雙曲拋物面薄殼屋蓋的制作、造型設(shè)計(jì)說明

./雙曲拋物面薄殼屋蓋的制作、造型設(shè)計(jì)摘要采用鋼筋混凝土雙曲拋物面<馬鞍面>薄殼作為屋蓋,具有利于排水、防止?jié)B漏、減輕自重、節(jié)約材料、受力性能較好、剛度較大、造型優(yōu)美等優(yōu)點(diǎn),可以用于廠房、商場(chǎng)、影劇院等民用建筑.。本文是以一個(gè)單塊雙曲拋物面薄殼屋蓋為例子研究馬鞍面雙曲拋物面薄殼屋蓋的制作、造型設(shè)計(jì)。針對(duì)預(yù)應(yīng)力鋼筋、錨固面等問題展開研究,用數(shù)學(xué)建模方法深入探究其原理。通過查資料所得到的直母線方程以及題中所給的資料寫出直母線投影在xoy平面上的直線方程,再計(jì)算出截距,除以兩鋼筋的間距得出鋼筋根數(shù)的表達(dá)式；再通過題中所給條件及查閱所的資料得出錨固面方程,方程聯(lián)立得出直母線與錨固面交點(diǎn)的表達(dá)式,通過對(duì)方程的聯(lián)立以及化解解答題中所提出的問題。關(guān)鍵詞：雙曲拋物面細(xì)石混凝土薄殼屋蓋預(yù)應(yīng)力鋼筋1問題的背景在黨的領(lǐng)導(dǎo)下,在建字第02部隊(duì)、鐵路局昌平構(gòu)件廠、首鋼建筑公司的幫助下,組成由工人、干部、技術(shù)人員參加的"三結(jié)合"試驗(yàn)研究小組,群策群力,把革命干勁和科學(xué)態(tài)度結(jié)合起來,于1973年年初,在冶金部建筑研究院,建成一項(xiàng)雙曲拋物面薄殼屋蓋<簡(jiǎn)稱雙曲薄殼>的試驗(yàn)性工程。從1973年以來,在設(shè)計(jì)的一些建筑屋蓋中采用了雙曲拋物面<馬鞍面>結(jié)構(gòu)。采用鋼筋混凝土雙曲拋物面<馬鞍面>薄殼作為屋蓋,具有利于排水、防止?jié)B漏、減輕自重、節(jié)約材料、受力性能較好、剛度較大、造型優(yōu)美等優(yōu)點(diǎn),可以用于廠房、商場(chǎng)、影劇院等民用建筑。2問題的重述1.就單個(gè)的雙曲拋物面薄殼屋蓋的配筋問題,用數(shù)學(xué)建模的方法解決以下問題：1.1.把預(yù)應(yīng)力鋼筋理想化為一維的直線。利用雙曲拋物面是直紋面的特點(diǎn),把預(yù)應(yīng)力鋼筋安置在兩族直母線處,即在跨中端面處拋物線上的點(diǎn)處安放兩族直母線鋼筋.并固定<錨固>在過原點(diǎn)的直母線與平面<>相交的點(diǎn)處與該直母線垂直的錨固面上。a.能安排多少根過點(diǎn)的直母線鋼筋。寫出這些空間直線的方程,并圖示之。b.寫出錨固面的方程,并寫出直母線和錨固面的交點(diǎn)的表示式。c.求出直母線之間的交點(diǎn)的表示式。d.求出直母線和錨固面的法線之間的夾角,以便在錨固面上適當(dāng)打孔以固定直母線鋼筋。e.根據(jù)前面的數(shù)據(jù)以及,具體計(jì)算a–d。f.編制一個(gè)可以包括不等距安置直母線鋼筋的通用程序<軟件>。1.2如果圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋不能簡(jiǎn)化為直線,請(qǐng)回答a.圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋的中心軸線應(yīng)該安置在臨近的哪些點(diǎn)處。寫出這些中心軸線的方程,并圖示之。b.寫出這些中心軸線和錨固面的交點(diǎn)的表示式。c.