河南省信陽(yáng)市浉河區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）模擬試題（含答案）

河南省信陽(yáng)市浉河區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）模擬試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1．已知向量，，使成立的x為（

）A．-6 B．6 C． D．2．已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且直線與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．-2 B．-3 C．-4 D．-53．若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，則

(

)A．2 B．1 C． D．64．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若且，則（

）A．6 B．12 C．27 D．365．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．326．如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱的中點(diǎn)，則過(guò)線段AG且平行于平面的截而圖形為（

）A．等腰梯形 B．三角形 C．正方形 D．矩形7．已知橢圓，作垂直于x軸的垂線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，作垂直于y軸的垂線交橢圓于C、D兩點(diǎn)，且ABCD，兩垂線相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．圓 D．拋物線8．幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件。為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)，這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是29，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，，依此類(lèi)推，求滿足如下條件的最小整數(shù)且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪。那么該款軟件的激活碼是（

）A．440 B．330 C．220 D．110二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．空間向量，若，則B．若空間四個(gè)點(diǎn)，，則三點(diǎn)共線C．已知向量，若，則為鈍角D．任意向量滿足10．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，的前n項(xiàng)和為則下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的公差為2 B．C．?dāng)?shù)列是公比為4的等比數(shù)列 D．11．已知為正四棱柱，底面邊長(zhǎng)為2，高為4，，分別為，的中點(diǎn).則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線與平面所成角為B．平面平面C．正四棱柱的外接球半徑為D．以為球心，為半徑的球與側(cè)面的交線長(zhǎng)為12．下列不等關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．13．正弦曲線上一點(diǎn)，正弦曲線以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線為直線，則直線的傾斜角的范圍是.14．正項(xiàng)等比數(shù)列中，存在兩項(xiàng)、使得，且，則的最小值為15．?dāng)?shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家菜洛發(fā)現(xiàn)的菜洛三角形就給人以對(duì)稱(chēng)的美感.萊洛三角形是以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧得到的.已知，點(diǎn)為上一點(diǎn)，則的最小值為.16．在雙曲線的右支上存在點(diǎn)A，使得點(diǎn)A與雙曲線的左、右焦點(diǎn)形成的三角形的內(nèi)切圓的半徑為，若的重心滿足//．則雙曲線的離心率為．四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．已知函數(shù)．1求的單調(diào)遞增區(qū)間；2若，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．18．設(shè)拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，線段AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，且.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l（斜率存在）經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，求直線l的方程.19．設(shè)數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，底面ABCD，，，，.(1)求證：平面PAC；(2)E是側(cè)棱PB上一點(diǎn)，記，是否存在實(shí)數(shù)，使平面ADE與平面PAD所成的二面角為60°？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．若函數(shù)是定義域D內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的增函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則稱(chēng)是上的“單反減函數(shù)”，已知（1）判斷在上是否是“單反減函數(shù)”；（2）若是上的“單反減函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．1．A【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示求解.【詳解】因?yàn)?，則，即，所以，所以.故選：A2．D【詳解】∵，∴，故選D．3．B【分析】直接根據(jù)題意利用導(dǎo)數(shù)的定義求解即可【詳解】由函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，得，所以，故選：B4．C【分析】列方程組解得等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，即可求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)公差為則，解之得，則故選：C5．B【分析】因?yàn)?，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)的焦距的最小值：故選：B.本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時(shí)，要檢驗(yàn)等號(hào)是否成立，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.6．A【分析】利用平行作出截面圖形，即可判斷形狀.【詳解】取BC中點(diǎn)H，連接AH，GH，，.如下圖所示：由題意得，.又平面，平面，平面，同理平面.又，平面，平面平面，故過(guò)線段且與平面平行的截面為四邊形，顯然四邊形為等腰梯形.故選：A7．B【分析】首先根據(jù)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程，求出點(diǎn)軌跡方程即可.