-1

25.

設(shè)/(丁)是連續(xù)函數(shù).則八/)也是()

A./(T)的一個(gè)原函數(shù)B./(.r)的全體原函數(shù)

C.2.r?/(.r)的一個(gè)原函數(shù)D.2I?/(.?)的全體原函數(shù)

26.

.曲線y=i+e，在點(diǎn)(0.1)處的切線方程為()

A.y+1=2(1—0)B.y—2<r+1

C.y=2x—3D.了-1=i

27.

設(shè)"(Gdi=ie*+C,則f(x)=

()

A.xeTB.1-xez

C.+JCD.(x+De'

28.

lim>1-

設(shè)函數(shù)f(x)=J則f(.r)在/=1處()

x—1,.r<1?

A.不連續(xù)B.連續(xù)但不可導(dǎo)

C.連續(xù)且/(I)=-1D.連續(xù)且/(I)=1

29.

已知級(jí)數(shù)?則卜列結(jié)論正確的是)

8

若lim"“=0.則￡收斂

M-8.I

OO8

3.若X"”的部分和數(shù)列（SJ有界.則￡”,，收斂

1??1

88

二若夕Iu?I收斂.則絕對(duì)收斂

I?■?1

8OO

〉若^I""發(fā)散?則?〃也發(fā)散

30.

設(shè)f(x)="一，那么/{/[/(X)])=()

A.—B.—UrC.-^D.1

XX—11-x

二、填空題（20題）

31.

已知函數(shù)f（.r）在上=3處可導(dǎo).若.-極A限=—4,則f（3）=

32.

?i仇小]

設(shè)矩陣A=?,f>2di.且|A|=3,|B|=1.則|A+B|=

?3b3d.

33.

設(shè)平面區(qū)域D：*+y2wR2,則二重積分y'didy=

34設(shè)函數(shù)Z(IILT)=2#+函則尸。⑻I)=

35已知y=a5+e2j,+3sinx?則y"。⑶=

QQ-w+1)sin2jdjr=_________

36.」t

交換二次積分I=的積分次序，則I=

JuJ0

38.

(X=IncosZ,

若由參數(shù)方程J所確定的函數(shù)［，=）3是微分方程率=y+e-，的解.則

[y=asect

常數(shù)。=

設(shè)？=（t—1）（/—3）山，則y（o）=

Ju

廣義積分「=

J1+e

40.

41.

已知L是拋物線上點(diǎn)0（0.0）與B（l,l）之間的一段弧，則jjds

tanx-sinx

設(shè)函數(shù)/(%)=「s.x—'、>'在x=0處連續(xù)，則常數(shù)左=

e-x+k,x<Q

42.

ri

廣義積分5是的（填“收斂”或“發(fā)散”）?

43.

已知函數(shù)F(r>是/<.?)的一個(gè)原函數(shù).則不定積分/(2x)dr=

44.)

設(shè)/'(Imr)=J?.則f(x)cb=

45.J

設(shè)函數(shù)f(x)=.J,則/(I)=

46.、2+i

47微分方程/一仃'十5》=0的通解為

sin2jf）八

----,1V。，

設(shè)f（Jc}=.：：在Z=。處連續(xù),則k=

/o―2z+K,工30

若基級(jí)數(shù)在4=-3處條件收斂，則該級(jí)數(shù)的收斂半徑為.

49.”0

復(fù)數(shù)的實(shí)部為，

50.

三、計(jì)算題(15題)

計(jì)算定積分/=[x/sin2j?—sin4.rdj-.

51.

求極限lim-一三△三……三——

L。，1+tan3——1—4

52.

53.

計(jì)算二重積分J（2r+y）da.其中。是由》==1.3=0所圍成的平面閉區(qū)域.

D

再+彳2=5,

解線性方程組?2萬(wàn)+%2+七+2L=1，

5%+3X2+2X3+2X4=3.

求定積分「等空

sin/df

求極限lim(e'-1)sirur?o______

1—cos.r.r4

56.

求微分方程J+”:的通解.

58.