要求這些圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋不能相交。它們的中心軸線在x-y平面上的垂直投影是可以相交的,寫出交點(diǎn)的表示式。計(jì)算沿這些交點(diǎn)垂直方向的兩根圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋之間的距離,要盡可能小<最好為零>。d.編制一個(gè)通用的程序<軟件>。2.雙曲拋物面薄殼屋蓋的造型設(shè)計(jì)請(qǐng)利用幾種雙曲拋物面的切割部分作為元素組合成一種實(shí)用、美觀的屋蓋造型。寫出它們的方程,并圖示之。如果可能,請(qǐng)說明它們可以用在什么地方。單塊雙曲拋物面薄殼屋蓋的示意圖及其數(shù)學(xué)方程見〔附錄1。把直徑為6mm<或5mm>預(yù)應(yīng)力鋼筋沿中斷面的拋物線的臨近處從原點(diǎn)<0,0,0>往左右兩邊沿馬鞍面的兩族直母線配筋,然后再澆注混凝土或樹脂。示意圖見〔附錄2圖一。相關(guān)圖組及其描述見〔附錄2。3基本假設(shè) 〔1針對(duì)問題1中,假設(shè)鋼筋可理想化為直線；〔2假設(shè)放置直母線鋼筋的間距是相等的,不受外界因素的影響；〔3假設(shè)在計(jì)算過程中的誤差在誤差圍;〔4假設(shè)在方程式化簡(jiǎn)過程中沒有出現(xiàn)錯(cuò)誤；〔5假設(shè)雙曲拋物面薄殼屋蓋是個(gè)規(guī)則的不易受外界影響的；4模型的符號(hào)說明：屋蓋的垂直厚度

：翼緣寬度：板寬之半：屋蓋長(zhǎng)度之半：挑檐長(zhǎng)度U：一族直母線V：U以外的另一族直母線N1：平面1QUOTE的方向向量N2：平面2QUOTE的方向向量N3：平面3QUOTE的方向向量N4：平面4QUOTE的方向向量N2：V族直母線在xoy面上的方向向量：錨固面與U族直母線的夾角5模型分析建立及求解在對(duì)于1.1問題,由于把預(yù)應(yīng)力鋼筋理想化為一維的直線,又因?yàn)殡p曲拋物面的方程為：在雙曲拋物面薄殼屋蓋的制作過程中,預(yù)應(yīng)力鋼筋是位于屋蓋的中間層,因此,我們選取馬鞍面的方程應(yīng)該是：Z=a.該面上的兩族直母線：u族直母線：其中u為參數(shù)。該直母線是平面1：QUOTE與平面2:QUOTE的交線。平面1的方向向量為n1=平面2的方向向量為n2=所以U族直母線的方向向量QUOTE求出QUOTEv族直母線：其中v為參數(shù)。該直母線是平面3：QUOTE與平面4：QUOTE的交線。同理可得平面3的方向向量為：n3=平面4的方向向量為：n4=所以V族直母線的方向向量QUOTE求出QUOTE兩族直母線投影到xoy平面上,U族直母線的方向向量為V族直母線的方向向量為對(duì)于U族直母線和V族直母線所在的預(yù)應(yīng)力鋼筋數(shù)目是相同的。對(duì)u族直母線：設(shè)直母線在xoy面上得方程為x=ky+m其中m=k在xoy面上的方程為：QUOTE其中u直母線經(jīng)過點(diǎn)〔a,b,解得QUOTE所以對(duì)于該族直母線而言,總共有QUOTE即放在u族直母線所在位置的預(yù)應(yīng)力鋼筋的根數(shù)為QUOTE,同理可得對(duì)應(yīng)的在v族直母線所在位置的預(yù)應(yīng)力鋼筋的根數(shù)也為QUOTE把代入以下的方程：得到m=0.505,能安排22根過點(diǎn)的直母線鋼筋。b.錨固面在過原點(diǎn)的直母線與平面<>相交的點(diǎn)處與直母線垂直的錨固面上.