【詳解】由題知，故設(shè)，，所以，又因?yàn)?，，消去t可得：，可知點(diǎn)軌跡為雙曲線.故選：B.本題主要考查了判斷點(diǎn)的軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題.8．A【分析】直接利用數(shù)列前n項(xiàng)和公式建立等量關(guān)系，進(jìn)一步求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意知，數(shù)列分段給出，第段為首項(xiàng)為1，公比為2的項(xiàng)等比數(shù)列，因此前段包含的項(xiàng)數(shù)為，這些項(xiàng)的和為，化簡(jiǎn)得，設(shè)所求數(shù)列的前N項(xiàng)包含完整的段和第段的前項(xiàng)，則，且，即，且，N取得最小整數(shù)，則，易知隨著的變大而變大，當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，符合；故選：A9．AB【分析】由空間向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)可判斷ACD，由空間向量的基本定理與共線定理可判斷B【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，，則，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，則，即，又與有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，故B正確；對(duì)于C：，若為鈍角：則，且與不共線，由得，當(dāng)時(shí)，，即，由與不共線得，于是得當(dāng)且時(shí)，為鈍角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：是的共線向量，而是的共線向量，故D錯(cuò)誤，故選：AB10．AB【分析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，，，可得，從而可得A正確；根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，可得，從而可得B正確；由題意可得，，從而可得C錯(cuò)誤；根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得D錯(cuò)誤.【詳解】解：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，，，所以公差，故A正確；所以，所以，故B正確；又因?yàn)?，，所以?shù)列是公比為16的等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閿?shù)列是公比為16的等比數(shù)列，且，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11．BCD【分析】對(duì)A選項(xiàng)找到即為線面夾角，即可判斷；對(duì)B選項(xiàng)證明，則得到平面，同理得到平面，利用面面平行的判定定理則可證明；正四棱柱的體對(duì)角線即為外接球的直徑，即可判斷C；對(duì)D選項(xiàng)得到軌跡為圓弧，計(jì)算弧長(zhǎng)即可.【詳解】解：對(duì)于A：由正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征可知，則為直線與平面所成角，因?yàn)椋灾本€與平面所成角不等于，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征可得，，，則四邊形為平行四邊形，可得，平面，平面，平面，同理可證平面，又，且，平面，平面平面，故B正確；對(duì)于C：正四棱柱外接球的直徑即為其體對(duì)角線，所以其外接球的半徑，故C正確；對(duì)于D：點(diǎn)到側(cè)面的距離為，易得交線軌跡與圓相關(guān)，設(shè)為球與側(cè)面交線軌跡的半徑，，立體圖如下圖所示：球與側(cè)面的交線軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，平面圖如下圖所示：故交線長(zhǎng)為，故D正確；故選：BCD本題為立體幾何綜合題，考察了線面角，面面平行的判定，空間幾何體的表面積與體積等知識(shí)，需要有一定的空間想象能力，對(duì)于一些常見(jiàn)的外接球模型要記住.12．ABD【分析】對(duì)于A，作差變形，借助對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷；對(duì)于C，利用基本不等式計(jì)算即可判斷；對(duì)于B，D，根據(jù)不等式的性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷作答.【詳解】對(duì)于A，，而函數(shù)在單調(diào)遞增，顯然，則，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)?，所以，故，所以，B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，即，D正確.故選：ABD13．【分析】由可得，直線的斜率為，即可求出答案.【詳解】由可得，切線為直線的斜率為：設(shè)直線的傾斜角，則且.所以故本題考查求曲線上的切線的傾斜角的范圍，屬于中檔題.14．【分析】利用通項(xiàng)公式得到，對(duì)m、n討論，分別代入即可求解.【詳解】正項(xiàng)等比數(shù)列中，，所以，因?yàn)?，所以，解得：（舍去?因?yàn)榇嬖趦身?xiàng)、使得，所以，即，解得：（）.所以時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.所以的最小值為.故答案為.15．##【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算及向量數(shù)量積的運(yùn)算用所求式子將表示為，再利用三角形的幾何意義求解即可.【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，如圖所示，所以因?yàn)?，所以，的最小值?故16．【分析】先設(shè)出點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)，結(jié)合雙曲線的定義和圓的切線性質(zhì)求出內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)；再根據(jù)重心坐標(biāo)和//，得；利用三角形等面積法，得，；最后利用兩點(diǎn)間距離公式得，即可計(jì)算出離心率.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)為，與邊的切點(diǎn)記為點(diǎn)B，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)A坐標(biāo)為.則點(diǎn)B坐標(biāo)為.點(diǎn)A在雙曲線的右支上，為左、右焦點(diǎn)，.則的重心，即.由圓的切線性質(zhì)得.又，，，即.又內(nèi)切圓的半徑為，內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)為.//，即又，，.則，解得.所以雙曲線的離心率為.故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線的定義、和性質(zhì).解題關(guān)鍵在于對(duì)雙曲線定義的掌握和靈活使用.難點(diǎn)在于內(nèi)切圓圓心的確定、三角形等面積法和兩點(diǎn)間距離公式的使用，綜合性較強(qiáng).17．（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)即可得到單調(diào)性；（2）將寫(xiě)成，再根據(jù)（1），利用函數(shù)的單調(diào)性求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）由已知得的定義域?yàn)楹瘮?shù)