計(jì)算sin//+、,2d.rd_y.其中D為圓環(huán)：兀？&.r2+??汁4K2.

求

59.

設(shè)？=/(In—⑺，其中/可微?求華.

QX

60.

61.

設(shè)函數(shù),y=.y(x)由參數(shù)方程JC=cosr.j=sinz—rcosr確定，求用

(1/

判別￡；"'號(hào)an〃的斂散悵

62.

計(jì)算不定積分［

,r*VIC)

63.

設(shè)z=fix—y,xy｝其中/■有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求學(xué)，3《主.

64dxdy3xdy

65.

設(shè)曲線y=/Q)上任一點(diǎn)(z，?)處的切線斜率為三+/,且該曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，)，求

函數(shù)y=/(①).

四、證明題(10題)

證明：當(dāng)0Vi<1時(shí).a-2)ln(l-彳)>2z.

66.

67.

設(shè)函數(shù)八］)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且/(1)=1,證明，在(0,1)內(nèi)至少存在

一點(diǎn)二使得f(&+§/'(?一2￡=0成立.

、nub-atbb-a

當(dāng)b>a>0,證明-----<ln—<------,

68.baa

69.

求拋物線y=1一.產(chǎn)及其在點(diǎn)(1.0)處的切線和y軸所圍成圖形的面積,并計(jì)算該圖

形繞3,軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積.

70.

設(shè)函數(shù)/（2在閉區(qū)間［0,1］上可導(dǎo),且八0）?/（D<0.證明在開(kāi)區(qū)間（0,1）內(nèi)至少存在

一點(diǎn)￡使得2/（$）+=0.

71.

已知/（X）在［0,1］上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且y（o）=/（l）=o,試證，在（0,1）內(nèi)至

少存在一點(diǎn)&,使得/'⑶cos€=/（g）sinf成立.

72.

證明方程In.r=-----11—cos2idi在區(qū)間（e,F）內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根.

eJo

證明；當(dāng)/>0時(shí)，有（1+/）ln（1十二）〉arctanj".

73.

74.

設(shè)/（.r）在［-a,a］上連續(xù)（a>0.為常數(shù)）.證明jf（.r）cLr=I［/（.r）+/（—x）］dz,

J-aJ0

并計(jì)算。f答di.

J-f1+ex

75.

設(shè)八工）在［0.1］上連續(xù).在（0.1）內(nèi)可導(dǎo).且2,/G）dr=/（0）.證明：存在《e（0.1）.

使/'⑷=0.

五、應(yīng)用題（10題）

76.

曲線》=￡3（］?0）.直線.r+.y=2以及y軸圍成一平面圖形D.試求平面圖形D繞

了軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

77.

擴(kuò)音器桿頭為圓柱形.截面半徑r=0.15cm,長(zhǎng)度/=4cm,為了提高它的導(dǎo)電性能.

要在這上柱體的側(cè)面上鍍一層厚度為0.001cm的純銅，問(wèn)大約需要多少克純銅?（已知銅的比

重為8.9g/cm3）

78.

求由直線］=3=e,_y=0及曲線,v=Y所圍成平面圖形的面積.

79.

用薄鐵板做一體積為。的有蓋圓柱形桶，問(wèn)桶底直徑與桶高應(yīng)有怎樣的比例，才能

使所用材料最省.

80.

平面圖形由拋物線.y?=2a?與該曲線在點(diǎn)（9,1）處的法線圍成.試求：

（1）該平面圖形的面積；

（2）該平面圖形繞1軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積.

81.

某工廠生產(chǎn)x件商品的總成本C（x）=1000+10x,當(dāng)銷售價(jià)格為10（百元/件）時(shí),

銷售量為600件，銷售價(jià)格每提升1（?百元/件），則銷售量將會(huì)減少60件,

問(wèn)：當(dāng)每件的銷售價(jià)格定為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

82.

已知函數(shù)f（z）=J求由y==0,.r=l,y=0所圍成圖形繞/軸旋

yrn7

轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積.

83.

用G表示由曲線_y=ln.r及直線/十=1,1y=1圍成的平面圖形.

(1)求G的面積；

(2)求6繞》軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

84.