過原點(diǎn)的直母線方程根據(jù)方程X=與〔得到兩方程的交點(diǎn)為根據(jù)題意得到錨固面的法線向量為直母線的方向向量為QUOTE,根據(jù)方向向量和交點(diǎn)〔QUOTE得到錨固面的方程為QUOTE<x-QUOTE>+QUOTE<y-b>=0U族直母線與錨固面的交點(diǎn)：V族直母線與錨固面的交點(diǎn):c.U、V族直母線分別投影到xoy平面的方程為QUOTE它們的交點(diǎn)為QUOTE則直母線之間的交點(diǎn)為：d.U族直母線的方向向量為：QUOTEV族直母線的方向向量為：QUOTE錨固面的法向向量為：QUOTE所以錨固面與U族直母線的夾角為：錨固面與V族直母線的夾角為：e.錨固面的方程為：QUOTE<x-QUOTE>+QUOTE<y-b>=0所以錨固面與U族直母線的交點(diǎn)方程是：與V族直母線的交點(diǎn)方程是：交點(diǎn)坐標(biāo)為〔QUOTEb把代入以上的方程可求的我們想要的結(jié)果。f.只要求用matlab繪制圖和的圖像,其中-b≤y≤b,-a≤x≤a2、把鋼筋看成是圓柱體,并由1.1問題中,通過計(jì)算的到m=0.5.則QUOTE在xoy平面,對(duì)于v族直母線,鋼筋的中心軸坐標(biāo)〔x,y依次為QUOTE其中n=1,2,3,……11圓柱形預(yù)應(yīng)力鋼筋中心軸線應(yīng)該安置在雙曲拋物面點(diǎn)為：,其中QUOTEn=1,2,3,……11。且V族直母線在xoy面上的方向向量為再根據(jù)點(diǎn)斜式得到中心軸線的方程為：n=1,2,3,……11。b.錨固面的方程：QUOTE中心軸線的方程：

聯(lián)立中心軸線與錨固面的方程得到交點(diǎn)為：QUOTEQUOTEcv族中心軸線在xoy平面上的方程為：u族中心軸線在xoy平面上的方程為：所以它們?cè)趚oy平面上的交點(diǎn)可以表示為：6模型評(píng)價(jià)6.1優(yōu)點(diǎn)建立的模型在算法總體上較為簡(jiǎn)單,只利用了幾個(gè)公式,便于理解,并且易于應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活中。計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性高,利用數(shù)據(jù)可以完全求的最后結(jié)果。6.2缺點(diǎn)正因?yàn)樗惴ㄝ^為簡(jiǎn)單,利用的公式等數(shù)據(jù)有限,因此所得出的結(jié)果并不能作為廣泛參考,只能作為研究是粗略參考所用。6.3模型的應(yīng)用模型可應(yīng)用于同類型數(shù)模計(jì)算,以及用于研究參考[參考文獻(xiàn)]：[1]啟源等,數(shù)學(xué)模型,[M],：高等教育,2003。[2]呂林根,解析幾何第四版,高等教育,2005。[3]中國(guó)知網(wǎng),關(guān)于雙曲拋物面扁扭殼的應(yīng)用,/Search/JZSX197501003.html。附錄：附錄1：?jiǎn)螇K雙曲拋物面薄殼屋蓋的示意圖及其數(shù)學(xué)方程：其數(shù)學(xué)表示由上面兩個(gè)曲面和以及平面圍成的空間區(qū)域構(gòu)成。附錄2：相關(guān)圖組及其描述圖1馬鞍面薄殼配筋示意圖a>配筋特征圖;b>預(yù)應(yīng)力鋼筋投影在x–y平面上的布置圖;c>預(yù)應(yīng)力鋼筋布置側(cè)面圖.圖中,