，當(dāng)時(shí)，即在區(qū)間上單調(diào)遞增（2）函數(shù)

由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，可得

解得：或故實(shí)數(shù)的取值范圍為本題考查利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用單調(diào)性求解不等式問(wèn)題，易錯(cuò)點(diǎn)在于求解不等式時(shí)，忽略了定義域的要求，導(dǎo)致求解的解集不準(zhǔn)確.18．(1)(2)【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出線段中點(diǎn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用焦點(diǎn)弦求得p的值，即可求出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出焦點(diǎn)的直線方程，與拋物線聯(lián)立，利用根和系數(shù)的關(guān)系求出斜率，即可寫(xiě)出直線方程.【詳解】（1）解：由題意得：設(shè)，則線段中點(diǎn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由問(wèn)題（1）可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故設(shè)直線方程為聯(lián)立方程組為解得直線l的方程19．（1）；（2）【分析】（1）由遞推公式可得，進(jìn)而可得是以為公比、為首項(xiàng)的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得；（2）由（1）可得，利用分組求和法與錯(cuò)位相減法計(jì)算可得．【詳解】解：（1），，，，是以為公比、為首項(xiàng)的等比數(shù)列，，；（2），，，記，，，，故．20．(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，【分析】（1）由底面ABCD，可得，在三角形ABC中，由余弦定理可得.再由線面垂直的判定可得平面PAC；（2）以A為原點(diǎn)，分別以AD，AC，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.求得，，，.設(shè)，由，得.求出平面ADE與平面ADP的一個(gè)法向量，結(jié)合題意可得.說(shuō)明存在實(shí)數(shù)，使平面ADE與平面PAD所成的二面角為60°.【詳解】（1）證明：∵底面ABCD，∴，在三角形ABC中，由，，，得.∴，即.又，∴平面PAC；（2）解：以A為原點(diǎn)，分別以AD，AC，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.∵，，，∴，，，.設(shè)，由，得.∴，∴，，.則.，，.設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為，由，取，得；設(shè)平面ADP的一個(gè)法向量為，由，得，解得（舍）或.∴存在實(shí)數(shù)，使平面ADE與平面PAD所成的二面角為60°.21．（1）不是；（2）.【詳解】試題分析：（1）先判定的單調(diào)性，則利用導(dǎo)數(shù)判定的單調(diào)性即可；（2）根據(jù)定義，將函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒為正或恒為負(fù)進(jìn)行求解.試題解析：1）由于，在上是增函數(shù)，且，，時(shí)，，為增函數(shù)，即在上不是“單反減函數(shù)”；（2），，是上的“單反減函數(shù)”，在恒成立，，即，又在是減函數(shù)，在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，11分令，則，，解得，綜上所述．22．（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【分析】(Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；(Ⅱ)首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線MA,NA的方程確定點(diǎn)P,Q的縱坐標(biāo)，將線段長(zhǎng)度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)比值的問(wèn)題，進(jìn)一步結(jié)合韋達(dá)定理可證得，從而可得兩線段長(zhǎng)度的比值.【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為：，由題意可得：，解得：，故橢圓方程為.(Ⅱ)[方法一]：設(shè)，，直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立可得