要建造一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方形水池，其底和壁的總面積為192m2,問(wèn)水池的尺寸如何設(shè)計(jì)

時(shí)，水池的容積最大？

85.

求曲線y=In］在區(qū)間(2,6)內(nèi)的一點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線與直線x=2.1=6以及

y=In］所圍成的平面圖形面積最小.

六、綜合題(2題)

設(shè)函數(shù)/(x)=x1+or*4-2x:+b(x￡R),其中a"WR.

(1)當(dāng)a=一當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)JS的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(工)僅在1=0處有極值，求a的取值范圍.

86.

已知函數(shù)/Xz)=X3-31+1.試求：

(1)函數(shù)/(公的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)曲線y=/(X)的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)；

(3)函數(shù)/(.r)在閉區(qū)間［2,3］上的最大值與最小值.

87.

參考答案

D

.1

-?sin-

【評(píng)注】原式+東

+lim-^=6-*+1.

l.DX

2.D

D

【評(píng)注】關(guān)于極值點(diǎn)，我們有如下結(jié)論：極值點(diǎn)只是局部范圍內(nèi)的最大值點(diǎn)或最小值

點(diǎn)；極值點(diǎn)可能在駐點(diǎn)或者不可導(dǎo)點(diǎn)處取得：如果函數(shù)可導(dǎo)，則極值點(diǎn)一定為駐點(diǎn)；

駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)都不一定是極值點(diǎn)，我們需要根據(jù)駐點(diǎn)（或者是不可導(dǎo)點(diǎn)）左右兩側(cè)

導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)進(jìn)一步判斷駐點(diǎn)（不可導(dǎo)點(diǎn)）是否是極值點(diǎn)，所以，只能選D.

D

3口【評(píng)注】2-%>0且x>0.

4.D

【精析】lim—=lim——?-!-=^-=2,故a=《.

一。sinar—osinaz'aaL

5.C

（44->0,

要使函數(shù)有意義，則J解得工2一4且①云。.應(yīng)選C.

.rW0,

6.D

［答案］D

【精析】lim嗎才―J=limsimQ二】).lim-J—=1xJ=).故應(yīng)選D.

LlX-1x-1X—1z-1.z+1ZZ

7.D

L答案」D

【精析】平"vS<l.r蟲(chóng)d.rIn|vI-,r!<'iv==Ce*.故應(yīng)選D.

d.r'yv

8.D

I—：----dx=2——-----dx=2-7-^-d->/x=2arctanV^H-C.

J6(l+.z)J277(1+J：)JI-

9.D

【精析】因?yàn)楫?dāng)/f。時(shí)sin2H?2x,ln(l+2］)?2aT,

10.D所以當(dāng)xf。時(shí)ln(1+2.r)?sin2.r.故應(yīng)選D.

ll.A

L答案」A

【精析】因?yàn)橹本€平行于二m號(hào)三:?所以所求直線的方向向量為小一22.又

4—ZZ

該直線過(guò)點(diǎn)(?1?2舟).故所求直線為—二。:一.

4—ZZ

12.B

設(shè)「J(Z＞"=I,對(duì)題中等式兩邊取[1,口上的定積分，

得1=「21,

J-111X

則1=^4竽d力=Y/i二心+]j=4-arctanzI+0=專?

3J-i1+x3J-i1-x3J-i1+x3I-i6

故=lim/-=-F故選B?

,1-，-?8\1十]，0)6

13.A

【精析】p=lim3=lim?/：、Li=1,故收斂半徑R=1.即Iz—1IVI，

|nt1(—

8eo

0＜工＜2.當(dāng)工=0時(shí).級(jí)數(shù)為￡(-1)1匕z叱=Z-2，發(fā)散;當(dāng)7=2時(shí),級(jí)數(shù)為

H-]“?-|

￡(一1)1!，由萊布尼茨審斂法知其收斂，故募級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(0,21.

14.B

B解析：考查一階線性微分方程求通解.整理方程x?=y+7,得一階線性微分方

dx

程的標(biāo)準(zhǔn)形式V-」y=x2,代入通解公式即得.

X

15.B

[答案:]B

【精析】g(—x)—f(—.r)—/(j)=-"(H)—/(—x)]=—g])，所以g(z)為奇函

數(shù).本題選B.

_,2zJ

16C/(.r)=([(c+z)d/)=e~+f,故應(yīng)選C.

17.C

C

【評(píng)注】本題考查的是可分離變量的微分方程的通解，對(duì)微分方程分離變量，然后兩

邊同時(shí)積分，可知了-92=工的通解為arctany-1=C,所以選C.

18.B

［答案］B

【精析】由￡&收斂于S?則lim&=0,且前〃項(xiàng)和S|(n)=,則有l(wèi)imS(")=S.

―1，=i

3

令V(%+〃卡—。—2)的前〃項(xiàng)和為S?(〃)，即1(〃)=。|一生一+5+4—+…

M

+?w-i+u?-a1rH-a0+a1rH-a?2=g《+生-a—2，

?-i

w

故limS2(力)=lim(Ea,-4-a—\=S-a—0=S十a(chǎn).

?-I222

[答案]B

【精析】由d[e—"(w)]=eJd.r得e-x/(.r)=ex+C,

2x

即/(j)=e+CeL把/(0)=0代入得C=-1.

19.B/(&')=e"—e"故應(yīng)選B.

20.B

【精析】四個(gè)選項(xiàng)中只有B項(xiàng)滿足拉格朗日值定理的兩個(gè)條件?故應(yīng)選B.

【精析】?jī)蛇呂⒎郑芒賒3+ydx=—(Zdy+_ydi).

即(}一?了7=(r----尸了,所以會(huì)=—故應(yīng)選A.

【精析】e-Td;r=—(TT=1—e-】，故應(yīng)選A.

22.AJ。0

23.C

【精析】f6)dz=2[/(6)d(石)=2出用+C.故應(yīng)選C.

JvxJvx

24.C

【精析】_y=log42+log4G=log《22G=4,?

兩邊平方.得4.r=42、所以i=421,

互換w與3得反函數(shù)為.y=/I(—8v/V+8).故應(yīng)選C.

25.C

22

【精析】(「f(t)dtV=24(/).即「/(力山是21?/(/)的一個(gè)原函數(shù).

\Ja'Ju

26.B

［答案］B

【精析】因?yàn)?=1+eL)，’=l+e0=2.

.r=0

所以切線方程為y一1=2Q?-0),即y=21+1.應(yīng)選B.

27D【精析】?jī)蛇呁瑫r(shí)求導(dǎo)，得八］)=(l+l)e"故選D.

28.D

［答案］D

【精析】因?yàn)閘imfix)=limIn.r=0.lim/(.r)=lim(jr—1)=0,/(1)=Ini=0.

1-*「

所以f(x)在①=1處連續(xù).

又因?yàn)椋?1)=lim八①)一/⑴=］imJJH_=lim==1.

Ql)=lim盤(pán)［⑴=lim匕=L

T-l-彳-1I--L1

因?yàn)?(.r)在.r=1處可導(dǎo)且/(I)=1.故應(yīng)選D.

A項(xiàng)中若““=’，結(jié)論不成立；

29.C〃

B項(xiàng)中若a”=(-1)n?結(jié)論不成立；

D項(xiàng)中若〃“=(-1)"上.結(jié)論不成立；

n

由絕對(duì)收斂的定義知.c項(xiàng)正確.

30.D

由f(j;)=—,］'J'(..T)|--~——=--~~-,f\.f［}(..］：)|}=------J------=.r.

I、T［IJC??iJC

12r…I|

1'11：X：”

敗選I).

31.

—4函數(shù)在x=3處可導(dǎo),則/(3)—lim/(.r)=—4.

32.16

2a}2b}c1dy

【精析】A1It2.ci22b2t*24t/24(1A|1|B)=16

33.

【精析】如圖所示?由被積函數(shù)及積分區(qū)域可知.該積分利用

極坐標(biāo)計(jì)算較為簡(jiǎn)便?在極坐標(biāo)系下?積分區(qū)域可表示為oW

2兀.0所以

\/R2—x2—v?1cLrdy-i10r\/R2—r2dr

Doo

2彳］sK

L....-（R一廠'）？J<10

o3o

2K19

o33

2cJ

因?yàn)?(ln.r)=2r+l=2d"+L所以/(.r)=2e+1,/<2018)(.r)=2c/.

35.

22018e2z—3sin.r

因?yàn)?*)⑺=2"c".(siru)=sin「+等).所以y',<2M=2刈8瞪-34M.

36.

1-ysin2

,iririri

(jrJ—jr+l)sin2^djr=sin,jrcLr=2sin°；rcLr=(1—COS2T)C!J?

-1J-iJo<o

=(x~ysin2jr\I=1—--sin2.

37.

【精析】畫(huà)出題中二重積分的積分區(qū)域?如圖所示,所以若

改變積分次序,則

X

JXx,yydy.

38.

dv=uscc/?tan/

【精析】=-asee/?v+c*,

dr-tan/

=asect+c-lncox/=asee/+see/=(a+1)sect?

=3，+<?一‘得.一asee/=(a+1)scc/.(2a+1)scc/=。?即2a+1=0?故a-....y.

39.3

J

【精析】1y=(—1)(Jr—3)=>j'(0)=(―1)?(—3)=3.

40.

In2

【精析】「岳心（，）

=lnl+e=ln2—limln(1+eA)=ln2—0=ln2.

<X?

41.

^(575-1)

【精析】由題意得，

［xds=1zI(2工尸dz=|xJlTdi?dz=七(1I4J-)T|=擊(5代'-1).

42.

1

---1

2

--解析：考查某點(diǎn)連續(xù)的概念.由函數(shù)/(x)在x=0處連續(xù)得：

f(O)=l+k=lim過(guò)杏=lim螞迎/I=1

xWsinx*句，sinx2

43.收斂

【精析】『limi*=limZ/Fl1=lim(2-2&)=2,所以該廣義積分收斂.

J"祗“fo+J"y/jc“-o+1u“7，+

44.

［答案］yF(2.r)+C

；F(2r)+C【精析】j/(2j)d.r-j/(2.r)d(2,r)=yF(2,r)+(:

乙J乙

45.

匚答案：］e"+C

【精析】設(shè)Iru-=f,則①=c'J(f)=c',

I/(j?)clr=cdr=cr+C.

46.

8

9

—11

【精析】/(i)=ln(2-.r)—ln(2+i),/(T)=?則人)=曰+

2-JC2+1

1

??所以,(D=-l+1=-1.

(2+.r)

47.

y=e*，(GcoszC2sinjr)(Cj,C2為任意常數(shù))

［答案12

【精析】因?yàn)閘im/Q)=lirn皿=2.

2

lim./(J)=lim(3.r-2；r+K)=k,f(0)=A.所以k=2.

48.2

3

49.3【評(píng)注】第級(jí)數(shù)在x=0處收斂，結(jié)合已知得R=3.

50.

e"cosy

【精析】由歐拉公式知e*=cosy十isinjs故eZr+iy=e2r(cosy十isi”)，因此實(shí)部

為e2jcosj>.

51.

/=fysin2,r(1—sin2)d.r

Jo

=|sin.r|?|COST|di

Jo

f1rt.

sinjcosjda--sinTCOSJ'd.r

oJf

-w_

1.71.2

=—sin2\r----sin\r

404y

=1.

52.

__________(八+tanz。1)_____________

原式=

(\/1|tan.r--J\fx)(-/IItanj-\/t才)

2r

53.

【精析】如圖所示，即為區(qū)域D,可表示為{(w,.y)I0(工41,

0<丁&*},

『(21+))dcr=dj：(27+y)d.y

J??*00

D

r2)

=/2彳y+5)di

J0\￡IQ

=.:乃+搭盧

=+=A

(2'10)Io5,

解：對(duì)增廣矩陣（加）進(jìn)行初等行變換

11005)1005、j1005

2120-112-9T019->

3223)、。-222一2400-4

11005rl1005’101()-8、

01-1-2901-101301-1013

00012)0120012

、°0J

西+丐=-8,

r（//）=心妝）=3<〃，方程組有無(wú)窮多解,同解方程組

X2-X3=13?

七=2,

$=-8-X3>

X2=13+X3,匕是自由未知量，取巧=0得特解〃=（-8,13,0,2『

乙=2,

&+Xj=0,

原方程的導(dǎo)出組為

x2-Xj=0,'

x,=0,

當(dāng)是自由未知量，取。=1得基礎(chǔ)解系4=方程組的通解X=〃+cJCc

為任意常數(shù)）.

55.

■larccoxx'darccosj'?,、'dr

【精析】0y1-.rJ"

>/l—x2

arccos.rd(y1—x2)

4,反

=-arccosx?M1一2+

o0

______K_?_7T___甚__OK_翼

56.

2

/,i、.sin/d/

../,i、?sin/dz

lim(e-1)sim.Jo______=lim+lim

八?

111-COS^'?JC4jr>01-cos.rz-oi

x?x.sinJ2?21、

=lim?,+lirm.%

/-o￡2，?04w

V

,15

=92+7=r

57.

【精析】所求方程通解為

y=6*"(—e^~drdr+Cj

=e-lar(j"e-di+C)

=e-lnx/—?jd.r+Cj

=Le'+C),

其中C為任意常數(shù).

58.

【精析】將區(qū)域Q轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的區(qū)域D',區(qū)域D(如圖所示)可以表示為

D'={(r.O)|O<0<2n.7t<r<2n},

「2",2K

所以Jsin+y2dldy=djsinr?rdr=—2TTrdcosr

0VJt?

D

=-2n(rcosr

X

59.

f+oo'+oo4-oo'+oo

【精析】jrde-r=一(^e-J

0000

4-oo+oo4-004-co

J+e~—e-J

=—(jre-)=—1尸

0000

=—(0—0)—(0—1)=1.

60.

y=[/(ln.r)T?e’s+/(Inj)?[e“")了

=/"(Inw)?:?e/<J>+/(ln.7)?e"，>?/"(i)

61.

.士dz.dyi?上.

【精析】由于丁=-sint,-f-=cost—cost十fsint=tsinf,

dtat

因此

dv

dv-dL

石

dz-sinr

dy

62.

1精析】因?yàn)镮arctan”|<所以^arctan”=〃，取口=搭.荒,

MtJ乙、乙口

因?yàn)閜=lim=lim?^--lim?/I+—\=~<1.

廠--v?-93“a3\n)3

00

由比值審斂法得士>”收斂；

■二1

00

又Va且工>,收斂，故由比較審斂法可得原級(jí)數(shù)收斂.

?=I

63.

4e'二_f工d(e'+1)

(1+eO2=J(l+eJ)2

=-pd(TTT)=-4+JTZPdr

=-----------T+工一ln(1+d)+C

eT1

=-^^--Ind-f-eO+C.

e*+1

64.

，

【精析】!|=Zi?(X—+f'2*Cry)：=/t?1+A?y=f\+yfi?

=Zi?(—D-/j?x=a—//?

a：；y=/'ll,(—1)十/；?H+/‘2十》?,(-1)+ft?.?h]

=JJ2—fit+zy?f22-(x—y)?f'tz.

65.

【精析】曲線上任一點(diǎn)的切線斜率為丁，即J，'=之+/,這是一個(gè)一階微分方

程，由公式法可知

y=(JJT"，djr+C)=JT(J./?Jd1+()=1(乎+C),

乂有該曲線過(guò)點(diǎn)(1，)?代入可得c=0,故函數(shù)V=仆)=y.

66.

【證明】令/(JI)=(x2)ln(1<r)=ln(lx)1---

x-1

/'(工)=—^+T~當(dāng)0<工<1時(shí)，，(M)>0.

所以f'Cr)在。&才<1內(nèi)單調(diào)遞增.又/'(0)=0,所以/(J-)>0,

故f⑺單調(diào)遞增,又因?yàn)?(0)=